Matura 2000

1. Matura 2000 Sind unsere Reifeprüfungsaufgaben noch zeitgemäß?

2. Eine typische Reifeprüfungsaufgabe Um den Punkt B(0/b) wird der Kreis beschrieben, der durch den Scheitel A(a/0) der Hyperbel hyp ... x² - y² = a² geht. Dreht man das zwischen den beiden Kurven liegende Flächenstück um die y-Achse, so entsteht ein ringförmiger Körper. Beweise, dass dieser Körper einen doppelt so großen Rauminhalt hat wie eine Kugel mit dem Durchmesser b.

3. Sind die konventionellen Reifeprüfungsaufgaben überhaupt ein ausreichendes Instrumentarium zur Operationalisierung moderner Lernziele? Können wir an der Art der konventionellen Reifeprüfungsaufgaben etwas ändern, ohne den konventionellen Unterricht zu ändern? Die Erreichung welcher Kompetenzen soll durch die Reifeprüfung festgestellt werden? Benötigen wir die Reifeprüfung überhaupt zur Feststellung der Hochschulreife?

4. Sind die konventionellen Reifeprüfungsaufgaben überhaupt ein ausreichendes Instrumentarium zur Operationalisierung moderner Lernziele?

5. Die Erreichung welcher Kompetenzen soll durch die Reifeprüfung festgestellt werden?

6. Können wir an der Art der konventionellen Reifeprüfungsaufgaben etwas ändern, ohne den konventionellen Unterricht zu ändern?

7. Aus der Bildungs- und Lehraufgabe • Mathematisches Wissen und Können:Die Schülerinnen und Schüler sollen mit der Verwendung geeigneter mathematischer Texte und Arbeitsmittel, insbesondere elektronischer Rechengeräte, vertraut werden.

8. Anregung 1 Den Schülerinnen und Schülern soll im Unterricht die Möglichkeit zum Arbeiten mit Computern gegeben werden. Die Verwendung eines Tabellenkalkulationsprogramms und eines funktional arbeitenden Rechenprogramms sollten zum mathematischen Standard gehören.  Auch bei der Reifeprüfung soll ein Computer zur Verfügung stehen.

9. Beispiel 1 Archimedes berechnete näherungsweise die Umfangslänge eines Einheitskreises durch die Verwendung eingeschriebener und umgeschriebener regelmäßiger Vielecke. Jeden Näherungswert für die halbe Kreisumfangslänge, also für die Zahl , kann man durch die Verdoppelung der Eckenanzahl verbessern. Starte mit regelmäßigen Sechsecken. Berechne  auf fünf Nachkommastellen genau.

10. Zur Lösung der Aufgabe 1 1. Lösungsschritt: Ableiten oder Aufsuchen der passenden Formeln:

11. Zur Lösung der Aufgabe 1 2. Lösungsschritt: Ermitteln der Startwerte für die Sechsecksseiten:

12. Zur Lösung der Aufgabe 1 3. Lösungsschritt: Erstellen einer Kalkulationstabelle:

13. Aus der Bildungs- und Lehraufgabe • Argumentieren und exaktes Arbeiten. • Präzises Beschreiben von Sachver-halten, Eigenschaften und Begriffen. • Arbeiten unter bewusster Verwendung von Regeln. • Begründen. • Vollständigkeit einer Argumentation überblicken. • Rechtfertigen von Entscheidungen.

14. Anregung 2 Den Schülerinnen und Schülern sollen Kompetenzen in den mathematischen „Grundtechniken“ vermittelt werden: Präzises Beschreiben, Begründen, Argumentieren, Rechtfertigen von Entscheidungen, Revidieren, ...  Diese Kompetenzen sind auch bei der Reifeprüfung einforderbar!

15. Beispiel 2a Stelle die Binomialverteilung, die Hypergeometrische Verteilung, die Poisson-Verteilung und die Normalverteilung einander gegenüber. Für welche Wahrscheinlichkeitsmodelle sind die einzelnen Verteilungen einsatzfähig? Unterstütze deine Erläuterungen durch eigene Beispiele.

16. Beispiel 2b Erläutere die Begriffe Stammfunktion, unbestimmtes Integral und bestimmtes Integral. Zeige an einem Beispiel, dass es zu einer gegebenen Funktion f unendlich viele Stammfunktionen geben kann. Veranschauliche diesen Sachverhalt auch graphisch.

17. Beispiel 2c Untersuche die folgenden Funktionen über dem gegebenen Intervall auf Extremalstellen. Bestimme allfällige Extrema.

18. Beispiel 2c

19. Aus der Bildungs- und Lehraufgabe • Anwenden von Mathematik: • Die Schülerinnen und Schüler sollen ihr mathematisches Wissen und Können in verschiedenen Bereichen, insbesondere in solchen, die zu ihrer Lebens- und Wissenswelt Bezug haben, anwendenkönnen. • Die Schülerinnen und Schüler sollen Mathematik als nützliches Werkzeug zur Lösung von Alltagsproblemen erkennen.

20. Anregung 3 Schulmathematische Tätigkeiten sollten aus Bedürfnissen der Schülerinnen und Schüler erwachsen, aus der Neugierde, aus der Freude am Entdecken und Stöbern, aus dem Wunsch nach Erkennen, Strukturieren, aus der Bereitschaft zum Erfassen und Verstehen von Phänomenen unserer Welt durch Beschreiben, Umgestalten, Modellieren und Simulieren.  Auch bei der Reifeprüfung könnten Aufgaben aus dem lebenspraktischen Umfeld der Maturanten stammen.

21. Begründung „I feel even more certain than I did before thatit needs to be explored that math is part of everything around us.“ Albert Schweitzer

22. Begründung Realistische Mathematik im Schulunterricht wurde schon vor einem Vierteljahrhundert sehr vehement von H. Freudenthal gefordert. Für ihn ist Schulmathematik mathematische Aktivität, ausgehend von Erlebtem, Erkanntem und Erfahrenem.

23. Begründung Für Freudenthal ist Mathematisieren mehr als das Formalisieren alltäglicher Situationen. Er sieht darin die Hebung mathematischer Standards auf höhere Ebenen und das sinnhafte Operieren in der Mathematik unter Anwendung folgender Subdisziplinen:

24. Begründung • Verallgemeinern, Klassifizieren, Strukturieren; • Argumentieren, Reflektieren, Beweisen; • Definieren, Modellieren, Formalisieren. H. Freudenthal: Geometry Between the Devil and the Deep Sea.In: Educational Studies in Mathematics, 3, 413-435: 1971. H. Freudenthal: Mathematics as an Educational Task.Reidel: Dordrecht 1973.

25. Begründung K. Gravemeijer präzisiert 1995 die Ebenen schulmathematischer Standards: • die Situationsebene, • die Model-Of-Ebene, • die Model-For-Ebene, • die Formalisierungsebene. K. Gravemeijer: Developing Realistic Mathematics Education: Freudenthal Institute: Utrecht 1994

26. Begründung E. Glasersfeld: Es ist nicht möglich, Probleme durch “Laden” einer auswendig gelernten “richtigen” Antwort zu lösen. Hier kann konstruktivistisches Lernen helfen, das keinesfalls im Widerspruch zu den “realistischen” Lernanstößen steht, die ja ebenso von jedem Schüler in individueller Eigenheit wahrgenommen werden. E. Glasersfeld: Aspekte des Konstruktivismus.In: Konstruktivismus-Geschichte und Anwendung, Suhrkamp: Frankfurt/M 1992. E. Glasersfeld: A Constructivist Approach to Teaching.

27. Beispiel 3a Eine Teilaufgabe: Cómo calcularías la altura de la torre de la iglesia de la plaza de nuestro campus? (Wie könntest du die Höhe des Kirchturmes auf dem Platz unseres Campus‘ berechnen?)

28. Beispiel 3b Es gibt Packungen für Fruchtsaftgetränke und für Milch, die die Form von Quadern mit quadratischer Basis haben. Diese Packungen werden aus rechteckigen Kartonstücken gefaltet. Welche Abmessungen muss eine derartige Literpackung haben, damit der Kartonverbrauch minimal ist? Beilage: Ein Packungsmodell.

29. Zur Lösung der Aufgabe 3b 1. Lösungsschritt: Untersuchung des Netzes der geöffneten Packung:

30. f a a a a f a/2 c a/2 f Zur Lösung der Aufgabe 3b a/2 a c f

31. Zur Lösung der Aufgabe 3b 2. Lösungsschritt: Aufsuchen der Bedingungen: 1. Der Kartonflächeninhalt.K = (4a + f).(a + c + 2f) 2. Die Falzbreite. Sie beträgt 15% der Grund-kantenlänge, also f = 0,15.a 3.Der Rauminhalt.

32. Zur Lösung der Aufgabe 3b 3. Lösungsschritt: Erstellung einer Extremalfunktion und weitere Lösung der Extremwertaufgabe in gewohnter Weise. Alternative:Einsatz eines Tabellenkalkulationsprogramms.

33. Zur Lösung der Aufgabe 3b .

34. Zur Lösung der Aufgabe 3b Und genauer:

35. Aus der Bildungs- und Lehraufgabe • Produktives geistiges Arbeiten als allge-meine mathematische Fähigkeit: • Kombinieren von vertrauten Methoden. • Analysieren von Problemen. • Anwenden bekannter Verfahren in teilweise neuartigen inner- und außermathematischen Situationen.

36. Aus der Bildungs- und Lehraufgabe • Persönlichkeits- und Sozialentwicklung:Die Schülerinnen und Schüler sollen befähigt werden, • Probleme sachgerecht zu bearbeiten, • Informationsquellen sachgerecht zu nutzen, • sowohl selbständig als auch kooperativ zu arbeiten.

37. Anregung 4 Der Mathematikunterricht soll den Schülerinnen und Schülern auch Methodenkompetenzen und Sozialkompetenzen vermitteln. Zu den Methodenkompetenzen gehören vor allem Fähigkeiten beim Lösen von Problemen.  Die Reifeprüfung als Projektarbeit in der Gruppe muss nicht utopisch sein.

38. Begründung Zur Lösung von Problemen im Alltag und Berufsleben stehen in der Regel Hilfsmittel und Partner zur Verfügung. Wir sollten Maturanten aus unseren Schulen entlassen, die die folgenden Eigenschaften besitzen: Kompetenz im Umgang mit RessourcenKooperationsfähigkeit

39. Herzlichen Dank für Ihre freundliche Aufmerksamkeit