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Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden. CAPÍTULO 2. Contenidos. 2.1 Curvas Solución sin una solución 2.2 Variables Separable s 2.3 Ecuaciones Lineales 2.4 Ecuaciones Exactas 2.5 Soluciones por Sustituciones 2.6 Métodos Numéricos 2.7 Modelos Lineales 2.8 M odelos No Lineales

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Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

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  1. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden CAPÍTULO 2

  2. Contenidos • 2.1 Curvas Solución sin una solución • 2.2 VariablesSeparables • 2.3 Ecuaciones Lineales • 2.4 Ecuaciones Exactas • 2.5 Soluciones por Sustituciones • 2.6 Métodos Numéricos • 2.7 Modelos Lineales • 2.8 Modelos No Lineales • 2.9 Modelado con sestemas de EDs de primer orden

  3. 2.1 Curvas Solución sin Solución • Introducción:Empezamos nuestro estudio de EDs de primer orden analizando una ED cualitativamente. • PendientesLa derivada dy/dx de y = y(x) proporciona pendientes de las rectas tangentes en los puntos. • Elementos LinealesSuponemos que dy/dx = f(x, y(x)). El valor f(x, y) representa la pendiente de una recta, ó un segmento de recta llamado Elemento Lineal. (Fig. . 2.1)

  4. Fig. 2.1

  5. Campos de Dirección • Si se evalúa f en una red de puntos rectangular, y se dibuja un elemento lineal en cada punto (x, y) del recinto con pendiente f(x, y), obtenemos el conjunto llamado campo de direcciones o campo de pendientes de la siguiente ED dy/dx = f(x, y)

  6. Ejemplo 1 • El campo de direcciones de dy/dx = 0.2xy está representado en la Fig. 2.2(a) y para comparar con la Fig. 2.2(a), en la Fig. 2.2(b)se han representado unas gráficas de esta familia.

  7. Fig. 2.2

  8. Ejemplo 2 Use un campo de direcciones para dibujar una curva solución aproximada para dy/dx = sen y, y(0) = −3/2. Solución:Acudiendo a la continuidad de f(x, y) y f/y = cos y. Teorema 2.1 garantiza la existencia de una única curva solución que pasa por algún punto especificado en el plano. Ahora dividimos la región que contiene a (-3/2, 0) en segmentos rectangulares. Calculamos el elemento lineal de cada segmento rectangular para obtener Fig. 2.3.

  9. Fig. 2.3

  10. Crecimiento/DecrecimientoSi dy/dx > 0 para todo x de I, entonces y(x) es creciente en I.Si dy/dx < 0 para todo x de I, entonces y(x) es decreciente en I. • EDs Libres de Variables Independientes dy/dx = f(y)(1) en las que la variable independiente no aparece de manera explícita se llaman autónomas. Suponemos que f y f son continuas en un intervalo I.

  11. Puntos críticos • Los ceros de f en (1) son puntos importantes. Si f(c) = 0, c es un punto crítico, punto de equilibrio o punto estacionario.Sustituimos y(x) = c en (1) y tenemos que f(c) = 0. • Si c es un punto crítico, entonces y(x) = c es una solución de (1). • Si la solución y(x) = c de (1) es una constante, se llama una solución de equilibrio.

  12. Ejemplo 3 La siguiente EDdP/dt = P(a – bP) donde a y b son constantes positivas, es autónoma.De f(P) = P(a – bP) = 0, las soluciones de equilibrio son P(t) = 0 y P(t) = a/b. Colocamos los puntos críticos en una recta vertical (recta fase). Las flechas en Fig. 2.4 indican el signo algebraico de f(P) = P(a – bP). Si el signo es positivo o negativo, entonces P es creciente o decreciente en este intervalo.

  13. Fig. 2.4

  14. Curvas Soluciones • Si garantizamos la existencia y unicidad de (1), por cada punto (x0, y0) en R, hay una sola curva solución. Fig. 2.5(a). • Suponemos que (1) presenta dos puntos críticos, c1, y c2, tales que c1< c2. La gráfica de la solución de equilibrio y(x) = c1, y(x) = c2 son rectas horizontales y dividen R en tres regiones, a los que nombramos R1, R2y R3como en la Fig. 2.5(b).

  15. Fig. . 2.5

  16. Algunas conclusiones sin probar: (1) Si (x0, y0) está en Ri, i = 1, 2, 3, una solución y(x)pasa por (x0, y0), y(x) quedará en la misma subregión. Fig. 2.5(b). (2) Por la continuidad de f , f(y) los signos en la subregión no pueden cambiar (3) Como dy/dx = f(y(x)) es o positiva o negativa en Ri, cualquier solución y(x) es monótona en Ri.

  17. (4) Si y(x) está acotada superiormente por c1, (y(x) < c1), la gráfica de y(x) se aproximará a y(x) = c1;Si c1 < y(x) < c2,se aproximará a y(x) = c1y y(x) = c2;Si c2 < y(x), se aproximará a y(x) = c2;

  18. Ejemplo 4 En el ejemplo 3, P =0y P = a/b son dos puntos críticos, por tanto tenemos tres intervalos para P:R1: (-, 0),R2 : (0, a/b),R3 : (a/b, )Sea P(0) = P0y cuando una solución pasa porP0,tenemos tres tipos de gráficas dependiendo del intervalo al que pertenece P0. Fig. 2.6.

  19. Fig. . 2.6

  20. Ejemplo 5 La ED dy/dx = (y – 1)2tiene un único punto crítico 1. Desde Fig. 2.7(a), llegamos a la conclusión de que una solución y(x) es creciente en - < y < 1 y 1 < y < , donde - < x < . Fig. 2.7.

  21. Fig. 2.7

  22. Atractores y Repulsores ? • Fig. 2.8(a). Cuando y0 está a ambos lados de c, y(x) se aproximará a c c. Este tipo de punto crítico se denomina asintóticamente estable, también llamado atractor. • Fig. 2.8(b). Cuando y0 esté a ambos lados de c, y(x) se alejará de c. Este tipo de punto crítico se denomina inestable, también llamado repulsor. • Fig. 2.8(c) y (d). Cuando y0 a un lado de c, será atraído por c y repelido por el otro lado.Este tipo de puntos críticos se denomina semiestable.

  23. Fig. . 2.8

  24. ED Autónomas y Campo de Direcciones • Fig. 2.9 muestra el campo de direcciones de dy/dx = 2y – 2.Podemos observar que los elementos lineales que pasan por los puntos cualquier recta horizontal deben tener la misma pendiente. Como la ED es de forma dy/dx = f(y),las pendientes sólo dependen de y.

  25. Fig. . 2.9

  26. DEFINICIÓN 2.1 Ecuaciones Separables Una ED de primer orden de formady/dx = g(x)h(y) se dice que es separable o que tiene variables separables. 2.2 Variables Separables • Introducción: Considérese dy/dx = f(x, y) = g(x).La EDdy/dx = g(x)(1)puede resolverse mediante integración. Integramos en ambos lados para resolver y =  g(x) dx = G(x) + c.por ejemplo : dy/dx = 1 + e2x, luegoy =  (1 + e2x)dx = x + ½ e2x + c

  27. Volvemos a escribir la ecuación anterior como(2)donde p(y) =1/h(y).Cuando h(y) = 1, (2) se reduce a (1).

  28. Si y = (x)es una solución de (2), deberíamos tenery(3)Como dy =  (x) dx, (3)es lo mismo que(4)

  29. Ejemplo 1 Resolver (1 + x) dy – y dx = 0. Solución:Como dy/y = dx/(1 + x), tenemos Sustituyendo por c, obtenemos y = c(1 + x).

  30. Ejemplo 2 Resolver Solución:También podemos poner la solución comox2+ y2 = c2,donde c2 =2c1Aplicando la condición inicial, 16 + 9 = 25 = c2 (Fig. 2.18.)

  31. Fig. 2.18

  32. Pérdida de una Solución • Cuando r es un cero de h(y), y = r también es solución de dy/dx = g(x)h(y).Sin embargo, esta solución no se revelará tras la integración. Es una solución singular.

  33. Ejemplo 3 Resolver dy/dx = y2 – 4. Solución:Escribimos esta ED como (5) luego

  34. Ejemplo 3 (2) Sustituyendo exp(c2)por c yresolviendo para y, tenemos (6) Si escribimos la ED como dy/dx = (y + 2)(y – 2),por la conclusión anterior, tenemos y =  2es una solución singular.

  35. Ejemplo 4 Resolver Solución:Escribimos esta ED como aplicamos sen 2x = 2 sen x cos x, luego (ey – ye-y) dy = 2sin x dx mediante integración por partes,ey + ye-y + e-y = -2cos x + c (7)Desde y(0) =0,tenemos c = 4 para llegar aey + ye-y + e-y = 4 −2 cos x (8)

  36. Uso de Ordenadores • Sea G(x, y) = ey + ye-y + e-y + 2 cos x. Utilizando cierto software , podemos trazar las curvas de nivel de G(x, y) = c. Las gráficas resultantes están representadas en Fig. 2.19 y Fig. 2.20.

  37. Fig. 2.19 Fig. 2.20

  38. Si resolvemosdy/dx = xy½, y(0) = 0(9)Las graficas resultantes se muestran en la Fig. 2.21.

  39. Fig. 2.21

  40. DEFINICIÓN 2.2 Una ED de primer orden de formaa1(x)(dy/dx) + a0(x)y = g(x) (1)se dice que es une ecuación lineal en y. Cuando g(x) = 0,se dice que (1) es homogénea; en el caso contrariono homogénea. Ecuación Lineal 2.3 Ecuaciones Lineales • Introducción:Las EDs lineales no son complicados de resolver. Podemos encontrar maneras fáciles de tratarlas.

  41. Forma estándarLa forma estándar de una ED puede escribirse comody/dx + P(x)y = f(x)(2) • La propiedadED (2) tiene la propiedad de que su solución es la suma de dos soluciones, y = yc + yp, donde yc es una solución de la ecuación homogéneady/dx + P(x)y = 0 (3)e yp es una solución particular de (2).

  42. ComprobaciónAhora (3) también es separable. Escribimos (3) como • Resolviendo para y se obtiene

  43. Variación de Parametros • Sea yp = u(x) y1(x), donde y1(x)está definida anteriormente.Queremos hallar u(x) de manera que yp también sea una solución. Sustituyendo ypen (2) se obtiene

  44. Como dy1/dx + P(x)y1 = 0, tenemos que y1(du/dx) = f(x) Reagrupando la ecuación anterior, Partiendo de la definición de y1(x), tenemos (4)

  45. Procedimientos de Resolución • Si (4) está multiplicada por (5) entonces (6) es diferenciado (7)obtenemos (8) Dividiendo (8) por obtenemos (2).

  46. ? Factor Integrante • Llamamos a y1(x) = factor integrante y sólo necesitamos memorizarlo para poder resolver problemas. En le libro pone que no se recomienda memorizarlo sino seguir cada vez cierto procedimiento (pag. 59)

  47. Ejemplo 1 Resolver dy/dx – 3y = 6. Solución:Como P(x)= – 3,tenemos que el factor integrante es luego al mesmo tiempo Entonces e-3xy = -2e-3x + c, una solución es y = -2 + ce-3x, - < x < .

  48. Observación • La ED del ejemplo 1 puede escribirse de formapor lo que y = –2es un punto crítico.

  49. Soluciones Generales • Ecuación (4) se llama solución general en un intervalo I. Suponemos de nuevo que P y f son continuas en I. Escribiendo (2) como y = F(x, y)identificamos F(x, y) = – P(x)y + f(x),F/y = –P(x) que son continuas en I.Luego podemos concluir que existe una y solo una solución de (9)

  50. Ejemplo 2 Resolver Solución:Dividiendo en ambos lados por x, obtenemos (10) Entonces, P(x)= –4/x, f(x) = x5ex, P y f son continuas en (0, ).Como x > 0,escribimos el factor integrante como

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