Poissonfördelning

1. Poissonfördelning • Används för att beskriva händelser som inträffar oberoende av varandra och där väntevärdet är detsamma som variansen. Kan användas för att approximera sannolikheten för k lyckade utfall bland n för en binomialfördelad slumpvariabel X när n är stort (minst 20) och π är litet (mindre än 0.05). X~ poi(µ) • Sannolikheten för k lyckade utfall bland n beräknas enligt • Väntevärde och varians är där µ = nπ

2. Exempel • En viss gen förekommer hos 0.1% av befolkningen. Vad är sannolikheten att man i ett stickprov på 500 personer hittar minst en person med genen? • Vad är väntevärdet och variansen för antal personer med en viss gen?

3. Geometrisk fördelning • Om vi gör ett upprepat antal oberoende försök, där varje försök är Bernoullifördelat med samma sannolikhet för ”lyckat” (dvs p), är X = antal försök till första lyckade försöket geometriskt fördelat, dvs X ~ geo(p) • Sannolikheten för att försöket lyckas vid delförsök kär • Väntevärde och varians är

4. Exempel • En höjdhopperska uppskattar att sannolikheten att hon klarar 1.95 meter är 0.40 i varje försök. Vad är sannolikheten att hon under en höjdhoppstävling klarar 1.95 (dvs vad är sannolikheten att hon klarar 1.95 på första, andra eller tredje försöket)? • Vad är det förväntade antalet försök hon behöver för att klara 1.95?

5. Kontinuerlig sannolikhetsfördelning • Sannolikhetsfördelning för slumpvariabler som kan anta ett oändligt antal värden inom ett intervall • Täthetsfunktion • Ger en bild av hur sannolika olika resultat är

6. Normalfördelning • En symmetrisk fördelning som definieras av väntevärdet m och standardavvikelsen s

7. Normalfördelning • Om X är normalfördelad, dvs X~ N(m,s) fås höjden på kurvan som

8. Exempel • En klient vill veta sannolikheten att värdet på hans portfolio är mellan 9 700 och 10 600 dollar. Antag att värdet på portfolion är normalfördelat med medelvärdet 10 000 dollar och standardavvikelse 300 dollar.

9. Att söka sannolikheten för ett givet x • Standardiserad normalfördelning • En normalfördelning med medelvärde 0 och standardavvikelse 1 • I Appendix B finns tabell över sannolikheter för olika värden i den standardiserade normalfördelningen • Om X ~ N(m,s) gäller att Z = (X-m)/s ~N(0,1) • Exempel (forts): Vad är sannolikheten att värdet på portfolion understiger 9000? Vad är sannolikheten att det överstiger 10500? Vad är sannolikheten att värdet är mellan 9700 och 10600?

10. Att söka x för en given sannolikhet • Antag att längden hos svenska män kan ses som en normalfördelad variabel med medelvärde 181.5 cm och standardavvikelse 7 cm. Vad är tredje kvartilen, dvs vilken längd är 75% av männen kortare än och 25% längre än?

11. Normalfördelningsapproximation av binomialfördelning • Om X är binomialfördelat så att X ~ bin(n; π) och nπ(1 – π)> 5 så är X approximativt binomialfördelat så att . Exempel: En mäklarkedja uppskattar att sannolikheten att en viss typ av lägenhet blir såld inom två månader är 0.6. Vid en specifik tidpunkt får kedjan i uppdrag att sälja 40 såna lägenheter. Vad är sannolikheten att minst hälften av lägenheterna blir sålda inom två månader?