תורת המשחקים – מבוא אינפורמציה אסימטרית

1. תורת המשחקים – מבואאינפורמציה אסימטרית

2. תורת המשחקים – מבוא קצר • מהו משחק? • משחק בצורה אסטרטגית (נורמלית) ניתן על ידי: • קבוצת השחקנים • קבוצת הפעולות של כל שחקן • פונקציית תשלום המתארת מה מקבל כל שחקן עבור כל בחירה של פרופיל פעולות • השחקנים מחליטים על פעולותיהם באופן סימולטני • דוגמאות • דילמת האסיר • משחק המינים • קורנו, ברטראנד, הוטלינג, סאלופ

3. תורת המשחקים - סימונים • נניח כי יש N שחקנים • מרחב הפעולות של שחקן i ניתן על ידי Ai • פונקציית התשלום של שחקן i ניתנת על ידי Fi(a1,…,ai-1,ai,ai+1,…,an) • אסטרטגיה טהורה של שחקן i הינה בחירה באחת מהפעולות האפשריות עבורו. • אסטרטגיה מעורבת עבור שחקן i הינה בחירה "הסתברותית" כלומר באיזו הסתברות הוא בוחר בכל פעולה. • אסטרטגיות מסומנות לעיתים באות s להבדילן מפעולות.

4. שיווי משקל באסטרטגיות דומיננטיות • אסטרטגיה תיקרא דומיננטית אם היא האסטרטגיה הטובה ביותר עבור השחקן מבלי תלות באסטרטגיות בהם נוקטים השחקנים האחרים. • אסטרטגיה דומיננטית עבור שחקן i היא s*i המקיימת לכל S-i ולכל si של שחקן i : F(s*i,s-i)≥Fi(si,s-i) • פרופיל אסטרטגיות דומיננטיות מהווה שיווי משקל באסטרטגיות דומיננטיות. • ראו דילמת האסיר

5. John Nash 2003

6. שיווי משקל Nash • פרופיל אסטרטגיות מהווה שיווי משקל Nash אם האסטרטגיה של כל שחקן בפרופיל זה, היא התשובה הטובה ביותר עבורו לאסטרטגיות בהם נוקטים השחקנים האחרים בפרופיל זה. • פרופיל אסטרטגיות s=(s1,s2,….,sn) הינו שיווי משקל Nash אם: Fi(si,s-i)≥F(s’i,s-i) לכל פרט i ולכל s’i בה יכול פרט i לנקוט.

7. דוגמאות

8. אינפורמציה א-סימטרית • מודל הלימונים של Akerlof • Adverse Selection (מיון מוטה) • מודל האיתות של Spence • Signaling and Screening (איתות ומיון) • Moral Hazard (סיכון מוסרי) • מודל ה "מנהל-סוכן" (principal – agent)

9. George A. Akerlof

10. מודל הלימונים של אקרלוף • הנחות המודל • איכות המוצרים בשוק אינה אחידה • למוכר יש אינפורמציה טובה יותר על איכות המוצר מאשר לקונה • לפרטים יש תועלת מכסף (m) ומאיכות המוצר אותו הם צורכים • דוגמאות • שוק המכוניות המשומשות (הלימונים) • שוק העובדים • שוק ההלוואות • שוק הביטוח

11. פתרון המודל ומסקנות • בשיווי משקל יתקבלו מחיר וכמות בהם כל פרט ממקסם את רווחתו בהינתן האינפורמציה שלו. • האינפורמציה מורכבת בחלקה מציפיות רציונאליות (למשל אם המחיר נמוך מספיק הקונים מצפים שרק מוצרים מאיכות גרועה יגיעו לשוק) • בהחלט יתכן שלא יתקיים מסחר גם אם לכל מוכר יש מחיר סף שאיזשהו קונה היה מוכן לשלם. • במובן מסויים תוצאת המסחר אינה יעילה.

12. פתרון דוגמה מספרית נניח כי בשוק יש שני סוגי מכוניות משומשות טובות וגרועות (לימונים), וידוע כי חלק q מהמכוניות הינו גרוע. מכונית טובה שווה 1600 למוכר ו – 2000 לקונה בעוד שמכונית גרועה שווה 800 למוכר ו – 1000 לקונה. נניח כי יש מספר סופי של מכוניות (מוכרים) ומספר רב מאד של קונים. בהינתן אינפורמציה מלאה כל מכונית הייתה נמכרת (טובה במחיר 2000 וגרועה במחיר 1000). מה קורה במצב בו המוכר יודע את איכות המכונית והקונה אינו יודע? האם הניחוש 2000(1-q)+1000q מהווה מחיר שיווי משקל? לאו דווקא. זה יהיה שיווי משקל רק במקרה בו: 2000(1-q)+1000q≥1600 או במילים אחרות כאשר q≤0.4.

13. פתרון דוגמה מספרית - 1 אם q≤0.4 מחיר שיווי משקל בשוק המכוניות המשומשות ניתן על ידי 2000(1-q)+1000q , כל המכוניות מגיעות לשוק וכולן נמכרות במחיר זה. צריך לבדוק שבמצב זה כל פרט מרוצה מהצעד בו נקט. אנו רואים כי קונה מקבל בתוחלת רווחה אפס, מוכר של מכונית גרועה מרוויח ומוכר של מכונית טובה אינו מפסיד. אם q>0.4 תגענה לשוק רק מכוניות גרועות והן תימכרנה ב – 1000. תופעה זו של דחיקת האוכלוסייה הטובה החוצה נקראת Adverse Selection. נשים לב שאם המוכרים והקונים לא היו יודעים מהו טיב המכונית (כלומר הייתה אינפורמציה סימטרית) כל המכוניות היו נמכרות במחיר 2000(1-q)+1000q.

14. לימונים בשוק העבודה עובד טוב יכול לייצר 15 יחידות תפוקה בפירמה בעוד שעובד רע יכול לייצר 10 יחידות תפוקה בפירמה. הנאתו של עובד טוב מפנאי (לחילופין ייצור ביתי) הינה 12, בעוד שהנאתו של עובד רע מפנאי הינה 8. אחוז העובדים הרעים באוכלוסייה הינו q. פירמות מוכרות את תפוקת העובדים במחיר 1, ומתחרות על העובדים במתן הצעות שכר w. שיווי המשקל שיתקבל תלוי בערכו של q. q=0.8 יגרור שרק עובדים רעים יגיעו לשוק ויקבלו שכר 10. q=0.6 יגרור שעובדים משני הסוגים יגיעו ויקבלו שכר 12.

15. שוק הביטוח נניח כי חברת הביטוח מציעה ביטוח בריאות בו הפרמיה מבוססת על ההסתברות הממוצעת למחלה באוכלוסייה. במקרה כזה חלק האוכלוסייה הבריא יותר יטה לא לקנות ביטוח (זה תלוי כמובן בשנאת הסיכון שלו) וההסתברות למחלה בקרב האוכלוסייה שתרכוש ביטוח תהיה יותר גבוהה מההסתברות בקרב כלל האוכלוסייה. הפרמיה תעלה לכן ויתכן שבסוף רק החולניים ביותר יבוטחו או ששוק הביטוח יתמוטט לחלוטין.

16. Adverse Selectionהגדרה ודוגמאות Adverse Selection מתאר מצב בו יש שני צדדים לעסקה פוטנציאלית, כשלצד אחד יש מידע פרטי הרלוונטי לתשלום (הנאה) של הצד השני.

17. פתרון המודל ומסקנות • בשיווי משקל יתקבלו "חוזים" המניעים את הפרטים השונים להתמיין באופן שימקסם את רווחי היצרנים. • הפרטים הטובים יותר יפיקו בדרך כלל "רנטה" חיובית. • התוצאה המתקבלת תאופיין על ידי אילוצי השתתפות (participation constraints) או כפי שהם נקראים לעיתים אילוצי רציונאליות אישית (individual rationality constraints), ואילוצי תמריצים (incentive compatibility constraints) או בחירה (Self Selection Constraints). • בהחלט תיתכנה תוצאות שאינן "יעילות".

18. דוגמה מספרית Adverse Selection נניח כי יש 5,000 פרטים עם רכוש תחילי 1,000. ל – 30% מהאוכלוסייה יש הסתברות 0.4 לתאונה לשאר האוכלוסייה הסתברות 0.2 לתאונה. הנזק מתאונה הינו 200. חוזה ביטוח ניתן על ידי פרמיה q ותשלום R במקרה של תאונה. נניח תחילה כי הביטוח מלא, כלומר R=200 וכי פרטים מסוכנים מוכנים לשלם 90 תמורת ביטוח כזה בעוד שפרטים אחרים מוכנים לשלם 50. חברת הביטוח לא יודעת מהו סוג הפרט. כיצד תיקבע הפרמיה ומי יהיו המבוטחים?

19. דוגמה מספרית Adverse Selection 1 פרמיה של 90 תגרור שרק המסוכנים יקנו ביטוח ותוחלת הרווחים של החברה תהיה: 1,500x90-0.4x1,500x200=15,000 פרמיה של 50 תגרור שכולם יקנו ביטוח ותוחלת הרווחים תהיה: 5,000x50-0.4x1,500x200-0.2x3,500x200=-10,000 לכן כדאי לקחת פרמיה של 90 ולבטח רק את המסוכנים.

20. דוגמה מספרית Adverse Selection 2 נניח כעת כי R ו – q יכולים לקבל כל ערך וכי העדפות הפרטים ניתנות על ידי פונקציית תועלת VNMz0.5 מעושר. החברה תציע כעת "תפריט" של חוזי ביטוח (למעשה שניים) ביניהם יבחרו הפרטים. מה צריכים R1,q1,R2,q2 לקיים כדי שהפרטים ירצו לקנות את הביטוח שהתאמנו להם? (1 למסוכנים ו 2 לאחרים) 0.4(800+R1-q1)0.5+0.6(1000-q1)0.5≥0.4(800+R2-q2)0.5+0.6(1000-q2)0.5 0.2(800+R2-q2)0.5+0.8(1000-q2)0.5≥0.2(800+R1-q1)0.5+0.8(1000-q1)0.5 אלו אילוצי התמריצים Incentive Compatibility Constraints (לעיתים נקראים גם Self Selection)

21. דוגמה מספרית Adverse Selection 3 מה צריכים R1,q1,R2,q2 לקיים כדי שהפרטים ירצו לקנות ביטוח? 0.4x(800)0.5+0.6x(1000)0.5≤0.4(800+R1-q1)0.5+0.6(1000-q1)0.5 0.2x(800)0.5+0.8x(1000)0.5≤0.2(800+R2-q2)0.5+0.8(1000-q2)0.5 אלו אילוצי ההשתתפות Participation Constraints. או אילוצי הרציונאליות האישית Individual Rationality Constraints. חברת הביטוח תמקסם את רווחיה תחת ארבעת המגבלות (בדרך כלל רק שתיים מהן תתקיימנה בשוויון).

22. דוגמה פשוטה יותר ראה הרצאת כיתה ושאלה 2 בתרגיל 9. הנחיות לגבי שאלה 2 בתרגיל הניחו שבאופטימום מתקיימים בשוויון האילוץ של רציונאליות אישית לגבי הפרט שאינו אנין טעם והאילוץ של IC עבור הפרט אנין הטעם (כלומר הפרט אנין הטעם יעדיף לקנות את הבקבוק האיכותי יותר במחיר הגבוה יותר). לאור זאת יש לחלץ את ה – ti , להציב בפונקציית המטרה ולגזור לפי האיכויות. כך מתקבל תפריט ההצעות שממקסם את רווחי היצרן (יש לוודא גם שהאילוצים שהתעלמתם מהם מתקיימים בפתרון המוצע).

23. Michael Spence

24. מודל האיתות של Spence • הנחות המודל • יכולת העובדים אינה אחידה. • לעובד יש אינפורמציה טובה יותר על יכולתו מאשר למעסיק. • קיימת פעילות (e) שבה העובד הטוב יותר "מוכשר יותר". • המעסיק רואה את הפעילות אך לא את היכולת ומעוניין למקסם את רווחיו. • לעובד יש תועלת משכר (w) כסף ו "סבל" מהפעילות (e). • דוגמאות • שוק העובדים • שוק החיזור • שוק ההלוואות • שוק המכוניות המשומשות

25. פתרון המודל ומסקנות • בשיווי משקל יתקבלו רמות שכר ופעילות בהם כל עובד ממקסם את רווחתו וכל יצרן את רווחיו בהינתן האינפורמציה שלהם. • האינפורמציה מורכבת בחלקה מציפיות רציונאליות (למשל שרמת השכלה גבוהה יותר מעידה על עובד מוכשר יותר). • בדרך כלל יתכנו הרבה מאד שיווי משקל. שמים דגש על האבחנה בין שיווי משקל מפריד (separating) (בו רמות השכלה שונות זוכות לתמורה שונה) או מאחד (pooling) בו כולם מקבלים אותה רמת שכר. • בהחלט תיתכנה תוצאות שאינן יעילות ואף תהיה שליטה פרטו בין שיווי משקל שונים.

26. דוגמה מספרית נניח כי יש שני סוגי פרטים. פרט מסוג 1 מייצר 20 יחידות, והעדפותיו ניתנות על ידי U1=w-e2 פרט מסוג 2 מייצר 10 יחידות, והעדפותיו ניתנות על ידי U2=w-2e2 40% מאוכלוסייה הינם פרטים מסוג 1. תועלתו של פרט שאינו בשוק העבודה הינה אפס. המעסיקים מוכרים את תפוקת הפרט במחיר 2. הם רואים את השכלת הפרט ולא את יכולתו. הם מתחרים על הפרטים על ידי מתן הצעות שכר סימולטאניות (השכר יכול להיות תלוי בהשכלת הפרט). שימו לב שלמעסיק כדאי לשלם לפחות 20 לכל פרט שמוכן לעבוד.

27. דוגמה מספרית 1 שיווי משקל מאחד ניתן למשל על ידי הצעת השכר w=28 ללא תלות בהשכלה. במקרה כזה רמת ההשכלה בה יבחרו הפרטים הינה אפס. שיווי משקל מאחד אחר ניתן על ידי הצעת שכר 28 לכל פרט עם שתי שנות השכלה לפחות. שימו לב שלא יתכן שיווי משקל כזה בו הפרטים לוקחים יותר משתי שנות השכלה. בכל שיווי משקל כזה תוחלת הרווח של כל מעסיק הינה אפס, וכל פרט ממקסם את תועלתו על ידי בחירת רמת ההשכלה המבוקשת וכניסה לשוק העבודה. שאלה: מה "באמת" יעשה מעסיק אם יגיע אליו עובד עם 3 שנות השכלה?