ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА

1. ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА Сокол Дмитрий

2. Периметр многоугольника - это сумма длин всех его сторон. В более общем случае периметром плоской фигуры называется длина линии, являющейся ее границей. Площадь фигуры – численная величина части плоскости, которую занимает эта фигура. Площадь и периметр

3. Формулировка теорем • «Доказать, что из всех n-угольников с данным периметром наибольшую площадь имеет правильный n-угольник» • «Линия заданной длины, ограничивающая фигуру наибольшей площади - окружность»

4. Равенство трех сторон • Зафиксируем сторону AD • Допустим, что AB≠BC. Рассмотрим ∆AB1C, у которого AB1= B1C и AB1+ B1C=AB+BC. Он имеет ту же сторону AC и тот же периметр, что и ∆ABC, но, в отличие от него, является равнобедренным, поэтому его площадь больше

5. Равенство углов • Рассмотрим отдельно случаи, когда прямые AB и CD параллельны и не параллельны друг другу. • Предположим, что углы B и C не равны. • Проведем прямую l • Построим отрезок B1C1,симметричный BC относительно l. • Рассмотрим четырехугольник AB1C1D. Его периметр равен периметру ABCD, т. к. • AD+(AB+BC1)+(CD-B1C)+B1C1=AD+AB+CD+BC • Полученные противоречия показывают, что углы B и C равны.

6. Четырёхугольник • Пусть четырехугольник ABCD имеет наибольшую площадь при данном периметре. Докажем, что ABCD – квадрат. • ABCD нельзя заменить четырехугольником с тем же периметром, той же стороной, но большей площадью, поэтому все эго стороны и все углы равны

7. Случай для n>4 • Рассмотрим n-угольник, который является наибольшим при данном периметре (n>4). • Любые его 4 последовательные вершины образуют четырехугольник, у которого AB=BC=CD и углы B и C равны, иначе можно было бы заменить его четырехугольником с тем же периметром, но большей площадью. • Тогда все стороны n-угольника равны и углы тоже равны. Это и означает, что n-угольник правильный.