Teoría de Valores Extremos

1. Teoría de Valores Extremos Víctor M. Fenton Instituto Tecnológico Autónomo de México Febrero 2002

2. Introducción • La mayoría de los eventos en finanzas, actuaría, hidrología y economía tienen colas anchas o pesadas. • El estimar la distribución de probabilidad es importante para múltiples finalidades. • La teoría de valores extremos sirve para este fin. • Se ha usado desde el siglo pasado y ha cobrado importancia en los últimos años, impulsada por las finanzas y las ciencias actuariales.

3. Eventos Extremos • Continuamente estamos interesados en calcular probabilidades de eventos extremos. • En Riesgos de Mercado se calcula el VaR, que es una medida de probabilidad del evento de una pérdida extrema. • Los eventos extremos son sumamente importantes para el VaR. • Uno siente cuando hay un largo periodo de calma, que puede venir un movimiento fuerte. El problema de un VaR con suavizamiento exponencial es que no prevé esto y va decreciendo (por volatilidad en el caso paramétrico) en vez de crecer. • La principal dificultad de predecir o estimar posibles datos extremos es que hay muy pocos de ellos, lo que dificulta el cálculo de sus probabilidades.

4. Fundamentos de Probabilidad • La llamada función de densidad de probabilidad (f.d.p.) sirve para saber cómo repartir la probabilidad en los diferentes posibles eventos. • Ejemplo: la f.d.p. con forma de campana de la distribución de Gauss o "Normal": • La densidad "Normal" tiene grandes virtudes, especialmente las asociadas al "teorema central de límite", pero desgraciadamente no sirve para el cálculo de probabilidades de la mayoría de los indicadores financieros del mercado mexicano. • Si observamos los cambios diarios en alguna variable de mercado durante un periodo prolongado de tiempo, siempre se tendrán muchas observaciones pequeñas positivas y negativas pero generalmente tendremos algunos datos extremos hacia uno o ambos extremos.

5. Fundamentos de Probabilidad • La densidad “Gaussiana” no permite la existencia de eventos extremos pues sus colas decrecen extremadamente rápido (más rápido que una exponencial). • La Teoría de Valores Extremos, o EVT por sus siglas en inglés ("Extreme Value Theory"), es un conjunto de técnicas estadísticas para ajustar distribuciones de probabilidad que permitan (como el nombre lo dice) la existencia de valores extremos. Las densidades ajustadas son "de colas anchas“ ó de “colas pesadas”.

6. Ejemplo • Tasa de Cetes a 91 días en mercado secundario. • Se tomaron 1045 datos diarios de esta tasa (aprox. 4.2 años). • Se tomó una ventana móvil de 504 datos (2 años) y se calculó el VaR de la tasa por cuatro diferentes métodos. • Esto dio como resultado, 540 estimaciones de VaR. • Obsérvese la gráfica de evolución de la tasa y de sus primeras diferencias.

7. Cete de 91 días y sus Primeras Diferencias

8. Histograma y Ajustes Mmm El histograma prueba empíricamente que la distribución de probabilidad NO es normal.

9. Back - Testing

10. Resultados de las Distintas Técnicas • El Back-Testing de los 540 cálculos de VaR, cada uno con 2 años de historia produce lo siguiente : Técnica Confianza Excesos Tot Excesos L.I. Excesos L.S. Peso 95% 26 17 9 Constante Suav. Exp. <97% 17 9 8 (l=0.94) Percentil 97% 15 9 6 Del 1% EVT  98% 11 6 5

11. ¿Cómo funciona la Teoría de Valores Extremos?

12. Distribuciones de Valores Extremos • Gumbel • Frèchet • Weibull

13. Distribución Generalizada de Pareto • Exponencial • Pareto • Beta

14. Teorema de Fisher-Tippet • Para conocer la probabilidad en las colas es importante observar primero la distribución del máximo y del mínimo. • El teorema de Fisher-Tippet asegura, bajo ciertas condiciones, que la distribución de los extremos se puede aproximar bien con alguna de las distribuciones extremas (Gumbel, Frèchet, Weibull), siempre que el tamaño muestral sea grande. • ¡Esto reduce la búsqueda de la distribución límite a sólo tres posibilidades!

15. Cómo funciona el EVT • Supongamos que se tiene un conjunto de datos x1, x2, ... , xn sobre los que queremos estimar el p-ésimo cuantil, es decir, un valor z tal que P(x<z)=p. Supongamos también que p es pequeño (digamos que p<=0.05). • Si pensamos que todas las observaciones tienen la misma probabilidad de ocurrencia, calculemos primero un cuantil más alto, llamémosle “u” al número tal que P(x<u)=q (e.g. q=0.2 ó 0.1), donde usea tal que exista un 100q% de observaciones menores o iguales que u. Al número u se le llamará “umbral”. • Ordenaremos primero nuestros datos en orden ascendente y1=mín(x’s), y2, ..., yn=máx(x’s).

16. Teorema Balkema–de Haan • Para el cálculo del VaR necesitaremos conocer la distribución de probabilidad del umbral. • El teorema de Balkema y de Haan asegura que las colas de esta distribución se tienen que parecer a una generalizada de Pareto. • Gracias a eso, la distribución condicional de las colas, de donde derivaremos el VaR, se puede aproximar bien con una distribución Exponencial, una Pareto o una Beta. • La generalizada de Pareto es sencilla en cuanto a que sólo necesita de tres parámetros.

17. Cómo aplicar EVT (continuación) • Nos quedaremos sólo con las observaciones menores que el umbral y1, y2, ..., yj y a las cantidades bajo el umbral u-y1, u-y2, ..., u-yn les ajustaremos una distribución generalizada de Pareto. • Con esta distribución será fácil calcular el p-ésimo cuantil “z”, es decir el número tal que P(u-y>z)=p. • Si nuestra muestra fuese de pérdidas y ganancias simuladas la “z” será el VaR. • Por propiedades de la distribución será también sencillo calcular el exceso promedio, es decir E[y|y<u] (Artzner).

18. Estimación • Primero estimaremos el umbral. Esto generalmente se hace con técnicas visuales como la gráfica de la función de excesos promedio. • Generalmente se parte de unos estimadores iniciales de los parámetros, usando el método de Pickands o el de Hill ó la gráfica Q-Q. • Posteriormente se pasa a afinar esas estimaciones por Máxima verosimilitud. • Para esto se necesita un método de optimización multivariado (v.g. Newton-Raphson). • Una vez que se tienen los parámetros, la estimación del VaR y del Exceso Esperado son inmediatas.

19. EVT y VaR La teoría de valores extremos puede usarse para mejorar sustancialmente las medidas de VaR y conocer el verdadero nivel de confianza sin importar la metodología usada: • Paramétrico: para encontrar intervalos de confianza a usarlos en vez de múltiplos de volatilidades. • Simulación histórica y de monte Carlo: A partir de la serie de P&L simulados generada se aplicará EVT para obtener el VaR.

20. Otros Usos • Riesgo de Crédito • Riesgo operacional (y legal) • Hidrología • Cálculos actuariales

21. Software • Existen varios programas comerciales que facilitan el uso del EVT (todos ellos requieren conocer la teoría), entre ellos: • Código EVIS para S-Plus, que se puede obtener gratuitamente de Internet. • Extremes. Viene con el libro de Reiss y Thomas. Funciona bajo Windows, es versátil y didáctico. • El hacer una aplicación casera para la estimación es relativamente sencillo. Sólo requiere conocer las ecuaciones y aplicar un procedimiento de optimización para maximizar la verosimilitud.

22. Ventajas y Desventajas Del EVT • Ventajas: • Diseñado específicamente para eventos extremos. • Nivel de confianza real. • Las distribuciones empleadas tienen colas realmente anchas (ó pesadas). • Produce medidas de VaR mejores. • Desventajas: • A veces la distribución generalizada de Pareto no logra un buen ajuste y es necesario estimar la densidad condicional usando otros métodos. • Requiere mayores conocimientos. • No es fiable para niveles de confianza demasiado altos, incongruentes con el tamaño muestral.

23. Bibliografía • Reiss R.D. and Thomas, M. (1997 y 2001) Statistical Analysis of Extreme Values : With applications to Insurance, Finance, Hydrology and Other Fields. Springer-Verlag Berlin. • Embretch, Paul; Klüppelberg, Claudia and Mikosch, Thomas (1999) Modelling Extremal Events for Insurance and Finance, 2nd printing. Springer-Verlag Berlin. • Samuel Kotz, Saralees Nadarajah (2001) Extreme Value Distributions: Theory and Applications. Imperial College Press. • EVIS - http://www.math.ethz.ch/ McNeil • XTREMES - http://www.xtremes.math.uni-siegen.de.

24. Teoría de Valores Extremos Víctor M. Fenton ITAM Febrero 2002