第十二章疑难解答

1. 第十二章疑难解答 1求下列微分方程满足所给初始条件的特解 (1) y3dx2(x2xy2)dy0x1时y1 解 原方程变形为 即  或 其通解为

2. y2x(2ln yC) 即原方程的通解为 由y|x11得C1故满足所给初始条件的特解为y2x(2ln y1) (2) 2ysin2y0x0时 y1 解 令yp则原方程化为 2pdpsin2ydy  分离变量得 两边积分得 代入初始条件y(0)1得 因而

3. 即 ysin y  分离变量得 两边积分得 代入初始条件 得C20 因此满足所给初始条件的特解为 (3) y2yycos xx0时y0 解 齐次方程y2yy0的特征方程为 r22r10 其根为r1 21

4. 齐次方程y2yy0的通解为y(C1C2x)ex齐次方程y2yy0的通解为y(C1C2x)ex 因为f(x)cos xii不是特征方程的根所以非齐次方程的特解应设为 y*Acos xBsin x 代入原方程得 2Asin x2Bcos xcos x 比较系数得A0 故 从而原方程的通解为 将初始条件代入通解得

5. 解之得C10C21 因此满足所给初始条件的特解为 5已知某曲线经过点(1 1)它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标求它的方程 解 设点(xy)为曲线上任一点则曲线在该点的切线方程为 Yyy(Xx) 其在纵轴上的截距为yxy因此由已知有 yxyx即 这是一个一阶线性方程其通解为

6. 即方程的通解为yx(Cln x) 由于曲线过点(1 1)所以C1 因此所求曲线的方程为yx(1ln x) 6已知某车间的容积为30306m3其中的空气含012%的CO2(以容积计算)现以含CO2004%的新鲜空气输入问每分钟应输入多少才能在30min后使车间空气中CO2的含量不超过006%?(假定输入的新鲜空气与原有空气很快混合均匀后以相同的流量排出) 解 设每分钟应输入的空气为a m3t时刻车间中CO2的浓度为x(t)则车间中CO2的含量(以体积计算)在t时刻经过dt min的改变量为

7. 30306 dx00004adtaxdt 分离变量得 由于x00004故两边积分得 即 由于开始时车间中的空气含012%的CO2即当t0时 x00012代入上式得C0 0008因此 由上式得

8. 由于要求30min后车间中CO2的含量不超过006%即当t30时x00006由于要求30min后车间中CO2的含量不超过006%即当t30时x00006 将t30x0 0006代入上式得a180ln 4250 因为 所以x是a的减函数考试当a250 时可保证x00006 因此每分钟输入新鲜空气的量不得小于250m3 7设可导函数(x)满足 求(x) 解 在等式两边对x求导得 (x)cos x(x)sin x2(x)sin x1

9. 即 (x)tan x(x)sec x 这是一个一阶线性方程其通解为 cos x(tan xC)sin xCcos x 在已知等式中令x0得(0)1代入通解得C1故 (x)sin xcos x  8设函数uf(r)在r0内满足拉普拉斯 (Laplace)方程

10. 其中f(r)二阶可导且f(1)f (1)1试将拉普拉斯方程 化为以r为自变量的常微分方程并求f(r) 解 因为 所以 同理可得

11.  于是 因此拉普拉斯方程化为 即 令 则以上方程进一步变成  即 

12. 其通解为 即  由于f(1)1即r1时 所以C11 在方程 的两边积分得 又由于f(1)1即r1时u1所以C22 从而 即  9设y1(x)、y2(x)是二阶齐次线性方程yp(x)yq(x)y0 的两个解令

13. (1)W(x)满足方程W p(x)W0 证明 证明 因为y1(x)、y2(x)都是方程yp(x)yq(x)y0的解 所以 y1p(x)y1q(x)y10y2p(x)y2q(x)y20 从而 W p(x)W(y1y2 y1y2 y1y2 y1y2)p(x)( y1y2 y1y2) y1[y2p(x)y2] y2[y1p(x)y1] y1[q(x)y2] y2[q(x)y1] 0

14. 即W(x)满足方程W p(x)W0 (2) 证明 已知W(x)满足方程 W p(x)W0 分离变量得 将上式两边在[x0x]上积分得 即