ANALISI DEI GRUPPI
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ANALISI DEI GRUPPI seconda parte. Argomenti della lezione. Distanze. Metodi gerarchici: legame singolo e legame completo. Per i dati di tipo quantitativo si ricorre alle distanze. identità d ii = 0. simmetria d ij = dji. non negatività d ij ≥ = 0.

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Presentation Transcript

ANALISI DEI GRUPPI seconda parte


Argomenti della lezione

  • Distanze

  • Metodi gerarchici: legame singolo e legame completo


Per i dati di tipo quantitativo si ricorre alle distanze


identità dii= 0

simmetria dij= dji

non negatività dij≥ = 0

disuguaglianza triangolare dil + dlj ≤ = dij

Una distanza possiede le seguenti proprietà:


p

1/r

r

rdij

=

xik - xjk

k=1

Distanza di Minkowski


p

1/r

2

2dij

=

xik - xjk

k=1

Per r = 2si ha la distanza euclidea


p

p

1/2

shk

=

dij

(xik - xjk) (xih - xjh)

k=1

h=1

Distanza di Mahalanobis

in cui

shk indica il generico elemento della matrice inversa delle varianze-covarianze tra le pvariabili


d12

d1n

0

d21

0

d2n

D

=

dn1

0

dn2

Matrice delle dissomiglianze


Gli algoritmi gerarchici procedono sia per mezzo di una serie di aggregazioni successive o una serie di successive divisioni. Gli algoritmi aggregativi iniziano con tutte le unità distinte, così vi sono tanti gruppi quanti sono gli oggetti da classificare

Algoritmi gerarchici


I passaggi di un algoritmo aggregativo gerarchico applicato ad un insieme di nunità sono i seguenti:


Si inizia con ad un insieme di ngruppi contenenti ciascuno una sola unità e una matrice di distanze simmetrica nxn

2

1

Si individua nella matrice delle distanze la coppia più vicina (più simile), ad esempio quella formata dai gruppi U e V


Si raggruppano ad un insieme di U e V in un unico gruppo etichettato come (UV). Si aggiorna la matrice delle distanze cancellando le righe e le colonne corrispondenti ai clusters U e V e aggiungendo una riga e una colonna che riporta le distanze tra il gruppo (UV) e i restanti clusters

3


Si ripetono i passi 2 e 3 per ad un insieme di un totale di n-1 volte. Tutti gli oggetti sono raggruppati in un unico gruppo al termine della procedura.

4


Metodi di aggregazione gerarchica: ad un insieme di

  • legame semplice

  • legame completo

  • legame medio

  • di Ward


Distanza tra gruppi ( ad un insieme di dissimilarità) per (a) legame singolo, (b) legame completo, e (c) legame medio


3 ad un insieme di

1

4

d24

5

2

(a)

3

1

d15

4

5

2

(b)

3

1

4

5

2

(c)

d13+d14 +d15 +d23 +d24 +d25

6

Cluster distance


Legame semplice ad un insieme di

Le distanze tra i gruppi sono formate considerando la più piccola delle distanze istituibili a due a due tra tutti gli elementi dei due gruppi:

d(UV)W = min [ dUW , dVW]


individui ad un insieme di

A

B

C

D

E

A

0

B

9

0

C

3

7

0

D

6

5

9

0

E

11

10

2

8

0

Esempio

Passo 1


I due individui più vicini sono l'individuo ad un insieme di Ce l'individuo E

min ij (dij) = dCE = 2


Passo 2 ad un insieme di

d(CE),A = min [ d CA, d EA] = min [3,11] =3

d(CE),B = min [ d CB, d EB] = min [7,10] =7

d(CE),D = min [ d CD, d ED] = min [9,8] =8

Le distanze tra il gruppo (CE) e i rimanenti oggetti sono calcolate con il metodo del legame singolo:


(CE) ad un insieme di

A

B

D

(CE)

0

3

0

A

0

B

7

9

D

0

8

6

5

Si ottiene quindi la nuova matrice delle dissomiglianze


Passo 3 ad un insieme di

d (ACE)B = min [d(CE)B, d AB] = min[7,9] = 7

d (ACE)D = min [d(CE)D, d AD] = min[8,6] =6

La distanza minima è ora quella d(CE)A = 3 e quindi uniamo il gruppo A al gruppo CE. Procediamo successivamente a calcolare le nuove distanze:


B ad un insieme di

D

(ACE)

(ACE)

0

7

0

B

0

D

6

5

La nuova matrice delle dissomiglianze è la seguente:


Passo 4 ad un insieme di

d(ACE)(BD) = min [d(ACE)B, d(ACE),D] = = min [7,6] = 6

Ora la distanza minore tra i cluster è dBD =5, e a questo punto otteniamo due gruppi, (ACE) e (BD). La loro distanza secondo la regola del legame singolo è


(BD) ad un insieme di

(ACE)

(ACE)

0

6

(BD)

0

La matrice finale è la seguente:


Passo 5 ad un insieme di

La fusione finale avviene quindi ad una distanza pari 6


I risultati di una procedura di cluster gerarchica possono essere rappresentati dal dendrogrammao diagramma ad albero

I rami dell'albero rappresentano i cluster. I rami si uniscono in nodi le cui posizioni lungo l'asse delle distanze (o delle dissomiglianze) indicano il livello in cui avviene la fusione


6 essere rappresentati dal

4

Distanza

2

0

1

3

5

2

4

Individui

Dendrogramma della procedura di aggregazione con il legame singolo


Legame completo essere rappresentati dal


Ad ogni passo la distanza essere rappresentati dal (similarità)tra i gruppi è stabilita considerando i due elementi più lontani (dissimili) nei due gruppi. In questo modo la procedura del legame completo assicura che tutti gli elementi all'interno di un gruppo siano comprese ad una distanza massima (o somiglianza minima) l'uno dall'altro

d(UV)W = max [dUW, dVW]


individui essere rappresentati dal

A

B

C

D

E

A

0

B

9

0

C

3

7

0

D

6

5

9

0

E

11

10

2

8

0

Esempio

Passo 1


I due individui più vicini sono l'individuo essere rappresentati dal Ce l'individuo E

min ij (dij) = dCE = 2


Passo 2 essere rappresentati dal

d(CE),A = max [ d CA, d EA] = max [3,11] =11

d(CE),B = max [ d CB, d EB] = max [7,10] =10

d(CE),D = max [ d CD, d ED] = max [9,8] =9

Calcoliamo le distanze tra il gruppo (CE) e i restanti con il metodo del legame completo


(CE) essere rappresentati dal

A

B

D

(CE)

0

11

0

A

0

B

10

9

D

0

9

6

5

La nuova matrice delle distanze è la seguente:


Passo 3 essere rappresentati dal

d(BD)(CE) = max [d B(CE), d D(CE)] == max =[10,9] =10

La fusione successiva avviene tra i gruppi B e D. Le nuove distanze da calcolare sono le seguenti:


(BD) essere rappresentati dal

A

(ACE)

(ACE)

0

10

0

(BD)

0

A

11

9

e la matrice delle distanze è la seguente:


Passo 4 essere rappresentati dal

La fusione seguente produce il gruppo (ABD). Nel passo finale i gruppi (CE) e (ABD) sono raggruppati nella fusione finale.

Il dendrogramma che rappresenta la procedura di aggregazione

è il seguente


Dendrogramma della procedura di aggregazione con essere rappresentati dal il legame completo


12 essere rappresentati dal

10

8

Distanze

6

4

2

0

5

1

2

4

3

Individui


ad