理论力学（二）

1. 理论力学（二） 哈密顿力学 2011.10

2. 拉格朗日方程的降阶 • 拉格朗日函数是以广义坐标和广义速度描述系统的。通过拉格朗日方程，可以得到二阶微分方程组。这与牛顿力学通过力的各个分量的分析，得到运动的加速度满足的方程具有类似的形式。 • 可以用广义速度为中间变量vi，把二阶微分方程变为一阶微分方程，代价是变量个数加倍。

3. 广义动量作为中间变量 • 这2s个方程中，计算 qi的时间微商太简单，而计算 vi的时间微商太复杂。中间变量取 vi并不合适。从拉格朗日方程看，直接可以计算广义动量 pi，因而把它取为中间变量是合适的。 • 但是，拉格朗日函数中，自变量含有广义速度，而不含有广义动量。需要反解出广义速度用广义动量来表达。 • 哈密顿力学的理论研究了如何取自变量和系统函数来描述力学体系，使所得方程更加简单易解：

4. 勒让德变换 • 系统函数以谁为自变量，则它的全微分就写成这些变量的微分之线性组合，系数就是该自变量的共轭变量，也即系统函数对该自变量的偏微分。 • 勒让德变换可以将系统函数的某个自变量（如下例的x）换为它的共轭变量（u），同时，系统函数也有相应变化。例如：

5. 拉格朗日函数变换为哈密顿函数 • 拉格朗日函数为系统函数时，广义速度和广义动量是共轭坐标。 • 如果想以 pi为自变量，则进行勒让德变换：

6. 哈密顿函数 • 定义哈密顿函数H(p,q,t)，数值上等于广义能量积分，但必须以广义动量为自变量。 • 则对应有：

7. 哈密顿正则方程 • 得到哈密顿正则方程（共2s个）： • 方程给出了2s个变量随时间的变化率，可一步步积分求出以后各个时刻的值。其中前s个给出广义速度和广义动量之间的关系，后s个等价于原来的s个拉格朗日方程。 • p 和 q 称为正则共轭变量，正则方程具有对称形式。

8. 哈密顿正则方程中的循环坐标 • 从对应关系 得知，如果拉格朗日函数不显含某个广义坐标，即存在某循环坐标，则哈密顿函数也不显含它，对应的广义动量守恒，因而可以将系统的自由度减少一维（可遗坐标） • 2s个正则变量只要其中一个在哈密顿函数中不显含，它对应的正则共轭变量就是常数，系统的自由度就可以减少一维（可遗）。 • 如果拉格朗日函数不显含时间，则哈密顿函数也不显含时间，广义能量积分或哈密顿量守恒。

9. 哈密顿正则方程与拉格朗日方程比较 • 拉格朗日函数及方程可以直接得到。而哈密顿函数需要通过广义动量代替广义速度之后，从拉格朗日函数经过变换得到。 • 拉格朗日方程是二阶的微分方程，而哈密顿方程是一阶的。但哈密顿方程的变量个数增大了一倍。 • 对于循环坐标，哈密顿正则方程处理起来方便很多，无论哈密顿函数缺少任意一个q，p，t，都可以找到它相应的守恒量。 • 拉格朗日方程和哈密顿方程本质上是等价的。

10. 劳斯函数 • 经过对比得知，哈密顿正则方程擅长对循环坐标处理，而拉格朗日方程对普通坐标处理较为简便。若只对循环坐标采用勒让德变换，使其处理用哈密顿正则方程，而对其余则不做变换，所得的为劳斯函数。设q1~qm是循环坐标，其余不是，则劳斯函数为

11. 劳斯方程 • 同时， • 对应可得

12. 哈密顿函数及正则方程举例 • 弹簧谐振子问题。 • 相对论带电粒子。

13. 哈密顿正则方程举例 • 平方反比有心力场中的运动 • 不能因为pq是恒量而直接替去L中的 ，而是应该用劳斯函数，其中pq才能当常数处理。 作业：3.1, 3.2, 3.3 第15次课

14. 哈密顿正则方程解题步骤 • 用哈密顿正则方程解题的步骤大致有 • 确定系统的自由度，选取广义坐标。 • 写出系统的拉格朗日函数。 • 计算广义动量，并用广义动量来表示广义速度。 • 通过勒让德变换计算哈密顿函数H。得到的H表达式中的广义速度用广义动量替换。 • 列出哈密顿正则方程。 • 求解方程，得到广义坐标随时间的变化关系。并结合初始条件确定积分常数。

15. 哈密顿正则方程举例 • 相对论粒子在电磁场中运动（习题3.5）

16. 由哈密顿原理推导哈密顿正则方程 • 由哈密顿原理出发，将p，q都看成是独立变量，变分之后能得到哈密顿正则方程。

17. 正则变换 • 通过对拉格朗日函数做勒让德变换，以广义动量为自变量替换了广义速度，得到哈密顿正则方程。进一步，考虑用一组新的自变量 Qi(q,p,t)，Pi(q,p,t) 和新的系统函数 K(Q,P,t) 和方程来描述力学体系的演化，有可能使得方程求解更加简便。 • 如果新的变量和函数之间仍然满足正则方程，则从q，p，H到Q，P，K的变换为正则变换。

18. 正则变换的等价条件 • 如果到Q，P，K的变换为正则变换，则有 反之，将Q，P视为独立变量，也可以得到正则方程，因而是正则变换。 • 进一步，如果有 （其中 f 是任意函数），则显然也能满足积分的变分为0的条件，也即能判断是正则变换。这是因为真实运动过程的作用量最小，无论用新旧变量描述，只相差一个全微分。

19. 正则变换的生成函数 • 虽然 f 任意，按照其全微分应该写为各个变量微分的线性组合的原则，这里 f 称为生成函数，它的自变量应该是 f1 = f(q,Q,t)。因此 • 对应各项系数，有

20. 正则变换的第2种类型 • 还可以通过勒让德变换，用 p 或 P 作为 f 的自变量，能得到其他3种类型的正则变换。 • 对应各项系数有

21. 正则变换的3、4种类型 • 第3种类型的正则变换的生成函数和系数对应关系为： • 第4种类型的关系为：

22. 几个简单的正则变换 • 广义坐标和广义动量互换，生成函数为 • 相空间平移 作业：3.4, 3.6, 3.7, 3.11 第16次课

23. 正则变换实例 • 给定P，Q表达式，求证为正则变换的问题， 通过化 为全微分即可（若没给 K 则取 K=H）。 • 例：证明 Q = ln(sin(p)/q)，P = q cot(p) 为正则变换。

24. 正则变换实例 • 证明给定P=P(p,q)，Q=Q(p,q)是正则变换的充分必要条件为雅克比行列式 • 证：

25. 雅克比行列式 • 考虑平面上使用正交曲线坐标(q,p)，另有正交曲线坐标为u=u(q, p)，v=v(q, p)，面积元： • 雅克比行列式是面积元变换时的系数。

26. 正则变换实例 • 给出变换求生成函数。 • 已知有一变换Q=qncos(mp)，P=qnsin(mp)，其中m,n是常数。求(1)该变换为正则变换时m,n的值。(2)正则变换时的第3类生成函数。 • 证：

27. 正则变换实例 • 给出生成函数求变换并求解。 • 对于谐振子哈密顿函数 进行正则变换 ，求解系统的运动。 • 解：

28. 正则变换实例 • 给出生成函数求变换并求解。 • 已知生成函数 给出相应的正则变换，并求解抛体的运动问题。 • 解：

29. 泊松括号 • 泊松括号定义为 • 对于只含单个p,q的情况是雅克比行列式。 • 利用正则方程，任意函数的全微分可表示为： 用以判断该物理量是否守恒。

30. 泊松括号基本性质 • 反对称性 • 是否配对 正则变换时 • 微分 • 分配律 • 结合律 • 泊松恒等式 • 正则不变性 作业：3.13, 3.14, 3.15, 3.18 第17次课

31. 泊松定理 • 如果f(q,p,t)和g(q,p,t)是守恒量，则由他们组成的泊松括号也是守恒量。利用全微分算符和偏微分算符可交换的性质，有 • 即可得证。由泊松定理，可以从两个已知的守恒量推导出更多的守恒量，但大多得到的是常数或原来运动积分的线性组合。

32. 泊松括号的正则不变性 • 进行了正则变换之后，用新的P，Q作为泊松括号表达式中作偏导数的自变量，其泊松括号不变，即柏松括号的正则不变性。 • 对于自由度为1的情况，有 • 即可得证。多维的情况证明从略。

33. 泊松括号例题 • Jx，Jy，Jz和J分别是相对原点的角动量的三个分量和总角动量。求[Jx，Jy]，[Jx，J]，说明Jx，Jy不能同时成为广义动量，若他们两个都是运动积分，则Jz也是运动积分。 证： 两个广义动量的泊松括号必为0而[Jx，Jy]≠0。

34. 泊松括号例题 • 哈密顿函数H=p1p2+q1q2，证明p12+q22和p22+q12是守恒量，并导出其他守恒量。 证： 若前两个量守恒则此量也守恒。

35. 哈密顿-雅可比方程的由来 • 取适当的生成函数，正则变换之后，有可能使得系统函数特别简单，从而方程的求解也很简单。最简单的情况是，系统函数变为0。这时，由P，Q满足的正则方程可得： • 因此，P，Q均为常数。同时，若是第2类生成函数，则有

36. 哈密顿-雅可比方程 • 这样，牛顿力学中求解方程的问题，转化为如何寻找适合的生成函数的问题。设生成函数（主函数）是S，则有 这就是哈密顿-雅可比方程。通过求解此方程，可以得到包含s+1个积分常数（记为P0，P1，...，PS）的生成函数S。

37. 哈密顿主函数中的积分常数 • 这s+1个积分常数，正是哈密顿-雅可比方程中s+1个自变量的偏微分经过积分得到的。其中，P0不起任何作用，也没有物理意义，可以舍去或取为0。其余s个，取作生成函数中的P，即正则变换的新广义动量。 • 由正则变换，可以得到s个运动积分Q：

38. 哈密顿主函数的物理意义 • 哈密顿主函数S其实正是作用量函数，这可以从下式中看出： • 哈密顿主函数S也被称为哈密顿作用量函数。 • 哈密顿函数如果不显含时间 t，则它为守恒量，从而主函数可以积分得到如： • 其中 W 不含时间，称为哈密顿特征函数。

39. 哈密顿-雅可比方程的解法 • 求解偏微分的哈密顿-雅可比方程，一般常用分离变量法。如前面对哈密顿函数不含时间 t 的处理，即是分离变量 t 。 • 一般来说，如果哈密顿函数中只含有某个坐标 qk和 pk的组合 g(qk,pk)，则在哈密顿-雅可比方程中，可以令 而在哈密顿-雅可比出现这个组合的地方用这个常数代替，使方程中减少了这个变量。

40. 哈密顿-雅可比方程实例 • 用哈密顿-雅可比方程求解一维简谐振荡。 • 解： 作业：3.20, 3.21, 3.22, 3.24 第18次课

41. 哈密顿-雅可比方程实例 • 用哈密顿-雅可比方程求解开普勒问题。 • 解：

42. 哈密顿-雅可比方程分离变量实例 • 用哈密顿-雅可比方程求解哈密顿函数为 的问题。 • 解： • 其中，Di是积分常数，加在Wi中无实际意义。

43. 哈密顿-雅克比方法的相关讨论 • 从哈密顿-雅克比方程解出主函数S，取之为第2类正则变换生成函数。其中的积分常数换为新广义动量P1,P2,…,Ps。变换得到K=0。从而P,Q均为常数。 • 这s+1个“积分常数”并不一定是在积分过程中产生的，反而常常是在分离变量中出现的。 • 这些积分常数经常是一些守恒量。它们的全微商为0，但做正则变换时又被视为自变量来求偏导： • 哈密顿-雅克比主函数S虽然就是作用量函数，但直接通过对L积分求出S却缺乏s个积分常数P，不能用于正则变换。 • 哈密顿函数H描述了系统的性质，而哈密顿-雅克比主函数S描述的系统进一步是具有相同的多个守恒量P的状态。

44. 分析力学的应用——连续体系 • 连续体系：由无限多个相互关联的介质或场构成的、空间上连续变化的力学体系。如弹性固体，流体，甚至电磁场，都可以当作连续体系处理。 • 以一维弹性体为例，将连续体系看作是各个离散的质点，单位体积的拉格朗日函数为：

45. 连续体系的拉格朗日函数 • 连续体系的特点是具有以时间和空间为自变量的场量。 • 在弹性力学中，E是杨氏模量，代表物体的弹性。l是物体的线密度。偏离平衡位置的位移量作为连续体系的场量。 • 全空间的拉格朗日函数为： • 其中，广义速度在保留一阶小量时可以写为q对时间的偏微分。

46. 连续体系的拉格朗日方程 • 连续体系的特点是具有以时间和空间为自变量的场量。拉格朗日密度函数一般含有场量对时间的偏微分和对空间的偏微分。从而可以运用哈密顿最小作用量原理求出场量所遵循的拉格朗日方程。

47. 连续体系的拉格朗日方程 • 通过对时间和空间分部积分得到：

48. 一维弹性体的拉格朗日方程 • 对于一维弹性体，可得： • 这是一个以速度 vs传播震动的波动方程。其解为正向和反向传播的行波： 作业：3.25, 3.26, 3.27 第19次课

49. 电磁场的拉格朗日函数 • 对于作用量中电磁场本身贡献的部分，必须是与坐标选取无关的标量（注意到dVdt是4维时空的“体积”，是与坐标选取无关的量）：

50. 电磁场的拉格朗日方程 • 而带电粒子与场的相互作用部分为： • 从而： • 应用哈密顿原理得拉格朗日方程：