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第十章 离散时间系统及卷积

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第十章 离散时间系统及卷积. 10.1 离散时间系统. 输入 si(n). 输出 so(n). 系统. 1 、离散系统的概念. 离散时间系统是指输入及输出信号均是离散信号的系统。. 系统 1. 输入. 输入. 输出. 系统 1. 系统 2. 系统 2. 系统 1. 系统 2. 输出. 输入. 系统 4. 系统 3. 2 、离散系统的互联. 输出. a. 系统的级联. b. 系统的并联. c. 系统的混联. 3 、离散时间系统的模型. 10.2 离散时间系统的分类. 1 、线性系统. 2 、时不变系统. 3 、因果系统.

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Presentation Transcript
slide3

输入si(n)

输出so(n)

系统

1、离散系统的概念
  • 离散时间系统是指输入及输出信号均是离散信号的系统。
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系统1

输入

输入

输出

系统1

系统2

系统2

系统1

系统2

输出

输入

系统4

系统3

2、离散系统的互联

输出

a.系统的级联

b.系统的并联

c.系统的混联

slide10
4、稳定系统
  • 对有界输入信号的响应还是有界信号的系统是稳定系统。
  • 或者说,如果输入信号的幅度限制在某个范围之内,则输出信号的幅度也限制在某个范围之内。
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1、系统函数
  • 对应连续时间系统中的h(t),离散时间系统中有h(n)。
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3、从系统函数到卷积

h(n)

(n)

系统

n

n

f(n)

T

slide15

s(t)

f(t)

h(n)f(0)

系统

t

T

h(n-1)f(1)

于是输入信号f(n)的输出就等于一系列h(n)(经过加权和移位)的叠加

t

h(n-k)f(k)

t

slide17
于是,借助系统函数-即冲激响应函数,我们就在系统的输入信号与输出信号之间建立了一种明确的数学关系,这种数学关系就是卷积关系。于是,借助系统函数-即冲激响应函数,我们就在系统的输入信号与输出信号之间建立了一种明确的数学关系,这种数学关系就是卷积关系。
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4、卷积的性质及一类特殊的卷积

卷积具有如下重要性质:

  • 交换率:s(n)h(n)= h(n)  s(n)
  • 分配率:

s(n)[h1(n)+h2(n)]= s(n)  h1(n)+ s(t)  h2(n)

slide22
1、级联系统

输入

输出

系统1

系统2

h1(n)

h2(n)

系统h(n)

此种情况下,系统的冲激响应函数:

h(n)=h1(n)h2(n)

slide23
2、并联系统

系统1

输入

输出

h1(n)

系统2

h2(n)

系统h(n)

此种情况下,系统的冲激响应函数:

h(n)=h1(n)+h2(n)

slide24

系统1

系统2

输入

输出

系统4

系统3

系统h(t)

3、混联系统

h1(t)

h2(t)

h4(t)

h3(t)

此种情况下,系统的冲激响应函数:

h(t)={[h1(t)h2(t)]+ h3(t)} h4(t)

slide26
1、时域与频域的关系
  • 时域卷积等价于频域乘积,即
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于是,我们在系统冲激响应函数、输入信号、输出信号之间建立了联系,这种联系不仅体现在时域中,而且体现在频域中。于是,我们在系统冲激响应函数、输入信号、输出信号之间建立了联系,这种联系不仅体现在时域中,而且体现在频域中。
  • 基于这些联系,我们可以分析和解决很多问题
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1)级联系统

输入

输出

系统1

系统2

h1(n)

h2(n)

系统h(n)

此种情况下,系统的冲激响应函数:

h(n)=h1(n)h2(n)H()=H1()·H2()

slide29
2)并联系统

系统1

输入

输出

h1(n)

系统2

h2(n)

系统h(n)

此种情况下,系统的冲激响应函数:

h(n)=h1(n)+h2(n) H()=H1()+H2()

slide30

系统1

系统2

输入

输出

系统4

系统3

系统h(n)

3)混联系统

h1(n)

h2(n)

h4(n)

h3(n)

此种情况下,系统的冲激响应函数:

h(n)={[h1(n)h2(n)]+ h3(n)} h4(n)

H()={H1()·H2()+H3()} ·H4()

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应当注意的是,有些情况下,采用时域法求解较为容易,而有些情况下,采用频域法较为方便。应当注意的是,有些情况下,采用时域法求解较为容易,而有些情况下,采用频域法较为方便。
slide34

si(0)引起的输出=2h(n)

si(n)

3

4

2

2

2

n

si(0)

si(1)

n

h(n)

si(1)引起的输出=3h(n-1)

2

1

1

6

n

3

3

n

总的输出=2h(n)+3h(n-1)

8

7

3

2

n

slide35
3、时域卷积等价与频域乘积的物理意义
  • 从广义上看,任何一个系统h(n),都可以看成是一个滤波器。因为它们均实现了一定的频率选择性。
  • 解释同连续时间系统
slide38
得到H()之后可以通过逆离散付里叶变换反解出系统冲激响应函数h(n)。得到H()之后可以通过逆离散付里叶变换反解出系统冲激响应函数h(n)。
slide40
1、园周移位
  • x(n),n=0,1,2,…N-1的信号的圆周移位又写成<x(n-k)>N
  • 具体方法如下图。

<X(n-1)>N

<X(n-2)>N

X(n)

3

n

3

n

3

n

<X(n-4)>N

<X(n-3)>N

3

n

3

n

slide41
2、园周卷积
  • 我们知道,前面介绍求解输出信号时可以采用频域法,即对输入x(n),系统h(n),求解输出y(n)时,可以先求Y()=X()H(),再反变换回去得y(n),不过,反变换涉及积分,不太方便计算机处理。
  • 问题,有没有其他的办法在频域也离散化,即根据Y(k)来求解y(n)???
slide42
回答:有,而且实际的处理中,结合FFT,IFFT,就是用这种方法来处理的。回答:有,而且实际的处理中,结合FFT,IFFT,就是用这种方法来处理的。
  • 我们知道:
  • 对x(n),h(n),n[0,N),其周期拓展后的信号的离散付里叶变换(DFT)为X(k),H(k), k[0,N)。
  • 假设Y(k)=X(k)·H(k)。
  • 那么问题是,Y(k)做逆离散付里叶变换(IDFT)得到的y(n)是什么??
slide46
举例来看:

h(n)

3

n

3

n

n

3

在[0,N-1]内=圆周移位

<h(n-1)>N

3

n

slide47

n

3

n

3

n

n

3

3

在[0,N-1]内=圆周移位

<h(n-2)>N

在[0,N-1]内=圆周移位

<h(n-m)>N

slide49
回答,如不做特殊处理,园卷积与正常卷积不同,在做特殊处理之后,可以相同。回答,如不做特殊处理,园卷积与正常卷积不同,在做特殊处理之后,可以相同。
  • 问题:一个K点的h(n)和一个L点的x(n)正常卷积可以得到一个多少点的y(n)??
  • 回答:K+L-1点。
slide50
例如:

h(n)=[1,2,3,4]

h(0-m)

3

n

3

m

x(n)=[1,2,2,1]

x(m)

3

n

3

m

slide51
同理:

h(1-m)

3

m

x(m)

3

m

slide52
继续移动,最终正常卷积得到的

y(n)=[1,4,9,15,16,11,4]共7点

  • 下面看园周卷积
slide53
园周卷积:

<h(0-m)>N

3

m

x(m)

3

m

slide54
解释:<h(0-m)>N是怎样得来的:

h(m)

有了<h(0-m)>N,自然求

解<h(n-m)>N 就方便了,实际上就是不断地向右做园周移位

3

m

<h(0-m)>N

h(-m)

取0~N-1点

周期延拓

3

m

3

m

3

m

slide55
园周卷积:

<h(1-m)>N

3

m

x(m)

3

m

slide56
依次有:
  • y’(n)=[17,15,13,15]。显然同前面的y(n)不同。
  • 问题,如何处理才能使y’(n)=y(n)??
  • 回答:将K点的x(n),L点的h(n)通过补0分别展成K+L-1点的序列,再做园周卷积即可。
slide57
还用上例:

h(n)=[1,2,3,4,0,0,0]

补0展长后的序列

7

n

x(n)=[1,2,2,1, 0,0,0]

7

n

slide58
展长后的园周卷积:

<h(0-m)>N

7

m

x(m)

注:<h(0-m)>N的获取仍采用前面介绍过的方法

7

m

slide59
展长后的园周卷积:

<h(1-m)>N

7

m

x(m)

7

m

slide60
依次可得y’(n)=[1,4,9,15,16,11,4]=y(n)
  • 上述方法的频域实现是:

第一步,将K点的x(n)和L点的h(n)展成K+L-1点的序列。

第二步,分别做展长后的序列的离散付里叶变换X(k)和H(k)

第三步,将X(k)和H(k)相乘得Y(k)

第四步,将Y(k)做反离散付里叶变换得y(n)即可。

slide62
第一步,将K点的x(n)和L点的h(n)展成大于K+L-1点且最贴近的2M长序列。第一步,将K点的x(n)和L点的h(n)展成大于K+L-1点且最贴近的2M长序列。

第二步,分别做展长后的序列的FFT变换得X(k)和H(k)

第三步,将X(k)和H(k)相乘得Y(k)

第四步,将Y(k)做IFFT变换得y(n)即可。

slide64
这一章,我们介绍了离散时间系统的概念,及性质:线性、移不变、因果、稳定这一章,我们介绍了离散时间系统的概念,及性质:线性、移不变、因果、稳定
  • 介绍了离散系统函数,及离散冲激响应函数,并从离散输出输入的关系引出离散卷积的概念,并介绍了离散卷积的性质。
  • 然后就离散输入输出之间的关系问题在时域和频域分别进行了讨论,即在时域内,输出信号是输入信号与冲激响应的卷积,在频域内,输出信号的频谱是输入信号的频谱与冲激响应信号频谱的乘积。
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从以上的内容可以得出两种求解输出信号的方法,即时域卷积法,和频域乘积后再做付里叶反变换的求解方法,这里要注意的是,离散反付里叶变换的积分限是一个周期,即0到2。从以上的内容可以得出两种求解输出信号的方法,即时域卷积法,和频域乘积后再做付里叶反变换的求解方法,这里要注意的是,离散反付里叶变换的积分限是一个周期,即0到2。
  • 我们还介绍了系统的互联方式,以及互联后的系统冲激响应及其频谱的求解方法。
  • 我们还介绍了根据差分方程求解系统冲激响应的方法
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