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Propiedades de los Triángulos PowerPoint PPT Presentation


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Propiedades de los Triángulos y los Cuadriláteros. Superficie. Es la mitad del área de un rectángulo de la misma base y de la misma altura ½ (base x altura) H= a sen γ CD= a cos γ DA=c cos α

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Propiedades de los Triángulos

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Presentation Transcript


Propiedades

de los Triángulos

y los Cuadriláteros


Superficie

  • Es la mitad del área de un rectángulo de la misma base y de la misma altura

    ½ (base x altura)

    H= a senγ

    CD= a cos γ DA=c cosα

    CD+ DA= b= a cos γ + c cos α

    A΄= (a cos γ + c cosα ) a senγ/:2

    A=1/2absenγ--->1/2 bc senα

    A´= 1/2absenβ

    A´=ab/2


Formula de Herón

  • Si conocemos las longitudes de los lados del triángulo (a, b, c) es posible calcular la superficie empleando la fórmula de herón

  • viene dada por:

  • Donde p es el semiperimetro


Demostración

Supongamos un triángulo de lados a, b, c cuyos ángulos opuestos a cada uno de esos lados son A, B, C. Entonces tenemos que:

Por el teorema del coseno :

La altura de un triángulo de base a tiene una longitud bsen( C), por lo tanto:


Propiedades del triángulo

  • La suma de las longitudes de dos de sus lados es siempre mayor que la longitud del tercer lado.

  • La suma de todos los ángulos de sus vértices, en un plano, es igual a 180°.


Teorema del Seno

  • Para cualquier triangulo se verifica el Teorema del Seno que demuestra que: «Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos»:

Sen α= CD/b CD= b sen α

Sen β =CD/a CD= a Sen β

Sen β =AE/c AE= c Sen β

Sen γ= AE/b AE= b Sen γ


a² = b² + c²- 2c* b cos α

b² = a² + c² –2ac cosβ

c² = a² + b² –2ab cos γ

Teorema del coseno

  • Relaciona el tercer lado de un triángulo con los dos primeros y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados.

a² =CD²+ DB²CD²= b²- AD²

a² = b² - AD²+ DB²

a²= b² - AD²+C² - 2DC +AD²

a² =b²+ c²-2c*AD


Teorema de Pitágoras

  • El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa:

c² =a²+ b² - 2ab cos90º


Teorema del cateto o de Euclides

  • El teorema del cateto establece que en un triángulo rectángulo cada uno de los catetos es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella. Por lo tanto:


Triángulos semejantes

  • Se puede simplificar así la definición: dos triángulos son semejantes si sus ángulos son iguales


Teorema de Thales

Primer teorema (caso particular de triángulos semejantes)

Sean dos rectas (d) y (d') orientadas y concurrentes en un punto O. Sean A y A' dos puntos de (d), y B y B' dos puntos de (d'). Entonces:

La igualdad de los cocientes equivale al paralelismo

1° fig. tiene medidas algebraicas positivas - los vectores OA, OA', OB y OB' tienen la misma orientación que la rectas (d) y (d'),

2fig posee cocientes negativos.

si se aplica teorema : A'B' / AB es igual a los dos anteriores.


2° teorema

Sea C un punto de la circunferencia de diámetro [AB], distinto de A y de B. Entonces el ángulo ACB es recto.

Prueba: OA = OB = OC = r, radio del círculo. Por lo tanto OAC y OBC son isósceles. La suma de los ángulos del triángulo ABC vale 2α + 2β = π (radianes). Dividiendo por dos, se obtiene

Además dice que la bisectriz de un triángulo corta al lado opuesto del ángulo con la bisectriz en dos segmentos proporcionales Hipotenusa (al cuadrado) = C(Al cuadrado) + C(Al cuadrado) En conclusión se forma un triangulo rectangulo


Teorema de la bisectriz

En un triangulo, la razón entre dos lados es igual a la razón de las partes en las que queda dividido el tercer lado por la bisectriz de ángulo interno opuesto.

Demostración

Si se dibuja desde C una // a AL hasta encontrar la prolongación de lado BA a partir del lado A hasta pto D El triangulo ACD es isósceles (ángulos C y D son congruentes:

Porque los dos angulos son alternos internos respecto a las rectas paralelas AL y DC cortadas por la recta transversal AC


porque son correspondientes a las rectas paralelas AL y DC a las cuales corta la recta BD,

Además porque los ángulos creados por la bisectriz son iguales.

Por la propiedad transitiva de la igualdad tenemos que

Por tanto los segmentos AC y AD son congruentes. Por el Teorema de Talesse mantiene la proporción:

y ya que AC y AD son congruentes, también se cumple que


Ortocentro

  • Se denomina ortocentro al punto donde se cortan las tres alturas de un triángulo.

  • El término deriva de orto, recto, en referencia al ángulo formado entre las bases y las alturas.

  • El ortocentro se encuentra dentro del triángulo si éste es acutángulo, coincide con el vértice del ángulo recto si es rectángulo, y se halla fuera del triángulo si es obtusángulo

  • El único caso en que los centros coinciden en un único punto es en un triángulo equilátero.


Baricentro

Es el punto que se encuentra en la intersección de las medianas, y equivale al centro de gravedad


Incentro

Es el centro de la circunferencia inscrita, aquella que es tangente a los lados del triángulo. Se encuentra en la intersección de las bisectrices de los ángulos.


Radio del círculo inscrito en triángulo cualquiera

  • En función de un lado y de las razones

  • Trigonométricas de la mitad de los ángulos

< OBD = B/2,

< OCD=C/2

BD= r ctg B/2,

CD=r ctg c/2

r(ctg B/2 + ctg C/2)=a;

r sen B/2+C/2 =a sen B/2 sen C/2;

r= a sen B/2 sen C/2 /: cos A/2


Circuncentro

Circuncentro es el punto en que se cortan las tres mediatrices de los lados de un triángulo y centro de la circunferencia circunscrita. Dicho punto se suele expresar con la letra (O).Todos los vértices del triángulo se encuentran a la misma distancia del circuncentro.


Radio de la circunferencia circunscrita

S=centro de circunf..circunscrita al ∆ ABC y R=radio

Se traza la bisectriz SD del < BSC que bisecará a BC y será perpendicular a él

< BSC en el centro

= doble del < BAC =2A

^ a/2 =BD=BSsen BSD=Rsen A

R= a /: 2 sen A

En consecuencia

a/sen A =b/senB= c/sen C= 2R

ó de manera que no intervengan ángulos

R= a/2senA=abc/2bcsenA=abc/4∆


Círculo exinscritoEl círculo de una circunferencia tangente a un lado de un triángulo y a las prolongaciones de los otros dos se llaman un círculo exinscrito del triángulo

A= area Δ ABC

A= área ABIC – área BIC

Área BIA + área CIA – área BIC

A= ½ c * Ra + ½b*RA - ½* Ra

=½Ra (c +b-a) ; como P= a +b+ c; P-2 a = b+c-a

=½Ra(P-2 a)

= ½ Ra (2p-2 a) ;p=P/2 ; p:semiperímetro

= ½Ra2(p-a)

= Ra (p-a)

Ra = A / p-a ; Radio del círculo

exinscrito tangente exteriormente al

lado a 

Análogamente:

Rb = A / p-b

Rc= A/p-c


Triángulo pedal

G, H y K son los pies de las alturas trazadas de los vértices a sus lados opuestos en triángulo ABC, entonces, GHK se llama triángulo pedal

 Las alturas se encuentran en el ortocentro de ABC

< OGK=<OBK= 90° - A

< OGH = < OCH = 90° -A;

< KGH= 180°-2A

por lo tanto los ángulos del triángulo pedal son:

180-2ª, 180-2B, 180-2C

por otro lado los triángulos AKH, ABC son semejantes:

HK/BC = AK/AC = cos A

HK= a cos A

Los lados del triángulo pedal son

a cos A, b cos B, c cos C


Area y circunradio de triángulo pedal

Area= ½ (producto lados) por (seno del ángulo comprendido)

=1/2 R sen 2B* Rsen 2C *sen(180-2A)

=1/2 R² sen 2A sen 2B sen 2C

circunradio=

HK/: 2 sen HGK = Rsen 2A/:2 sen (180-2A)

= R/2


Cuadriláteros

Area de un cuadrilátero es igual a ½ del producto de las diagonales por el seno del ángulo que comprenden

AC y BD = diagonales, se cortan en P

<DPA = α

Δ DAC = Δ APD +Δ CPD

= ½ DP* AP senα + ½ DP PC sen (π-α)

= ½ DP (AP +PC)sen α

=1/2 DP* Acsenα

de modo semejante

ΔABC=1/2 BP*AC sen α

Area = ½ (DP+BP) AC sen α

= ½ DB* AC sen α


Muchas gracias.

  • Cecilia Herrera.-


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