Homologia, Rozdział I

1. Homologia, Rozdział I „Przegląd” Homologia, Rozdział 1

2. Homologia • Pozwala na podstawie lokalnych obserwacji wnioskować na temat całości, • Narzędzie łączące w sobie algebrę, kombinatorykę, matematykę obliczeniową oraz topologię, Homologia, Rozdział 1

3. Przykład – otaczanie. (Slajd 1) Rys 1.1 Homologia, Rozdział 1

4. Nasuwające się pytanie: Czy możemy rozwinąć algebraiczne narzędzie, które zdeterminuje ile regionów jest otoczonych przez zbiór linii? Rys 1.2 Homologia, Rozdział 1

5. Cele tej książki: • Nauczyć, jak dopasować do danej przestrzeni topologicznej sekwencję obiektów zwanych ‘grupami homologicznymi’, • Uzyskanie informacji na temat topologii całej przestrzeni. Homologia, Rozdział 1

6. Grafy • Graf jako sposób definiowania prostych obiektów, • Definicja (1.1) graf – podzbiór R3 na który składają się: • {V1, ..., vn} , vi R – zbiór wierzchołków • {X R3 | x = tv0 + (1-t)v1, 0  t  1} – zbiór krawędzi łączących wierzchołki (v0 ,v1) grafu spełniające warunki: • Przecięcie dwóch różnych krawędzi jest zbiorem pustym lub dokładnie jednym wierzchołkiem • Jeżeli krawędź oraz wierzchołek przecinają się to ten wierzchołek jest punktem końcowym tej krawędzi. • Inne definicje: ścieżka, pętla, graf połączony, drzewo. Homologia, Rozdział 1

7. Graf kombinatoryczny. • Definicja (1.2) graf kombinatoryczny: • Para (V,E) gdzie: • V – skończony zbiór wierzchołków • E – skończony zbiór krawędzi • Krawędź o wierzchołkach v1, v2 to: • e = [v1,v2] Homologia, Rozdział 1

8. Różne reprezentacje tych samych zbiorów w R3 (przykład). • G = [0,1]  R. • Reprezentacje kombinatoryczne: • V1 = {0,1}, E1 = {[0,1]} – naturalny • V2= {0,1/2,1}, E2={[0,1/2],[1/2,1]} • Vn := {j/n | j = 0, ..., n}En := {[j/n, (j+1)/n] | j = 0, ..., n-1} Homologia, Rozdział 1

9. Różne reprezentacje grafów a niezmienność homologii. • Do udowodnienia: Czy różne kombinatoryczne reprezentacje tych samych grafów będą miały tą samą homologię? Homologia, Rozdział 1

10. Ograniczenia topologiczne i algebraiczne. • Rys1.4 Homologia, Rozdział 1

11. Ograniczenia topologiczne i algebraiczne. (tabele) •  - „operator graniczny” • Odwzorowanie liniowe: • Dla I: Homologia, Rozdział 1

12. Dodawanie modulo 2. • Inna reprezentacja I: • E’(I) = {[a,c],[c,d],[d,e]}; V’(I) = {a,c,d,e} • Wtedy: • Co może być prawdą tylko dla • Wyjście: arytmetyka mod2 • Wtedy otrzymujemy odpowiednio równania: • Dla I: • Dla 1 równanie 1.1 Homologia, Rozdział 1

13. Dodawanie modulo 2. (wniosek i wyjątek) • Przestrzenie z cyklami sumują się do 0. • Wyjątek – Wypełnione obszary przestrzeni. • Cykle, które są ograniczeniami powinny być ignorowane. Homologia, Rozdział 1

14. Śledzenie kierunków. • Alternatywa dla arytmetyki mod2. • Założenia: I oraz 1 są podzbiorami R2 Homologia, Rozdział 1

15. Redefinicja ‘’ • Gdy kierunek krawędzi jest zgodny z kierunkiem osi to: • [a,b] to algebraiczne [a,b] • Gdy kierunek krawędzi jest przeciwny do kierunku osi to: • [c,d] to algebraiczne –[c,d] • Wtedy mając krawędź biegnącą z {a} do {b}: • [a,b]:= b – a • Gdzie  jest liniowe. Homologia, Rozdział 1

16. Przykłady. • Dla I mamy: • Dla 1 mamy: Homologia, Rozdział 1

17. Wnioski. • Algebra odpowiadająca interesującej topologii jest cyklem – suma ograniczeń algebraicznych obiektów jest równa 0. • Ponownie: cykle, które ograniczają jakiś obszar nie są interesujące. Homologia, Rozdział 1

18. Homologia ‘mod 2’ grafów. • G = (V,E) – dany graf • Dwie przestrzenie wektorowe: • C0(G,Z2); • C1(G,Z2); • V – baza przestrzeni C0(G,Z2) • E – baza przestrzeni C1(G,Z2) • Przestrzenie Ck(G,Z2) zwane są k-tym łańcuchem dla G Homologia, Rozdział 1