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一、极限四则运算法则 PowerPoint PPT Presentation


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§2 - 4 极限运算法则. 一、极限四则运算法则. 定理 1. 若 lim f ( x )= A , lim g ( x )= B 存在, 则. (1) lim[ f ( x )  g ( x )] =. lim f ( x )  lim g ( x ) =. A  B. (2) lim[ f ( x ) g ( x )] =. lim f ( x ) · lim g ( x ) =. A · B. (3). 证 : (2) 因 lim f ( x )= A , lim g ( x )= B , 均存在 ,.

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一、极限四则运算法则

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§2-4 极限运算法则

一、极限四则运算法则

定理1.若limf (x)=A, limg(x)=B存在, 则

(1) lim[f (x) g(x)] =

limf (x)limg(x) =

AB

(2) lim[f (x)g(x)] =

limf (x) ·limg(x) =

A ·B

(3)


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证: (2) 因limf (x)=A, limg(x)=B, 均存在,

则f (x)=A+(x), g(x)=B+(x).

从而

[A+(x)]·[B+(x)]

f (x) ·g(x)=

= AB+[A(x)+ B(x)+(x)(x)]

得lim[ f (x) ·g(x)] = AB

同理可证(1), (3).


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推论:设limf (x)存在. C为常数, n为自然数. 则

(1) lim[Cf (x)] = C limf (x)

(2) lim[f (x)]n = [limf (x)]n


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定理2. limf (x)=a, limg(x)=b均存在. 且恒 有f (x)g(x). 则limf (x)  limg(x)

证:记F(x) = f (x) – g(x) 0.

由保号性定理及定理1.

有limF(x) = lim[f (x) – g(x)]

= limf (x)–limg(x)

0.

即 limf (x)  limg(x).


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例1.

解: 由于

= 2–6 = –4

= 2 ·23 + 22 – 4 =16,


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例2.

解:由定理1及其推论, 有


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例3.


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更一般的, 以后将有结论: 若f (x)为初等函数. 且f (x)在点 x0处有定义. 则

比如:


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例5.

解:将x=0代入. 分子, 分母都为0. 不能用定理1(3). 想法约去零因子x.

为此, 有理化.


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例6.

解:这是有理函数. 当x时的极限问题. 分子, 分母的极限都为. 不存在. 不能用定理1(3).

同除以分母的最高次幂x2.


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例9.

解:这是两无穷大量之差的问题. 即“ ” 型.

对无理函数, 可考虑有理化.


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二、复合函数的极限

求复合函数的极限时, 常可用“ 换元法” 简化运算.


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例12.

当x1时, lnx0, 而当lnx0时, cos(lnx)cos0=1.

解:直观地看.

或者, 令u=lnx,

当x1时, u0,

代入

这种方法称为换元法. 使用时, 将原式中所有x换写成u的表达式. 极限过程xx0换成相应的u的极限过程.


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定理3.设y =f [(x)]由y =f (u), u=(x)复合而成.

且在x0的某去心邻域Û (x0)内, (x)  u0

证 (略).


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例13.

解: (1) 令u=sinx.

代入.

(2) 也可直接利用例3后介绍的结论, 有


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§2-5 夹逼定理 两个重要极限

一、夹逼定理

定理1.设在点x0的某去邻域Û (x0, 1)内, 有 F(x)f (x)G(x),


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从而, 2>0.

证: >0.

当0<|x–x0|<2时, 有|F(x)–A|<且|G(x)–A|<.

故 A– < F(x) , G(x) < A+

即 |f (x)–A|< .

注:定理对x的情形也成立.


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二、重要极限


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u

u

u0

例1.

解:

= 1 ·1=1

这个重要极限, 可写成

其中, u可以为函数.


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例2.

解:

= 3·1= 3


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例6.

解:

由于x. 所以x    0.

因此, 令u=x , 当x时, u0, 代入

= 1


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例7.

解:

变形.


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例8.

解:


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例9.

解:


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例10.

解:

= lne

= 1


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§2-6 无穷小量的比较

一般, 无穷小量的商有下列几种情形.


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定义1.设lim(x)=0, lim(x)=0.

则称(x)是比(x)高阶的无穷小量,

记作, (x)=o((x))

或称(x)是比(x)低阶的无穷小量,

则称(x)是比(x)低阶的无穷小量.


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则称(x)和(x)是同阶无穷小量,

记作, (x)= O((x))

则称 (x)是(x)的k阶无穷小量.


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则称(x)和(x)是等价无穷小量,

记作, (x) ~ (x)

显然, 若(x) ~ (x), 则 (x)和(x)是同阶无穷小量,

但反之不对.


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比如,

(i)

(ii)

(iii)


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定理1.设(x),  (x), (x),  (x)是某极限过程中的无穷小量. f (x)是另一变量, 且,  (x) ~  (x), (x) ~  (x), 则

只须右端极限存在或为无穷大.


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证: (1) 因为(x) ~  (x), (x) ~  (x),

所以

类似可证(2), (3).


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例1.

由于当x0, tgx ~ x,

解:

从而tg2x ~ 2x.

当x0, sinx ~ x,

从而sin5x ~ 5x.

故,


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例2.

解:

= 1


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例3.

解:

= 0

或,

= 0 ·1= 0


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m

o

t

§2-7 函数的连续性

一、函数的连续性

例. 火箭升空时, 质量变化情形如图.

一般, 当 f (x)连续变化时, 其图形是一条连续曲线.

m0

反之, 若 f (x)图形是一条连续曲线, f (x)则是连续变化的.

t0


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y

y

o

o

x

x

y = (x)

y = f (x)

B

f (x0)

y

y

A

y

y

y

y

x0

x0

x

x

x

x

x x0

x x0

从图上可看出, (x)在x0间断. 但f (x)在x0连续.

(x)在x0的极限不存在, 而


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定义1.设f (x)在x0的某邻域U(x0)内有定义.

则称f (x)在x0连续, x0称为f (x)的连续点.

否则称f (x)在x0间断, x0称为f (x)的间断点, 或称为不连续点.

由于当f (x)为多项式时, 有

所以, 多项式及正, 余弦函数在任何点x0处连续.


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连续定义也可用 语言给出。

若对 >0, >0,使得当|xx0|<时,

对应的函数值f (x)满足| f (x)  f (x0) |<

则称f (x)在x0处连续.

注:与极限定义比较, 将"a"换成"f (x0)"

将"0<|xx0|< "换成" |xx0|< ".


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若f (x)在(a, b)内每一点连续, 则称f (x)在开区间(a, b)内连续.

记作 f (x)C(a, b).

其中

C(a, b)表示在(a, b)内连续的函数全体所成集合.

若f (x)在(a, b)内连续,

且f (x)在x=a右连续.

在x=b左连续.

则称f (x)在闭区间[a, b]上连续.

记作 f (x)C[a, b].


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一般, 设变量u从初值u0变到终值u1,

记u=u1u0,

称为变量u的增量(改变量).

u可正, 可负, 还可为0.

另外,u1 = u0+ u


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设f (x)在U(x0)有定义,

xU(x0),

记 x =xx0

称为自变量x在x0处增量(改变量).

且 x = x0 + x

记 y = f (x)  f (x0) = f (x0+ x)  f (x0)

称为y在x0处相应于x的增量(改变量).


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(令x = xx0)

连续定义可用函数的增量的形式给出.

定义3.设y=f (x)在U(x0)有定义.

若当x = xx00时, 有y=f (x0+x)f (x0)0

则称f (x)在x0连续.


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y

o

x

如图.

y=(x)

C

y=CD的长

A

y

B=(x0)

D

x>0

x0

x0+ x


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y

o

x

y=f (x)

y= –(MN的长)

C

y=CD的长

y

M

f (x0)

D

N

x>0

x<0

x0+x

x0

x0+x


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二、连续函数的基本性质

定理2.若f (x), g(x)在点 x0处连续, 则

(1) af (x)+bg(x)在x0处连续, 其中a, b为常数.

(2) f (x) ·g(x)在x0连续.

(3) 当g(x0)0时,


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定理3.设若y=f [(x)]由 y=f (u), u=(x)复合而成.

若u=(x)在x0连续,

u0=(x0),

而y=f (u)在u0

连续,

则复合函数y=f [(x)]在x0连续.

要证y=f [(x)]在x0连续, 只须证>0, >0, 当|x–x0|< 时, 有| f [(x)] –f [(x0)]|<. 即可.

证:


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>0, 因y=f (u)在u0连续,

故 > 0, 当|u–u0|<, 有| f (u) – f (u0)|< .

又因u=(x)在x0连续.

从而对上述 > 0,

>0, 当|x–x0|<时, 有|u–u0|= |(x) – (u0)|< .

进而有

| f [(x)] – f [(x0)]| = | f (u) –f (u0)|< 

故y=f [(x)]在x0连续.


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将这个定理与P52,定理2比较, 这里少了条件"Û (x0), 使得在Û (x0)内, (x)  u0".

这是因为f (u)在u0连续.


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注意: P52定理2中条件"… (x)  u0 "不能少.

如, 设

而u = (x) =1, x R.

则当xx0时, u = (x)1.

而当u 1时,y=f (u) 2.

即按P52. 定理2, 应有


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式子

= f [(x0)]相当于

因此, 有

推论.若lim[(x)] =A. 且 y=f (u)在 u=A连续, 则

limf [(x)] = f [lim(x)]


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例4.

解:


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定理4.若y =f (x)在区间I上单调增加(减少)且连续,

则其反函数x=f –1(y)在相应区间上单调增加(减少) 且连续.

定理5.若y =f (x)在x0连续, 且f (x0)>0 (<0), 则U(x0), 使 x U(x0), 有 f (x)>0 (<0).


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三、初等函数的连续性

定理6. (1) 基本初等函数在其定义域内连续.

(2) 初等函数在其定义域内连续.

例5.


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例6.


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称形如y=[f (x)]g(x)的函数为幂指函数, 其中f (x)>0.

根据对数恒等式 y=elny, y >0, 有[f (x)]gx = eg(x) ·lnf (x),

因此, 当f (x), g(x)均连续时, [f (x)]g (x)也连续.

即,


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例7.

若 limf (x) = A > 0. limg(x) = B, 存在.


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= 21 = 2

例8.


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