Cap. 6. Definição e métodos de resolução do problema
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Cap. 6. Definição e métodos de resolução do problema de valores de fronteira. 1. Pressupostos 2. Formulação clássica do problema de elasticidade linear 2.1 Condições no interior 2.2 Condições de fronteira 2.3 Tipos dos problemas de elasticidade 2.4 Condições iniciais

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Cap. 6. Definição e métodos de resolução do problema

de valores de fronteira

1. Pressupostos

2. Formulação clássica do problema de elasticidade linear

2.1 Condições no interior

2.2 Condições de fronteira

2.3 Tipos dos problemas de elasticidade

2.4 Condições iniciais

2.5 Desvantagens da formulação clássica

3. Métodos de resolução do problema de elasticidade

3.1 Método dos deslocamentos

3.1 Método das forças

4. Resolução dos problemas simples

5. Princípio de Saint-Vénant


1. Pressupostos:

análise fisicamente linear

Ou seja material linearmente elástico

ou seja a teoria dos pequenos deslocamentos, que implica:

(i)a teoria das pequenas deformações,

ou seja a linearidade de deformações em

função de derivadas dos deslocamentos

(ii) não se distingue a forma inicial

da final do MC

análise geometricamente linear

Análise linear

Materiais não lineares

ainda para peq. deformações: betão

Elementos estruturais não lineares

ainda para peq. deformações: cabos

lento e gradual aumento das cargas

Caso clássico de análise não linear:

problema de contacto

Análise estática


sejam satisfeitas em cada ponto interior do MC,

A análise com os pressupostos do slide anterior ou seja a análise linear estática

costuma-se designar o problema de elasticidade linear que faz parte do

conjunto dos problemas de valores de fronteira

2. Formulação clássica do problema de elasticidade linear

2.1 Condições no interior

O problema de elasticidade define-se da seguinte maneira:

Encontrar campos de deslocamentos (3 componentes), de deformações (6 componentes) e de tensões (6 componentes) para as quais as 15 equações fundamentais (3 tipos)

6 Equações deformações - deslocamento

3 Equações de equilíbrio

6 Equações constitutivas


Superfícies sem carga e sem deslocamentos impostos fazem

parte da superfície com a carga

Geométricas

Estáticas

em cada ponto da superfície do MC,

nomeadamente geométricas na parte da fronteira

e estáticas na parte da fronteira

2.2 Condições de fronteira

Igualmente os campos das entidades incógnitas

têm que satisfazer as condições de fronteira

A “necessidade” das condições de fronteira é a consequência

do facto, que as equações fundamentais são diferenciais

Mais é válido

de facto os conjuntos poderão ser

sobrepostos desde que se relacionam

às diferentes componentes


2.3 Tipos dos problemas de valores de fronteira

1º problema

de valores de fronteira

2º problema

de valores de fronteira

problema de valores

de fronteira misto

2.4 Condições iniciais

Habitualmente assume-se o estado inicial sem carga, sem tensões e sem deformações, mas igualmente podem-se estudar casos com um campo de tensões iniciais imposto, ou com um campo de deformações iniciais imposto, que podem corresponder às deformações térmicas

2.5 Desvantagens da formulação clássica

Exige-se demasiada continuidade, que restringe

o número dos problemas que se podem resolver

A tensão tem que ser contínua incluindo as primeiras derivadas (e. equilíbrio), que

implica a deformação contínua incluindo as primeiras derivadas (e. constitutivas)

e os deslocamentos contínuos até as segundas derivadas (e. deform. – deslocam.)

Quando é preciso implementar as condições de compatibilidade, os deslocamentos têm que ter as derivadas de terceira ordem contínuas, o que aumenta a continuidade das tensões e das deformações até segundas derivadas


3.1 Método dos deslocamentos

incógnita básica:

Equações de Lamé

Exemplo da primeira equação de 3

geométricas

estáticas

3. Métodos de resolução do problema de elasticidade

= condições de equilíbrio em termos de deslocamentos

+ condições de fronteira em termos de deslocamentos

Gabriel Lamé, 1795-1870


Resolvendo:

3.2 Método das forças

incógnita básica:

Podem-se escrever na forma:

onde

é uma matriz de operadores

condições de equilíbrio, reordenação

Equações de Beltrami-Michell

6

Não são precisas as

condições de compatibilidade

Ponto de partida: Condições de compatibilidade

Eugenio Beltrami, 1835-1900

= condições de compatibilidade em termos de tensões


pela integração

Exemplo da primeira equação do primeiro bloco de 3

Exemplo da primeira equação do segundo bloco de 3

+ condições de fronteira em termos de tensão

(difícil exprimir desta maneira as condições geométricas)

Resolvendo:

do campo de deformação que é já compatível

John-Henry Michell (1863 - 1940)


4. Resolução dos problemas simples

Existe apenas o número finito dos materiais distintos, igualmente

o número de interfaces entre os materiais diferentes é finito

 Há possibilidade de assumir a distribuição das tensões e das deformações

uniforme em cada material distinto que forma o MC

Como consequência o campo de deslocamento é linear

 Aplicam-se apenas as cargas normais e o campo de temperatura

Como consequênciadesenvolvem-se apenas as componentes normais

das tensões e das deformações

Resolução a partir das condições de fronteira

Interfaces


Distribuição da tensão normal uniforme

5. Princípio de Saint-Vénant

Cargas estaticamente equivalentes

cargas cujas resultantes (força - binário)

são iguais na secção transversal de aplicação

Os efeitos locais na zona de aplicação de cargas diminuem rapidamente com a distância, por isso as cargas aplicadas na realidade podem ser substituídas pelas cargas estaticamente equivalentes

Adhémar Jean Claude Barré

de Saint-Venant, 1797 - 1886

Excepção: algumas cargas concentradas aplicadas em cascas


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