第五章   多维数组与广义表
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第五章 多维数组与广义表. 2007.9. 5.1 多维数组 5.1.1 多维数组的定义 5.1.2 多维数组的存储 5.2 矩阵的压缩存储 5.2.1 特殊矩阵 5.2.2 稀疏矩阵 5.3 广义表. 5.1 多维数组. 5.1.1 多维数组的定义. 一维数组 一维数组可以看成是一个线性表或一个向量,它在计算机内是存放在一块连续的存储单元中,适合于随机查找。 有一个直接前驱和一个直接后继 二维数组 二维数组可以看成是向量的推广。 有两个直接前驱和两个直接后继. 三维数组 最多可有三个直接前驱和三个直接后继 多维数组

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Presentation Transcript

  • 5.1 多维数组

    5.1.1多维数组的定义

    5.1.2多维数组的存储

  • 5.2 矩阵的压缩存储

    5.2.1 特殊矩阵

    5.2.2 稀疏矩阵

  • 5.3 广义表


5.1 多维数组


5 1 1
5.1.1多维数组的定义

  • 一维数组

    • 一维数组可以看成是一个线性表或一个向量,它在计算机内是存放在一块连续的存储单元中,适合于随机查找。

    • 有一个直接前驱和一个直接后继

  • 二维数组

    • 二维数组可以看成是向量的推广。

    • 有两个直接前驱和两个直接后继


  • 三维数组

    • 最多可有三个直接前驱和三个直接后继

  • 多维数组

    • 把三维以上的数组称为多维数组,

    • 可有多个直接前驱和多个直接后继

    • 是一种非线性结构。


C语言中的描述

typedef int datatype;

datatype array1[N];

datatype array2[M][N];

datatype array3[X][Y][Z];

数组一旦被定义,它的维数和维界就不再改变。因此,数组只有存取元素和修改元素值的操作。


5.2 多维数组的存储

  • 考虑问题的基本出发点:

    • 计算机的内存结构是一维的。因此用一维内存来存多维数组,就必须按某种次序将数组元素排成线性序列。

    • 数组一旦建立,结构中的元素个数和元素间的关系就不再发生变化。因此,一般都是采用顺序存储的方法来表示数组。


两种顺序存储方式

  • 行优先顺序——将数组元素按行排列

    • 在PASCAL、C语言中,数组就是按行优先顺序存储的。

  • 列优先顺序——将数组元素按列向量排列

    • 在FORTRAN语言中,数组就是按列优先顺序存储的。

  • 推广到多维数组的情况:

    • 行优先顺序:先排最右下标,从右到左,最后排最左下标

    • 列优先顺序:先排最左下标,从左向右,最后排最右下标。


计算机如何实现数组元素的随机存取?

如何计算数组元素的地址?

按上述两种方式顺序存储的序组,只要知道:

  • 开始结点的存放地址(即基地址),

  • 维数

  • 每维的上、下界

  • 每个数组元素所占用的单元数,

    就可以将数组元素的存放地址表示为其下标的线性函数。因此,数组中的任一元素可以在相同的时间内存取,即顺序存储的数组是一个随机存取结构。


如何计算数组元素的地址?

a

a

a

a

a

a

……

……

00

00

01

01

0n

0n

-

-

1

1

a

a

a

a

a

a

……

……

10

10

11

11

1n

1n

-

-

1

1

………………………….

………………………….

a

a

a

a

a

a

m

m

-

-

1 0

1 0

m

m

-

-

1 1 ……

1 1 ……

m

m

-

-

1 n

1 n

-

-

1

1

内存

内存

  • 一维数组

  • 二维数组

  • 三维数组

0

ListSize -1


  • 假设数组各维的下界是1,按“行优先顺序”存储,假设每个元素占用d个存储单元。

  • 二维数组Amn, aij的地址计算函数为:

    LOC(aij)=LOC(a11)+[(i-1)*n+j-1]*d

  • 三维数组Amnp,aijk的地址计算函数为:

    LOC(aijk)=LOC(a111)+[(i-1)*n*p+(j-1)*p +(k-1)]*d


  • 更一般的二维数组是A[c1..d1,c2..d2],这里c1,c2不一定是1。

    aij的地址计算函数为:

    LOC(aij)=LOC(ac1c2)+[(i-c1)*(d2-c2+1)+j-c2)]*d

  • 例如,在C语言中,数组各维下标的下界是0,因此在C语言中,二维数组的地址计算公式为:

    LOC(aij)=LOC(a00)+(i*(d2+1)+j)*d


最基本的原理

Ai1…in的起始地址

第一个元素的起始地址

该元素前面的元素个数

单位长度

=



2006 1
2006-1

  • 对于二维数组a[0…4,1…5],设每个元素占1个存储单元,且以行为主序存储,则元素a[2,1]相对于数组空间起始地址的偏移量是___(40)___。(40)A.5B.10

    C.15D.25

2003

  • 设数组a[3..16,5..20]的元素以列为主序存放,每个元素占用两个存储单元,则数组元素a[i,j](3≤i≤16,5≤j≤20)的地址计算公式为___(11)___。

    (11)A.a-118+2i+28j B.a-116+2i+28j

    C.a-144+2i+28j D.a-146+2i+28j


2001

  • 二维数组X 的行下标范围是0~5,列下标范围是1~8,每个数组元素占六个字节,则该数组的体积为__(6)__个字节,若已知X 的最后一个元素的起始字节地址为382,则X 的首地址(即第一个元素的起始字节地址)为__(7)__,记为Xd。若按行存储,则X{1,5] 的起始地址是__(8)__, 结束字节地址是__(9)__。若按列存储,则X[4,8]的起始字节地址为__(10)__。

  • (6): A.210 B.240 C.288 D.294

  • (7): A.0 B.6 C.94 D.100

  • (8): A.Xd+24 B.Xd+72 C.Xd+78 D.Xd+144

  • (9): A.Xd+29 B.Xd+77 C.Xd+83 D.Xd+147

  • (10):A.Xd+186 B.Xd+234 C.Xd+270 D.Xd+276


5.2 矩阵的压缩存储



5 2 1
5.2.1在编程时,简单而又自然的方法,是将矩阵描述为一个二维数组。矩阵在这种存储表示之下,可以对其元素进行随机存取。 几种常见的特殊矩阵

对称矩阵

在一个n阶方阵A中,若元素满足下述性质:aij=aji 0≦i,j≦n-1,则称A为对称矩阵。

特征:元素关于主对角线对称

压缩存储的办法:

只存矩阵中上三角或下三角中的元素。

所需空间:


三角矩阵在编程时,简单而又自然的方法,是将矩阵描述为一个二维数组。矩阵在这种存储表示之下,可以对其元素进行随机存取。

  • 特征:

    • 上三角矩阵中,主对角线的下三角中的元素均为常数。在大多数情况下,常数为零。

    • 下三角矩阵正好相反。

  • 压缩方法:

    • 只存上(下)三角阵中上(下)三角中的元素

    • 常数c可共享一个存储空间

  • 所需空间:


对角矩阵在编程时,简单而又自然的方法,是将矩阵描述为一个二维数组。矩阵在这种存储表示之下,可以对其元素进行随机存取。

  • 特征:

    • 所有的非零元素集中在以主对角线为中心的带状区域中,

    • 即除了主对角线和主对角线相邻两侧的若干条对角线上的元素之外,其余元素皆为零。

  • 压缩存储的办法:

    只存对角线上的元素。

  • 存三对角矩阵所需的空间:

三对角矩阵


稀疏矩阵在编程时,简单而又自然的方法,是将矩阵描述为一个二维数组。矩阵在这种存储表示之下,可以对其元素进行随机存取。

  • 特征:只有少量非零元素,且非零元素的分布没有规律。

  • 压缩存储的办法:

    只存非零元素。

  • 所需空间:与非零元素的个数和存储方式有关。


5 2 2
5.2.2在编程时,简单而又自然的方法,是将矩阵描述为一个二维数组。矩阵在这种存储表示之下,可以对其元素进行随机存取。 特殊矩阵的压缩存储

  • 矩阵类型

    • 对称矩阵

    • 三角矩阵

    • 对角矩阵

  • 压缩的基本思想:

    • 只存有用的元素

    • 由用二维数组改为用一维数组来存放

  • 说明:

    • 按C语言中规定,下标从0开始

    • 不失一般性,按“行优先顺序”存储


=在编程时,简单而又自然的方法,是将矩阵描述为一个二维数组。矩阵在这种存储表示之下,可以对其元素进行随机存取。 所需空间

  • 关键问题

    • 如何确定一维数组的大小?

    • 如何确定矩阵元素在一维数组中的位置?从而保证对矩阵元素的随机存取

Aij的位置

=

该元素前的元素个数


1在编程时,简单而又自然的方法,是将矩阵描述为一个二维数组。矩阵在这种存储表示之下,可以对其元素进行随机存取。. 对称矩阵

  • 如何确定一维数组的大小?

  • 设:存放下三角阵中的元素,

  • 则:如何确定元素Aij在一维数组中的位置?


2. 在编程时,简单而又自然的方法,是将矩阵描述为一个二维数组。矩阵在这种存储表示之下,可以对其元素进行随机存取。三角矩阵

  • 如何确定一维数组的大小?

  • 设:在下三角阵中,

  • 则:如何确定元素Aij在一维数组中的位置?


3.在编程时,简单而又自然的方法,是将矩阵描述为一个二维数组。矩阵在这种存储表示之下,可以对其元素进行随机存取。三对角矩阵

  • 如何确定一维数组的大小?

  • 如何确定元素Aij在一维数组中的位置?

在Aij之前有i行,共有3*i-1个非零元素,

在第i行, aij之前有j-i+1个非零元素,

3*i-1+(j-i+1) = 2*i+j


程序员试题在编程时,简单而又自然的方法,是将矩阵描述为一个二维数组。矩阵在这种存储表示之下,可以对其元素进行随机存取。

2004-1 对矩阵压缩存储的主要目的是__(5)__。

(5) A.方便运算 B.节省存储空间

C.降低计算复杂度 D.提高运算速度

2003 将一个三对角矩阵A[l..100,1..100]中的元素按行存储在一维数组B[l..298]中,矩阵A中的元素A[66,65]在数组B中的下标为___(4)___。

(4) A.195 B.196 C.197 D.198


5 2 3
5.2.3 在编程时,简单而又自然的方法,是将矩阵描述为一个二维数组。矩阵在这种存储表示之下,可以对其元素进行随机存取。稀疏矩阵的压缩存储

  • 顺序存储:三元组表

  • 链式存储:十字链表


1.在编程时,简单而又自然的方法,是将矩阵描述为一个二维数组。矩阵在这种存储表示之下,可以对其元素进行随机存取。三元组表存稀疏矩阵

  • 考虑:

    • 只存非零元素

    • 一个非零元素的必需信息有:(i,j,aij)

    • 记录一个稀疏矩阵的必需信息有:行数M,列数N,非零元素个数T

M=5

N=5

T=7


三元组表的在编程时,简单而又自然的方法,是将矩阵描述为一个二维数组。矩阵在这种存储表示之下,可以对其元素进行随机存取。C语言描述

#define maxsize 10000

typedef int datatype;

typedef struct{/*三元组结点*/

int i,j;

datatype v;

}TriTupleNode;

typedef struct{

TriTupleNode data[maxsize]; /*三元组表*/

int m,n,t;/*稀疏矩阵的行数,列数,非零元素个数*/

}TriTupleTable;


2在编程时,简单而又自然的方法,是将矩阵描述为一个二维数组。矩阵在这种存储表示之下,可以对其元素进行随机存取。.带行指针的三元组表

  • 把具有相同行号的非零元用一个单链表连接起来,稀疏矩阵中的若干行组成若干个单链表,合起来称为带行指针的链表。


3.在编程时,简单而又自然的方法,是将矩阵描述为一个二维数组。矩阵在这种存储表示之下,可以对其元素进行随机存取。十字链表


5 2 4
5.2.4在编程时,简单而又自然的方法,是将矩阵描述为一个二维数组。矩阵在这种存储表示之下,可以对其元素进行随机存取。应用举例:稀疏矩阵的转置

1.矩阵转置的数学解释

一个m×n的矩阵A,它的转置B是一个n×m的矩阵,且a[i][j]=b[j][i],0≦i≦m,0≦j≦n。

Aij=Bji


2.在编程时,简单而又自然的方法,是将矩阵描述为一个二维数组。矩阵在这种存储表示之下,可以对其元素进行随机存取。利用三元组表实现转置

Aij=Bji

M=4

N=2

T=5

M=2

N=4

T=5


A data i j
思想一:直接在编程时,简单而又自然的方法,是将矩阵描述为一个二维数组。矩阵在这种存储表示之下,可以对其元素进行随机存取。交换a.data中i和j的内容

问题:b.data是一个按列优先顺序存储的稀疏矩阵B

解决方法:重新排列B中三元组的顺序。

Aij=Bji

M=2

N=4

T=5

按i排序

M=4

N=2

T=5


M=2在编程时,简单而又自然的方法,是将矩阵描述为一个二维数组。矩阵在这种存储表示之下,可以对其元素进行随机存取。

N=4

T=5

b.m=a.n; b.n=a.m; b.t=a.t;/*基本信息的赋值*/

/*按交换i、j的方式给B的三元组赋值*/

for ( i=0; i<b.t; i++ ) { b.data[i].i=a.data[i].j; b.data[i].j=a.data[i].i; b.data[i].v=a.data[i].v;}

/*扫描B,按i排序*/

M=4

N=2

T=5

按i排序


思想二:在在编程时,简单而又自然的方法,是将矩阵描述为一个二维数组。矩阵在这种存储表示之下,可以对其元素进行随机存取。A中按列序找三元组,写入B

  • B的行优先即A的列优先

  • 对A的第col列 ,扫描三元组表a.data,找出所有列号等于col的三元组,将它们的行号和列号互换后依次放入b.data中,即可得到B的按行优先的压缩存储表示。

Aij=Bji

col=0,没有匹配的三元组

col=1,找到2,3,4

col=2,找到5,6

M=4

N=2

T=5

M=2

N=4

T=5


Void transmatrix(tripletable a,tripletable b)在编程时,简单而又自然的方法,是将矩阵描述为一个二维数组。矩阵在这种存储表示之下,可以对其元素进行随机存取。

{ int pa, pb, col;

b.m=a.n; b.n=a.m; b.t=a.t; /*基本信息的赋值*/

if(b.t<=0) { printf(“A=0\n”); return 0;} /*无非零元素*/

pb=0; /*pb指向三元组表B中的当前位置*/

for(col=0;col<a.n;col++)/*按列col扫描表A*/

for(pa=0;pa<=a.t;pa++) /*pb指向表A中的当前位置*/

/*找所有列号等于col的三元组,i,j互换写放入B*/

if(a.data[pa].j==col){ b.data[pb].i=a.data[pa].j;

b.data[pb].j=a.data[pa].i;

b.data[pb].v=a.data[pa].v;

pb++;

}

}


算法分析在编程时,简单而又自然的方法,是将矩阵描述为一个二维数组。矩阵在这种存储表示之下,可以对其元素进行随机存取。

  • 主要的工作是在pa和col的两个循环中完成的,故算法的时间复杂度为O(n*t),即矩阵的列数和非零元的个数的乘积成正比。

  • 传统矩阵的转置算法的时间复杂度为O(n*m)

  • 当非零元素的个数t和m*n同数量级时,该算法的时间复杂度为O(m*n2)。(最坏情况)

  • 三元组顺序表虽然节省了存储空间,但时间复杂度比一般矩阵转置的算法还要复杂,同时还有可能增加算法的难度。因此,此算法仅适用于t<=m*n的情况。


思想三:在编程时,简单而又自然的方法,是将矩阵描述为一个二维数组。矩阵在这种存储表示之下,可以对其元素进行随机存取。快速转置

  • 基本思想:在A中按行序找三元组,确定该三元组在B中的位置,写入B.

  • 关键问题:如何确定每个三元组在B中的位置

    • A中三元组在B的中位置=

      每列的第一个非零元素在数组B中应有的位置

      +

      每一列非零元素的个数


M=2在编程时,简单而又自然的方法,是将矩阵描述为一个二维数组。矩阵在这种存储表示之下,可以对其元素进行随机存取。

N=4

T=5

M=4

N=2

T=5

Aij=Bji

由递推关系得出cpos的值:

cpos[0]=0

cpos[i]=cpos[i-1]+cnum[i-1]


void fasttranstri(tritupletable b,在编程时,简单而又自然的方法,是将矩阵描述为一个二维数组。矩阵在这种存储表示之下,可以对其元素进行随机存取。tritupletable a)

{ intcol;/*当前列号*/

int pa, pb; /*pa,pb:三元组a,b的下标*/

int cnum[0..a.n], cpos[0..a.n];

b基本信息m,n,t的赋值;

若a无非零元素,则返回;

初始化数组cnum;

/*统计a中每列非零元素的个数;*/

for(pa=0; pa<a.t; pa++) { col=a.data[pa].j; cnum[col]++;}

/*由递推关系计算cpos的值*/

cpos[0]=0;

for(col=1;col<=a.n;col++)

cpos[col] = cpos[col-1] + cnum[col-1];


/*在编程时,简单而又自然的方法,是将矩阵描述为一个二维数组。矩阵在这种存储表示之下,可以对其元素进行随机存取。扫描a,将元素交换i,j写入b*/

for( pa=0; pa<a.t; pa++ ){

col = a.data[p].j;

pb = cpot[col];

b.data[pb].i = a.data[pa].j;

b.data[pb].j = a.data[pa].i;

b.data[pb].v = a.data[pa].v;

cpos[col]++;

}

}

}


算法分析在编程时,简单而又自然的方法,是将矩阵描述为一个二维数组。矩阵在这种存储表示之下,可以对其元素进行随机存取。

  • 时间复杂度O(n+t)。

  • 当非零元素的个数t和m*n同数量级时,该算法的时间复杂度为O(m*n),与不压缩存储的情况相同。


5.3 在编程时,简单而又自然的方法,是将矩阵描述为一个二维数组。矩阵在这种存储表示之下,可以对其元素进行随机存取。广义表


5.5.1 在编程时,简单而又自然的方法,是将矩阵描述为一个二维数组。矩阵在这种存储表示之下,可以对其元素进行随机存取。基本概念

广义表是第2章提到的线性表的推广。线性表中的元素仅限于原子项,即不可以再分,而广义表中的元素既可以是原子项,也可以是子表(另一个线性表)。

1.广义表的定义

广义表是n≥0个元素a1,a2,…,an的有限序列,其中每一个ai或者是原子,或者是一个子表。广义表通常记为LS=(a1,a2,…,an),其中LS为广义表的名字,n为广义表的长度, 每一个ai为广义表的元素。但在习惯中,一般用大写字母表示广义表,小写字母表示原子。

2.广义表举例

(1)A=( ),A为空表,长度为0。

(2)B=(a,(b,c)),B是长度为2的广义表,第一项为原子,第二项为子表。

(3)C=(x,y,z),C是长度为3的广义表,每一项都是原子。

(4)D=(B,C),D是长度为2的广义表,每一项都是上面提到的子表。

(5)E=(a,E),是长度为2的广义表,第一项为原子,第二项为它本身。


3在编程时,简单而又自然的方法,是将矩阵描述为一个二维数组。矩阵在这种存储表示之下,可以对其元素进行随机存取。.广义表的表示方法

1)用LS=(a1,a2,…,an)形式,其中每一个ai为原子或广义表

例如:A=(b,c), B=(a,A) , E=(a,E) 都是广义表。

2)将广义表中所有子表写到原子形式,并利用圆括号嵌套

例如,上面提到的广义表A、B、C可以描述为:

A(b,c)

B(a,A(b,c))

E(a,E(a,E(…)))

3)将广义表用树和图来描述


4在编程时,简单而又自然的方法,是将矩阵描述为一个二维数组。矩阵在这种存储表示之下,可以对其元素进行随机存取。.广义表的深度

一个广义表的深度是指该广义表展开后所含括号的层数。

.

(1)A=(b,c) (2)B=(a,A) (3)C=(A,B) (4) E=(a,E)

depth=1 depth=2 depth=3 depth=∞

E

a

5.广义表的分类

(1)线性表:元素全部是原子的广义表。

(2)纯表:与树对应的广义表,见图 (1)和(2)。

(3)再入表:与图对应的广义表(允许结点共享),见图 (3)。

(4)递归表:允许有递归关系的广义表,例如(4)。

这四种表的关系满足:

递归表再入表纯表 线性表


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