PENGANTAR HIMPUNAN

1. PENGANTAR HIMPUNAN S u t a m a Pend.Matematika FKIP UMS

2. A. Pengantar Himpunan adalah kumpulan benda atau objek baik yang nyata maupun abstrak yang semuanya didefinisikan dengan jelas. Contoh : Pada umumnya himpunan ditunjukkan dengan huruf besar A, B, C,…., dan anggotanya ditunjukkan dengan huruf kecil a, b, c,… x anggota A ditulis xA x bukan anggota A ditulis xA x, y anggota A ditulis x, yA x, y bukan anggota A ditulis x, yA

3. B. Penyajian Himpunan Himpunan dapat disajikan dalam 2 cara • Dengan bahasa matematika • Dengan menulis sifat anggotanya A={bilangan asli kurang dari 10} B={bilangan bulat} b. Metode roster A={1,2,3,4,5,6,7,8,9} B={…,-2,-1,0,1,2,..} c. Metode rule A={x/x bilangan asli <10} B={x/x bilangan bulat} • Dengan bahasa sehari-hari • Himpunan bilangan 1,2,3,4,5,6,7,8,9 • Himpunan bilangan bulat

4. Bilangan kardinal dari suatu himpunan adalah bilangan yang menunjukkan banyaknya elemen yang berbeda dari himpunan itu.

5. C. Macam-macam himpunan • Himpunan kosong/null set/void set, yaitu himpunan yang tidak mempunyai anggota. Simbol :  atau { } • Singleton Yaitu himpunan yang hanya mempunyai satu anggota • Himpunan semesta Yaitu himpunan seluruh benda atau anggota yang dibicarakan.

6. D. Himpunan Bagian (sub set) Himpunan A dikatakan menjadi himp. bagian dari B dengan simbol AB bila dan hanya bila setiap anggota dari A menjadi anggota dari B. AB bhb (x).xAxB

7. Setiap himpunan pasti merupakan himpunan bagian dari himpunan itu sendiri, dan himpunan kosong pasti menjadi himpunan bagian dari setiap himpunan. Jika A memuat n elemen yang berbeda, maka banyaknya himpunan bagian yang dapat dibuat dari n elemen ini sebanyak 2n. Himpunan yang anggotanya adalah himpunan-himpunan bagian dari himpunan disebut kuasa himpunan (power set).

8. S B A ●c ●a ●b ●d ●e ●f E. Diagram Venn

9. AB ●a A=B A B BA ●c ●b RELASI HIMPUNAN • Dua himpunan A dan B disebut sama atau berimpit bhb setiap anggota dari A menjadi anggota dari B dan sebaliknya. A=B bhb (Ax).xAxB

10. ●1 ●2 A ●5 ●6 B ●4 ●3 B. Dua himpunan A dan B disebut saling asing atau saling lepas atau disjoint bhb kedua himpunan itu tidak memuat sesuatu anggota persekuan. A//B bhb (x). xAxB.. ( x). xBxA

11. A B ●1 ●4 ●3 ●2 ●5 C. Dua himpunan A dan B disebut berpotongan ditulis AB bhb 1. Ada elemen A dan elemen ini B 2. Ada elemen B dan elemen ini A 3. Ada elemen A dan elemen ini B

12. B A a 1 b 2 c 3 D. Dua himpunan A dan B ekuivalen Tiap anggota dari A dapat diadakan korespondensi satu-satu dengan tiap anggota dari B dan sebaliknya, ditulis A~B A~B bhb n(A)=n(B)

13. Sifat relasi ekuivalen : • Refleksi : A~A • Simetris : A~BB~A • Transitif : A~Bb~CA~C

14. OPERASI HIMPUNAN • Irisan irisan dari dua himpunan A dan B ditulis AB adalah himpunan yang anggotanya terdiri atas elemen yang berada dalam A dan B AB ={x/xAxB}

15. B. Gabungan gabungan dari dua himpunan A dan B ditulis AB adalah himpunan yang anggotanya terdiri atas elemen dari A atau B AB ={x/xAxB}

16. A-B B-A C. Selisih selisih dari dua himpunan A dan B ditulis A-B adalah himpunan yang angotanya terdiri atas elemen dari A yang bukan elemen dari B A-B={x/xAxB} B-A={x/xBxA}

17. D. Komplemen komplemen relatif A terhadap B ditulis A’ atau Ac adalah himpunan yang anggotanya terdiri atas elemen dari B yang bukan elemen dari A A’={x/xBxA}

18. E. Selisih simetri selisih simetri dari dua himpunan A dan B ditulis A∆B adalah himpunan yang anggotanya terdiri atas elemen dari (A-B)(B-A) A∆B ={x/xABxAB)

19. F. Partisi partisi suatu himpunan A adalah pembagian A atas subset-subset yang saling asing dan gabungan dari semua subset itu merupakan himpunan A itu sendiri. himpunan A1, A2,…,An merupakan partisi dari himpunan A bhb

20. AiAj= untuk ij i. j = 1,2,…,n • A1A2…An=A atau A=[A1, A2,…,An]

21. Latihan • Dengan S= {1,2,3,4,5,6}, jika A={2,4}, B={2,3,5,6} Tentukan : • AB c. A-B e. A’ • AB d. B-A f. B’ • Buktikan bahwa AB bila A={1,2,3,4} dan B={bilangan genap} • Tentukan power set dari A={3,{2,3}}

22. RELASI ANTAR ANGGOTA HIMPUNAN Relasi yang menyangkut satu anggota semestanya disebut relasi monair (monodisc), menyangkut dua anggota disebut relasi binair (diadic), menyangkut tiga anggota disebut relasi ternair (triadic), menyangkut empat anggota disebut relasi quarternair (tetradic), dan menyangkut lebih dari empat anggota disebut relasi polynair (polydic). Contoh : aBerada dalam relasi R dengan b ditulis aRb atau R(a,b)

23. A. Relasi Determinatif Suatu relasi R dikatakan determinatif antar anggota-anggota S bhb aRb merupakan kalimat deklaratif untuk setiap a, b dalam S.

24. B. Relasi Ekuivalen • Relasi refleksi Relasi R disebut refleksi bhb untuk setiap anggota dari semestanya berlaku aRa R refleksi bhb (aS)

25. Relasi refleksi ada 2 macam • Relasi non refleksi Relasi R disebut non refleksi bhb terdapatlah sekurang-kurangnya satu elemen a yang tidak berada dalam relasi R dengan dirinya sendiri R non refleksi bhb (aS). aRa

26. b. Relasi irrefleksif Relasi R disebut irrefleksif bhb setiap elemen a tidak berada dalam relasi R dengan dirinya sendiri R irrefleksif bhb (aS). aRa

27. 2. Relasi Simetris Relasi R disebut simetris bhb untuk setiap a,b dari semestanya berlaku bila aRb maka bRa R simetris bhb (a,bS).aRbbRa Relasi simetris ada 3 macam : • Relasi non simetris relasi R disebut non simetris bhb terdapatlah sekurang-kurangnya satu pasang a,b demikian sehingga aRb dan bRa R non simetris bhb (a,bS).aRbbRa

28. b. Relasi Asimetris Relasi R disebut asimetris bhb setiap pasang a, b dalam semestanya berlaku bila aRb maka bRa c. Relasi Anti Simetris Relasi R disebut anti simetris bhb untuk setiap pasang a,b dalam semestanya berlaku (a,bS).a<bb<aa=b

29. 3. Relasi Transitif Relasi R disbut transitif bhb untuk setiap tripel a,b,c dalam semestanya berlaku bila aRb dan bRc maka aRc. R transitif bhb (a,b,cS).aRbbRcaRc.

30. Relasi transitif ada 2 macam • Relasi non transitif Relasi R disebut non transitif bhb sekurang-kurangnya ada satu tripel a,b,c dalam semestanya sehingga berlaku aRb dan bRc dan aRc R non trans. Bhb (a,b,cS).aRbbRcaRc) • Relasi intransitif Relasi R disebut intransitif bhb untuk setiap triple a,b,c dalam semestanya berlaku bila aRb dan bRc maka aRc R intrans. Bhb (a,b,cS).aRbbRcaRc

31. Relasi R disebut ekuivalen bhb R sekaligus memiliki sifat refleksi, simetris, dan transitif.

32. c. Relasi Diberikan 2 himpunan B dan D dengan B={mahasiswa}, D={mahasiswi} Relasi R antara mahasiswa, mahasiswi adalah relasi “kawan dari” Relasi R dari B ke D, dan himpunan elemen dari B yang mempunyai kawan dari elemen dari D disebut daerah sumber (domain), sedang himpunan elemen dari D yang mempunyai kawan elemen dari B disebut daerah hasil (range)

33. B A ● ● ● PEMETAAN Definisi Suatu fungsi f dari himpunan A ke B adalah aturan pengawanan yang memetakan setiap x anggota dari A dengan tungal y anggota dari B Contoh A={d1,d2,d3,d4} B={1,2,3,4,5,6}

34. Suatu lemparan menentukan suatu fungsi f dari A ke B • A dihabiskan dan setiap anggota dari A mempunyai kawan tunggal dari B • B tidak/boleh dihabiskan dan anggota B ada yang mempunyai kawan tunggal atau lebih dari satu, dan ada yang tidak mempunyai kawan.

35. Definisi tentang fungsi di atas menunjukkan bahwa suatu fungsi merupakan kejadian khusus dari suatu relasi, yaitu relasi dari A ke B dengan setiap anggota dari A mempunyai kawan tunggal dalam B.