第十二章
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第十二章 动 量 定 理 - PowerPoint PPT Presentation


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第十二章 动 量 定 理. 动 力 学. 动力学普遍定理概述. 对 质点 动力学问题: 建立质点运动微分方程求解。. 对 质点系 动力学问题: 理论上讲, n 个质点列出 3 n 个微分方 程, 联立求解它们即可。. 实际上的问题是: 1、联立求解微分方程 ( 尤其是积分问题)非 常困难。 2、大量的问题中,不需要了解每一个质

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第十二章

动 量 定 理


动 力 学

动力学普遍定理概述

对质点动力学问题: 建立质点运动微分方程求解。

对质点系动力学问题: 理论上讲,n个质点列出3n个微分方

程, 联立求解它们即可。

实际上的问题是: 1、联立求解微分方程(尤其是积分问题)非

常困难。

2、大量的问题中,不需要了解每一个质

点的运 动,仅需要研究质点系整体的运

动情况。

从本章起, 将要讲述解答动力学问题的其它方法, 主要讨论的是动力学普遍定理(包括动量定理、动量矩定理、动能定理及由此推导出来的其它一些定理)。


动 力 学

它们以简明的数学形式, 表明两种量—— 一种是同运动特征相关的量(动量、动量矩、动能等),一种是同力相关的量(冲量、力 矩、功等) —— 之间的关系,从不同侧面对物体的机械运动进行深入的研究。在一定条件下,用这些定理来解答动力学问题非常方便简捷 。

本章将研究质点和质点系的动量定理,建立了动量的改变与力的冲量之间的关系,并研究质点系动量定理的另一重要形式——质心运动定理。


动 力 学

§12-1 质点系的质心  内力与外力

一.质点系的质心

⒈定义

质点系的质量中心称为质心。

是表征质点系质量分布情况的一

个重要概念。

⒉ 质心 C 点的坐标公式


动 力 学

在均匀重力场中,质点系的质心与重心的位置重合。可采用静力学中确定重心的各种方法来确定质心的位置。但是,质心与重心是两个不同的概念,质心比重心具有更加广泛的力学意义。

二、质点系的内力与外力

⒈ 外力

所考察的质点系以外的物体作用于该质点系中各质点的力。

⒉ 内力

所考察的质点系内各质点之间相互作用的力。

对整个质点系来讲,内力系的主矢恒等于零,内力系对任一点(或轴)的主矩恒等于零。即:


动 力 学

§12-2 动量与冲量

一、动量

1.质点的动量

质点的质量与速度的乘积 mv 称为质点的动量。 是瞬时矢量,方向与v 相同。单位是kgm/s。

动量是度量物体机械运动强弱程度的一个物理量。

例:枪弹:速度大,质量小; 船:速度小,质量大。

2.质点系的动量

质点系中所有各质点的动量的矢量和。


刚体系统的动量

设第i个刚体 则整个系统:

动 力 学

质点系的质量与其质心速度的乘积就等于质点系的动量。则:


P为速度瞬心,  

)

动 力 学

[例1] 曲柄连杆机构的曲柄OA以匀 转动,设OA=AB=l ,曲柄OA及连杆AB都是匀质杆, 质量各为m , 滑块B的质量也为m。求当 = 45º时系统的动量。

解: 曲柄OA:滑块B:

连杆AB:



常力 的冲量

⒉ 变力 的冲量(包括大小和方向的变化)

元冲量:

冲量:

动 力 学

二.冲量

力与其作用时间的乘积称为力的冲量,冲量表示力在其作用时间内对物体作用的累积效应的度量。例如,推动车子时,较大的力作用较短的时间,与较小的力作用较长的时间,可得到同样的总效应。


冲量的单位:

与动量单位同.

动 力 学

⒊ 合力的冲量

等于各分力冲量的矢量和.


动 力 学

§12-3 动量定理

一.质点的动量定理

⒈ 矢量形式

质点的动量对时间的导数等于作用于质点的力—质点的动

量定理。

⑴ 微分形式

质点动量的微分等于力的元冲量。

⑵ 积分形式

在某一时间间隔内,动量的增量等于力在该时间内的冲量。


质点的动量守恒

 若   ,则   常矢量,质点作惯性运动

 若   ,则   常量,质点沿 x 轴的运动是惯性运动

动 力 学

⒉ 投影形式

二.质点系的动量定理

⒈ 矢量形式

对质点系内任一质点 i,

对整个质点系:


微分形式

积分形式

动 力 学

质点系的动量定理

质点系动量对时间的导数等于作用在质点系上所有外力

的矢量和。

质点系动量的微分等于作用在质点系上所有外力元冲量

的矢量和。

在某一时间间隔内,质点系动量的改变量等于作用在质点

系上的所有外力在同一时间间隔内的冲量的矢量和。


dp

å

(

e

)

=

x

Xi

t

2

å

å

ò

dt

(

e

)

-

=

=

(

e

)

Iix

p

p

X

dt

2

x

1

x

i

dp

t

å

1

(

e

)

y

=

Yi

t

2

å

å

dt

ò

(

e

)

-

=

=

(

e

)

p

p

Iiy

Y

dt

2

y

1

y

i

dp

å

t

(

)

e

=

1

z

Zi

t

dt

2

å

å

ò

(

e

)

-

=

=

(

e

)

p

p

Iiz

Z

dt

⒊ 质点系的动量守恒

若     则      常矢量。

若     则      常量。

投影形式

2

z

1

z

i

t

1

动 力 学

只有外力才能改变质点系的动量,内力不能改变整个质点系的动量,但可以引起系统内各质点动量的传递。


[例2] 已知砂子以恒质量流率 设以近似匀速 流入车厢内,与此同时,

车厢在水平常力F的作用

下由静止开始运动。求向

车厢内输送了质量为m的

砂子时,车厢的速度v和

轨道给车厢的平均法向反

力N。车厢的质量为M 。

动 力 学

解:① 取车厢和质量为

m的砂子组成的质点系

为研究对象;

③ 取Oxy直角坐标轴;

② 受力分析如图;


动 力 学

④ 根据动量定理求解:


水平方向

常量。

设大三角块速度

小三角块相对大三角块速度为 ,

则小三角块

动 力 学

[例3] 质量为M的大三角形柱体, 放于光滑水平面上, 斜面上另放一质量为m的小三角形柱体,求小三角形柱体滑到底时,大三角形柱体的位移。

解:

选两物体组成的系统为研究对象。

受力分析,

运动分析,

由水平方向动量守恒及初始静止;则


将     代入到质点系动量定理,得

则       或

动 力 学

§12-4 质心运动定理

一.质心运动定理

⒈ 矢量形式

若质点系质量不变,

上式称为矢量形式的质心运动定理(或质心运动微分方程)。质点系的质量与加速度的乘积,等于作用于质点系上所有外力的矢量和(外力系的主矢)。


动 力 学

⒉ 投影形式

⑴ 直角

坐标形式 :

⑵ 自 然

坐标形式 :

⒊ 刚体系统质心运动定理投影形式


v

P

动 力 学

⒋ 讨论

质心运动定理是动量定理的另一种表现形式,与质点运动微分方程形式相似。对于任意一个质点系, 无论它作什么形式的运动, 质点系质心的运动可以看成为一个质点

的运动, 并设想把整个质点系的质量都集中在质心这个点上, 所有外力也集中作用在质心这个点上。

只有外力才能改变质点系质心的运动, 内力不能改变质心的运动,但可以改变系统内各质点的运动。

在定向爆破中,爆破时质系中各质点的运动轨迹不同,但质心的运动轨迹近似一抛物线,由此可初步估计出大部分物块堆落的地方。


汽车行驶是靠车轮与路面的摩擦力。发动机内气体的爆炸力,对汽车来说是内力。图中所示作用于 汽车后轮的摩擦力F1,称为汽车行驶的牵引力或驱动力。

动 力 学


 ⒉ 若     则      常量,质心沿x方向速度不变;

若存在    则   常量,质心在x 轴的位置坐标保持不变。

二. 质心运动守恒定律

⒈ 若    ,则     常矢量,质心作匀速直线运动; 若开始时系统静止,即    则  常矢量,质心位置守恒。

动 力 学

三. 质心运动定理可求解两类动力学问题

⒈ 已知质点系质心的运动, 求作用于质点系的外力(包括约束反力)。

 ⒉ 已知作用于质点系的外力,求质心的运动规律。


动 力 学 常量,质心沿

[例4]电动机的外壳固定在水平基础上,定子重为P1, 转子重为P2 , 转子的轴通过定子的质心O1, 但由于制造误差, 转子的质心O2到O1的距离为e 。求转子以角速度 作匀速转动时,基础作用在电动机底座上的约束反力。

解: ⑴ 研究整个电动机质点系; ⑵ 受力分析如图示;⑶ 取O1x y直角坐标轴;⑷ 运动分析:定子静止,转子以角速度 作匀速转动。 ⑸ 根据质心运动定理求解:


动 力 学 常量,质心沿

定子质心O1的坐标为 x1=0,y1=0

转子质心O2的坐标为 x2= ecosw t,y2= esinw t, 电动机质心C的坐标为

质心C加速度在x、y轴上的投影为


动 力 学 常量,质心沿

有:

解得:

可见,由于偏心引起的动反力是随时间而变化的周期函数。


受力分析如图示,    ,且初始 常量,质心沿

时系统静止,所以系统质心的位置坐标

XC保持不变。

动 力 学

[例4]浮动起重船, 船的重量为P1=200kN, 起重杆的重量为

P2=10kN, 长l=8m,起吊物体的重量为P3=20kN 。 设开始起吊时整个系统处于静止,起重杆OA与铅直位置的夹角为1=60º, 水的阻力不计, 求起重杆OA与铅直位置成角2=30º时船的位移。

解:取起重船,起重杆和重物组成的质点系为研究对象。 


动 力 学 常量,质心沿

船的位移x1,杆的位移

重物的位移

计算结果为负值,表明

船的位移水平向左。


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