Metody symulacyjne w telekomunikacji mest wyk ad 4 generowanie zdarze
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 43

Metody Symulacyjne w Telekomunikacji (MEST) Wykład 4: Generowanie zdarzeń  PowerPoint PPT Presentation


  • 84 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Metody Symulacyjne w Telekomunikacji (MEST) Wykład 4: Generowanie zdarzeń . Dr inż. Halina Tarasiuk ([email protected]), p. 337, tnt.tele.pw.edu.pl. Zagadnienia. Wstęp Planowanie zdarzeń Generowanie zdarzeń a zmienne losowe Generatory liczb losowych

Download Presentation

Metody Symulacyjne w Telekomunikacji (MEST) Wykład 4: Generowanie zdarzeń 

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Metody symulacyjne w telekomunikacji mest wyk ad 4 generowanie zdarze

Metody Symulacyjne w Telekomunikacji (MEST)Wykład 4: Generowanie zdarzeń 

Dr inż. Halina Tarasiuk

([email protected]), p. 337, tnt.tele.pw.edu.pl


Zagadnienia

Zagadnienia

  • Wstęp

  • Planowanie zdarzeń

  • Generowanie zdarzeń a zmienne losowe

  • Generatory liczb losowych

  • Generowanie wartości zmiennych losowych dla wybranych rozkładów


Zagadnienia1

Zagadnienia

  • Wstęp

  • Planowanie zdarzeń

  • Generowanie zdarzeń a zmienne losowe

  • Generatory liczb losowych

  • Generowanie wartości zmiennych losowych dla wybranych rozkładów


Wst p 1

Wstęp (1)

  • Symulacja, która ma jakiekolwiek losowe elementy musi angażować pewne próbki lub generować liczby losowe z rozkładów prawdopodobieństwa

  • Rozkłady są często wynikiem dopasowania pewnych rozkładów, np. rozkładu wykładniczego, gamma, Poissona, do danych pochodzących z obserwacji rzeczywistego systemu


Wst p 2

Wstęp (2)

  • Źródła losowości dla przykładowych systemów

    • Przemysł

      • Czas życia maszyn, czas naprawy maszyn

    • Komunikacja

      • Odstęp między wiadomościami, typ wiadomości, długość wiadomości

    • Transport

      • Czas załadunku statku, odstęp między klientami przybywającymi do odprawy


Zagadnienia2

Zagadnienia

  • Wstęp

  • Planowanie zdarzeń

  • Generowanie zdarzeń a zmienne losowe

  • Generatory liczb losowych

  • Generowanie wartości zmiennych losowych dla wybranych rozkładów


Planowanie zdarze przyk ad 1

Planowanie zdarzeń – przykład (1)

  • Symulacja prostego systemu kolejkowego z jednym serwerem obsługi i jedną kolejką

Napływ klientów

Kolejka

Serwerobsługi

Wypływ klientów

Rys. 1: Prosta reprezentacja modelu systemu


Planowanie zdarze przyk ad 2

inicjalizacja

Możliwe przejście

Planowanie zdarzeń - przykład(2)

Graf zdarzeń, model kolejkowy

Przybycie do systemu

Opuszczenie systemu


Zagadnienia3

Zagadnienia

  • Wstęp

  • Planowanie zdarzeń

  • Generowanie zdarzeń a zmienne losowe

  • Generatory liczb losowych

  • Generowanie wartości zmiennych losowych dla wybranych rozkładów


Generowanie zdarze a zmienne losowe

Generowanie zdarzeń a zmienne losowe

  • Symulacja systemów o parametrach wejściowych opisanych pewnymi zmiennymi losowymi wymaga określenia rozkładów prawdopodobieństwa tych zmiennych

  • Przykłady

    • Zmienne losowe opisujące:

      • Odstępy między klientami napływającymi do systemu kolejkowego

      • Czas obsługi klientów w systemie kolejkowym


Zmienne losowe a generowanie zdarze

Zmienne losowe a generowanie zdarzeń

  • Założenie

    • parametry wejściowe modelu symulacyjnego

      • zmienne losowe opisane danym rozkładem

  • Przebieg symulacji

    • wartości zmiennych losowych generowane zgodnie z przyjętym rozkładem


Zmienne losowe i ich w asno ci

Zmienne losowe i ich własności

  • Oznaczenia zmiennych losowych

    • X, Y, Z

  • Założenia

    • Eksperyment – pewien proces, którego wynik nie jest znany

    • Zbiór wszystkich możliwych wyników jest określany zbiorem próbek, S

    • Zmienna losowa jest pewną funkcją, która przypisuje wartość ze zbioru liczb rzeczywistych każdemu z wyników eksperymentu ze zbioru S

  • Wartości, które może przyjmowaćzmienna losowa

    • x, y, z


Zmienne losowe i ich w asno ci1

Zmienne losowe i ich własności

  • Dystrybuanta zmiennej losowej X jest zdefiniowana dla każdego x, jako

    • Gdzie P(X≤x) oznacza prawdopodobieństwo skojarzone ze zdarzeniem, że {X≤x}

  • Własności dystrybuanty

    • 0 ≤F(x) ≤1 dla wszystkich x

    • F(x) nie jest malejąca


Zmienna losowa dyskretna

Zmienna losowa dyskretna


Zmienna losowa ci g a 1

Zmienna losowa ciągła (1)

  • Zmienna losowa X jest zmienną losową ciągłą, jeżeli istnieje nieujemna funkcja f(x) taka, że dla dowolnego zbioru liczb rzeczywistych


Zmienna losowa ci g a 2

Zmienna losowa ciągła (2)

  • f(x) – funkcja gęstości

  • f(x)=F’(x)

  • Ponadto

    • jeżeli I=[a,b] dla każdej liczby rzeczywistej a i b, takiej że a < b,


Rozk ad r wnomierny

f(x)

1

x

0

1

Rozkład równomierny

  • Funkcja gęstości dla rozkładu równomiernego na odcinku [0,1]


Rozk ad wyk adniczy

Rozkład wykładniczy

  • Funkcja gęstości

  • Dystrybuanta


Zagadnienia4

Zagadnienia

  • Wstęp

  • Planowanie zdarzeń

  • Generowanie zdarzeń a zmienne losowe

  • Generatory liczb losowych

  • Generowanie wartości zmiennych losowych dla wybranych rozkładów


Generatory liczb losowych

Generatory liczb losowych

  • Generowanie liczb losowych

    • Umożliwia otrzymywanie wartości zmiennych losowych z przyjętego rozkładu

  • Załóżmy, że rozkład jest znany

    • Chcemy wygenerować liczby losowe zgodnie z danym rozkładem, aby przeprowadzić symulację dla przyjętego modelu symulacyjnego


Ci gi losowe

Ciągi losowe

  • Wyróżniamy trzy typy ciągów losowych

    • Prawdziwie losowe

      • Generowane przez losowy proces fizyczny

    • Pseudolosowe

      • Liczby generowane wg ścisłej procedury matematycznej, czyli reprodukowalne

    • Quasilosowe

      • Ciągi, które nie muszą spełniać kryteriów losowości, ale jedynie dawać poprawne rozwiązania problemów

      • Ciągi quasilosowe tworzy się na użytek już postawionych zadań


Metody generowania liczb losowych

Metody generowania liczb losowych

  • Dla celów badań symulacyjnych, w których opisujemy zmienne losowe za pomocą rozkładów prawdopodobieństwa stosujemy metody generowania liczb pseudolosowych

  • Jednak w dalszej części liczby pseudolosowe będziemy określać jako liczby losowe

  • W praktyce nie przeprowadzamy badań symulacyjnych z ciągiem liczb prawdziwie losowych

  • Interesują nas wyniki w pewien sposób powtarzalne

    • Np. aby porównać dwa systemy


Metodologia generowania liczb losowych

Metodologia generowania liczb losowych

  • Pierwszy generator arytmetyczny

    • Generator von Neumanna i Metropolisa (lata 40-te XX wieku)

    • Bazujący na metodzie średniokwadratowej


Wymagania na arytmetyczny generator liczb losowych

Wymagania na arytmetyczny generator liczb losowych

  • Przede wszystkim, generowane liczby powinny

    • Pokrywać się z rozkładem równomiernym na odcinku [0,1]

    • Nie powinny wykazywać korelacji, w przeciwnym przypadku wyniki symulacji nie będą prawidłowe

  • Powinniśmy móc otrzymać taki sam ciąg liczb powtórnie

    • Np. w celu powtórzenia eksperymentu symulacyjnego

    • Lub w celu porównania działania dwóch systemów

  • Generator powinien umożliwić

    • łatwe generowanie kilku oddzielnych ciągów liczb losowych (jeden ciąg dedykowany dla jednego źródła losowego)


Przyk ad metoda redniokwadratowa

Przykład – metoda średniokwadratowa

  • Rozpocznijmy od czterocyfrowej dodatniej liczby całkowitej Z0

  • Podnieśmy ją do kwadratu, aby uzyskać liczbę całkowitą ośmiocyfrową (jeżeli konieczne uzupełnijmy zerami z lewej strony)

  • Należy wybrać cztery środkowe cyfry, które będą stanowić kolejną czterocyfrową liczbę całkowitą Z1

  • Aby uzyskać pierwszą liczbę losową z rozkładu równomiernego U1(0,1) tworzymy w oparciu o Z1 liczbę dziesiętną


Przyk ad metoda redniokwadratowa1

Przykład – metoda średniokwadratowa


Przyk ad metoda redniokwadratowa2

Przykład – metoda średniokwadratowa

  • Ocena metody

    • Metoda ma tendencję dążenia do zera i pozostawania w tym stanie

    • Można to zaobserwować np. w rozważanym przykładzie dla większej liczby kroków lub np. dla Z0=1009


Metody generowania liczb losowych1

f(x)

1

x

0

1

Metody generowania liczb losowych

  • Metoda generowania zmiennych losowych z rozkładu równomiernego na odcinku [0,1]


Generatory kongruencyjne liniowe

Generatory kongruencyjne liniowe

  • Wiele generatorów liczb losowych stosowanych obecnie to generatory kongruencyjne liniowe, LCG (Linear Congruential Generator)

    • Sekwencja liczb całkowitych Z1, Z2, ... jest wyznaczana następująco:

    • Gdzie m, a, c, Z0 - wartość początkowa, są to liczby całkowite nieujemne


Generatory kongruencyjne liniowe1

Generatory kongruencyjne liniowe

  • Aby otrzymać żądaną liczbę losową stosujemy wzór:

    • gdzie 0<m, a<m, c<m i Z0<m


Przyk ad

Przykład

  • Rozważmy generator LCG o parametrach

    • m=16,

    • a=5,

    • c=3,

    • Z0=7


Przyk ad1

Przykład

  • Podsumowanie

    • W rozważanym przypadku obserwujemy cykliczne powtarzanie się otrzymywanych wyników

    • Długość cyklu jest określana jako okres

    • W rozważanym przykładzie okres wynosi 16


Generator lcg

Generator LCG

  • Generator LCG jest generatorem pełno-okresowym

  • Jeżeli generator jest pełno-okresowy dowolny wybór wartości Z0 z przedziału {0, 1, ..., m-1} będzie generował pełny ciąg


Generator lcg1

Generator LCG

  • Twierdzenie

    • Generator LCG opisany wzorem

    • ma pełny okres wtedy i tylko wtedy, jeżeli spełnione są następujące warunki

      • Jedyną dodatnią liczbą całkowitą, która dzieli bez reszty m i c jest 1

      • Niech q będzie liczbą pierwszą, jeżeli m jest podzielne przez q, wówczas a-1 jest również podzielne przez q

      • Jeśli m jest podzielne przez 4 wówczas a-1 jest również podzielne przez 4


Przyk ad generator rand

Przykład – generator rand()


Przyk ad generator rand1

Przykład – generator rand()


Zagadnienia5

Zagadnienia

  • Wstęp

  • Planowanie zdarzeń

  • Generowanie zdarzeń a zmienne losowe

  • Generatory liczb losowych

  • Generowanie wartości zmiennych losowych dla wybranych rozkładów


Generowanie warto ci zmiennych losowych

Generowanie wartości zmiennych losowych

  • Załóżmy, iż

    • chcemy wygenerować zmienną losową X, która jest zmienną losową ciągłą

    • Zmienna ta ma dystrybuantę F, która jest ciągła i rosnąca, gdy 0<F(x)<1

    • Niech F-1 będzie funkcją odwrotną do funkcji F


Generowanie warto ci zmiennych losowych1

Generowanie wartości zmiennych losowych

  • Metodologia

    • Wówczas algorytm generowania zmiennej losowej X mającej dystrybuantę F jest następujący

      • Generujemy

      • Zwracamy


Rozk ad wyk adniczy1

Rozkład wykładniczy

  • Funkcja gęstości

  • Dystrybuanta


Przyk ad2

Przykład

  • Niech X będzie zmienną losową mającą rozkład wykładniczy z wartością średnią 

  • Dystrybuanta rozkładu dana jest funkcją

  • Aby znaleźć F-1, przyjmujemy u=F(x) i w ten sposób znajdujemy x


Przyk ad3

Przykład

  • Funkcja odwrotna przyjmuje wartość


Przyk ad kod c

Przykład – kod C++


  • Login