工 程 力 学
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工 程 力 学 ( Engineering Mechanics ) 江西蓝天学院 机械工程系. 第十五章 动 力 学 基 础. 本章主要内容. 一、质点动力学基本方程 二、刚体绕定轴转动动力学基本方程 三、动量定理 四、动量矩定理 五、动能定理 六、达朗贝尔原理. 质点:. 具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以忽略不计的物体. 质点系:. 由几个或无限个相互有联系的质点所组成的系统。. 15.1 质点动力学的基本方程. 一、动力学基本方程:. 惯性定律. 第一定律:. 不受力作用的质点,将保持静止或匀速直线运动。.

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工 程 力 学 ( Engineering Mechanics ) 江西蓝天学院 机械工程系

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Presentation Transcript


Engineering mechanics

  • 工 程 力 学

  • (Engineering Mechanics)

  • 江西蓝天学院

  • 机械工程系


Engineering mechanics

第十五章

动 力 学 基 础


Engineering mechanics

本章主要内容

一、质点动力学基本方程

二、刚体绕定轴转动动力学基本方程

三、动量定理

四、动量矩定理

五、动能定理

六、达朗贝尔原理


Engineering mechanics

质点:

  • 具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以忽略不计的物体

质点系:

  • 由几个或无限个相互有联系的质点所组成的系统。


Engineering mechanics

15.1 质点动力学的基本方程

一、动力学基本方程:

惯性定律

第一定律:

不受力作用的质点,将保持静止或匀速直线运动。

第二定律:

质点的质量与加速度的乘积,等于作用于质点的力的大小,加速度的方向与力的方向相同。

第三定律:

作用力与反作用力定律

两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等,方向相反,沿着同一直线,且同时分别作用在这两个物体上。


Engineering mechanics

二、质点运动微分方程:

1、质点运动微分方程在直角坐标轴上的投影

2、质点运动微分方程在自然轴上的投影


Engineering mechanics

3、动力学两类基本问题:

已知运动求力,正问题,求导;

已知力求运动,逆问题,积分:

直接积分

换元积分

变形


Engineering mechanics

曲柄连杆机构如图所示。曲柄OA以匀角速度ω转动,OA=r,AB=l,当λ=r/l比较小时,以O为坐标原点,滑块B的运动方程可近似写为

y

A

y

ω

x

β

O

A

ω

B

B

x

φ

β

O

动力学的解体思路与静力学的类似,只是把列静力平衡方程换为列运动微分方程。

如滑块的质量为m,忽略摩擦及连杆AB的质量,试求当 和 时,连杆AB所受的力。

N

FAB

滑块沿x轴的运动微分方程

mg

属于已知运动求力之情形.


Engineering mechanics

v0

mg

α

y

o

x

炮弹以初速v0发射,不计阻力,求炮弹在重力作用下的运动.

解: 研究(任意位置时而不能是特殊位置时的)炮弹,作受力图,

= 0

= -mg

属第二类问题,力是常量.直接积分:

= v0cosα

= - gt + v0sinα

轨迹方程

炮弹的运动方程

进而可以讨论最高射程,最远距离等.


Engineering mechanics

21m

图示消防人员为了扑灭高21米仓库屋顶平台上的火灾,把水龙头置于离仓库墙基15米,距地面高1米处,水柱的初速度为25m/s,若预使水柱正好能越过屋顶边缘到达屋顶平台。且不计空气阻力,试问水龙头的仰角α应为多少?水柱射到屋顶平台上的水平距离是多少?

到屋顶平台上


Engineering mechanics

图示单摆由一无重细长杆和固结在细长杆一端的重球组成,杆长为OA=L,球的质量为m。试求:1 .单摆的运动微分方程:2. 在小摆动的假设下分析摆的运动;3. 在运动已知的情况下求杆对球的约束力。

单摆的运动微分方程


Engineering mechanics

图示单摆由一无重细长杆和固结在细长杆一端的重球组成,杆长为OA=L,球的质量为m。试求:1 .单摆的运动微分方程:2. 在小摆动的假设下分析摆的运动;3. 在运动已知的情况下求杆对球的约束力。

在小摆动的假设下分析摆的运动


Engineering mechanics

图示单摆由一无重细长杆和固结在细长杆一端的重球组成,杆长为OA=L,球的质量为m。试求:1 .单摆的运动微分方程:2. 在小摆动的假设下分析摆的运动;3. 在运动已知的情况下求杆对球的约束力。

在运动已知的情况下求杆对球的约束力


Engineering mechanics

θ0

粉碎机滚筒半径为R,绕通过中心的水平轴匀速转动,筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。为了使铁球获得粉碎矿石的能量,铁球应在θ=θ0时(如图)才掉下来。求滚筒每分钟的转数n。

质点的运动微分方程在主法线上的投影式

Ft

质点在未离开筒壁前的速度等于筒壁的速度

FN

mg

θ=θ0FN=0


Engineering mechanics

质量为m的小球以水平速度v0射入静水之中,如图所示。如水对小球的阻力F与小球速度v的方向相反,而大小成正比,即F=-cv 。c为阻力系数。忽略水对小球的浮力,试分析小球在重力和阻力作用下的运动。


Engineering mechanics

v0

O

x

F

M

v

mg

xmax

y

解:

F=–cvx i –cvy j

t=0 vx=v0 vy=0


Engineering mechanics

v0

O

x

F

M

v

mg

xmax

y

t=0 x=y=0

介质阻力等于零


Engineering mechanics

滑块质量为m,因绳子牵引使之沿水平轨道滑动。绳子的另一端缠在半径为r的鼓轮上,鼓轮的等角速w转动。不计导轨摩擦,求绳子的拉力T和距离x之间的关系。


Engineering mechanics

15.2 刚体绕定轴转动动力学基本方程

一、刚体绕定轴转动的运动微分方程 :


Engineering mechanics

15.2 刚体绕定轴转动动力学基本方程

二、转动惯量 :

1. 转动惯量的概念

2. 简单形体转动惯量的计算

(1)、均质等截面细直杆


Engineering mechanics

15.2 刚体绕定轴转动动力学基本方程

(2)、均质细圆环


Engineering mechanics

15.2 刚体绕定轴转动动力学基本方程

三、平面薄板形物体的转动惯量 :

=

+


Engineering mechanics

15.2 刚体绕定轴转动动力学基本方程

四、平行移轴面定理 :

五、回转半径(惯性半径) :


Engineering mechanics

15.3 动量定理

一、质点的动量定理 :

动量

质点的质量与速度的乘积称为质点的动量。

冲量

作用力与作用时间的乘积称为常力的冲量

在dt时间间隔内力F的冲量

元冲量

F是变量

变力F(t)在作用时间t内的冲量。

注意:冲量是矢量


Engineering mechanics

质点的动量定理

质点动量定理的微分形式。

质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量

对上式积分,积分的上下限是:时间取0到t,速度则由v0到v,可得:

质点动量定理的积分形式。

在某一时间间隔内,质点动量的变化等于作用于质点的力在相同时间内的冲量。


Engineering mechanics

二、质点系的动量定理:

作用于质点系中各质点的力包括外力和内力。

外力:质点系以外的其他物体作用于质点的力。

内力:质点系内各质点之间相互作用的力。

设质点系有n个质点,第i个质点的质量为mi,速度为vi,质点系以外的物体对该质点的作用力为Fi(e),即外力;质点系内部其他质点对该质点的作用力为Fi(i),即内力。

对于该质点系,类似的方程有n个。n个方程相加得:

质点系动量的增量等于作用于质点系的外力元冲量的矢量和

质点系动量定理的微分形式:


Engineering mechanics

质点系的动量对时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和

质点系动量定理的积分形式:

在某一时间间隔内,质点系动量的增量等于在这段时间内作用于质点系外力冲量的矢量和


Engineering mechanics

y

Q

H

FN *

锤重Q=300N,从高度H=1.5m处自由落到锻件上,锻件发生变形,历 时τ=0.01s, 求锤对锻件的平均压力.

研究锤,分析受力:

锤由高 H 处自由落下所需时间:

建投影轴,列动量定理:


Engineering mechanics

动量定理在跳高中的应用:

跨越式:一腿向前伸出先过杆,另一腿再过。

翻滚式:身体绕纵轴翻滚,水平过杆。

背越式:身体弯曲,背部过杆。


Engineering mechanics

横杆高度

横杆高度

横杆高度

跨越式:1.8m-0.3m=1.5m

翻滚式:1.8m-0.1m=1.7m

背越式:1.8m+0.1m=1.9m


Engineering mechanics

y

O2

b

O1

ω

ωt

x

W2

W1

Fy

Fx

电动机的外壳用螺栓固定在水平基础上,定子的质量是m1,转子的质量是m2,转子的轴线通过定子的质心O1。制造和安装的误差,使转子的质心O2对它的轴线有一个很小的偏心距b(图中有意夸张)。试求电动机转子以匀角速度转动时,电动机所受的总水平力和铅直力。


Engineering mechanics

y

O2

b

O1

ω

ωt

x

W2

W1

Fy

Fx

解:

质心C 的运动微分方程为

Fx = m2bω2cos ωt

Fy = (m1 + m2)g m2bω2sinωt


Engineering mechanics

v1

m1

m2

设一质量m1=10 kg的邮包从传递带上以速度v1=3 m·s-1沿斜面落入一小车内,如图所示。已知车的质量m2=50 kg,原处于静止,不计车与地面的摩擦,求(1)邮包落入车后,车的速度;(2)设邮包与车相撞时间Δt=0.3 s,求地面所受的平均压力。


Engineering mechanics

y

y

t瞬时

t+Δt瞬时

3 m﹒s-1

m1g+m2g

m1

m1

v2

m2

m2

O

O

x

x

F1

F2

解:

研究邮包和小车组成的质点系,t 瞬时质点系的动量为

t+Δt 瞬时质点系的动量为

动量p1和p2在坐标轴Oxy上的投影为


Engineering mechanics

15.4 动量矩定理

一、动量矩:

1. 质点对轴的动量矩

2. 质点系对轴的动量矩


Engineering mechanics

二、动量定理:

质点的动量矩定理:

  • 质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数,等于作用力对同一点的矩。


Engineering mechanics

质点系的动量矩定理

  • 质点系对于某定点O的动量矩对时间的导数,等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和。


Engineering mechanics

O

φ

A

试用动量矩定理导出单摆(数学摆)的运动微分方程。

L

v

mg


Engineering mechanics

r1

r2

O

B

A

(a)

两个鼓轮固连在一起,其总质量是m,对水平转轴O的转动惯量是JO;鼓轮的半径是r1和r2。绳端悬挂的重物A和B质量分别是m1和m2(图a),且m1>m2。试求鼓轮的角加速度。

α

mBg

mAg


Engineering mechanics

F

α

M1

S

M2

z

M1

M

ds

o

r

dr

y

F

M2

x

15.5 动能定理

一、力的功:

1、常力的功

α是力F与位移之间的夹角

功的单位为焦耳(J), 1J=1Nm

2、变力的元功

将F与dr投影到直角坐标轴上:

因此,变力F在曲线路程上功的总和为:


Engineering mechanics

M1(x1,y1,z1)

z

M (x,y,z)

mg

M2 (x2,y2,z2)

o

y

x

几种常力的功

重力的功

重力的功与路径无关,而只与物体的始末位置有关.


Engineering mechanics

M1(x1,y1,z1)

r1

M (x,y,z)

F

M2 (x2,y2,z2)

O

r2

r

弹性力的功

弹簧系数 k ,原长 l0 ,一端系在固定点O处, 另一端沿任意曲线运动.


Engineering mechanics

z

ds

ω

M

r

定轴转动刚体上作用力的功

当力偶矩与转角同向时作正功,异向时作负功。


Engineering mechanics

2r

C

r

F

O

x

半径为2r的圆轮在水平面上作纯滚动如图示,轮轴上绕有软绳,轮轴半径为r,绳上作用常值水平拉力F,求轮心C运动x距离时,力F所作的功。

MC=Fr


Engineering mechanics

二、动能:

1、质点的动能

动能是标量,恒取正值。

单位为焦耳 J。

2、质点系的动能

3、平动刚体的动能


Engineering mechanics

v0

r

C2

C1

πr

坦克的履带质量为m ,两个车轮的质量均为m1.车轮可视为均质圆盘,半径为r,两车轮轴间的距离为πr.设坦克前进的速度为V。计算此质点系的总动能。


Engineering mechanics

三、动能定理:

1、质点的动能定理

两边同时点乘dr


Engineering mechanics

2、质点系的动能定理

第 i个质点:

对整个质点系:

动能定理主要用来求解 v、ω、a、α,不能求反力!


Engineering mechanics

S

A

O

C

α

均质圆柱体重为FP,其中心O绞接一重为Q的均质直杆OA,放在倾角为α的斜面上,轮子只滚不滑,OA杆的A端与斜面间无摩擦,系统初始静止,求轮心沿斜面下滑距离S时O点的速度与加速度。

由于轮心O作直线运动,将上式两端对时间求一阶导数得到:


Engineering mechanics

均质圆柱体重为FP,放在倾角为α的斜面上,只滚不滑,轮心O处系一绳子,跨过重为W的均质滑轮与重物Q相连,两轮半径相等,系统初始静止,求轮心O沿斜面下滑距离S时O点的速度与加速度。

A

S

O

C

Q

α

两端对时间t求导,即得加速度:


Engineering mechanics

长同为 l 的两根均质杆用铰链B相连,C端沿光滑铅直墙壁下滑,当AB由水平位置到达铅直位置时,BC到达水平位置,求该瞬时C点的速度,系统初始静止。

C

A

B

C`

B`

vB`

vC`

系统到达终了位置时,B`、C`两点的速度分别为:

其速度瞬心为B`点,即该瞬时

则AB杆瞬时静止,


Engineering mechanics

均质杆AB长l,B端放在光滑的水平面上,A端挂与固定点D处,现突然剪断细绳,杆自由倒下,初瞬时α0=450,求A端落地瞬时杆上A、B两点的速度。

D

A

C

α

B

C

A

B

vA

vC

A点着地瞬时,其速度瞬心为B点


Engineering mechanics

四、功率:

1、功率: 单位时间内力所作的功。用瞬时值定义为:

作用在转动刚体上力的功率

2、功率方程: 任何机器工作时必须输入一定的功,同时,在机器运转过程中要克服阻力而消耗一部分功。因此需要研究功率与机器运动之间的关系。

功率方程


Engineering mechanics

当机器启动时, 则要求

当机器正常运转时, 则要求

当机器制动减速时, 则要求

有用功率

对系统输入的功率就等于有用功率、无用功率及系统动能变化率的总和。


Engineering mechanics

3、机械效率: 工程中,把有效功率(包括克服有用阻力的功率及使系统动能改变的功率)与输入功率的比值称为机器的机械效率。


Engineering mechanics

O

M

C

D

θ

卷扬机如图所示。鼓轮在常力偶M的作用下将圆柱沿斜坡上拉。已知鼓轮的半径为R1,质量为m1,质量分布在轮缘上;圆柱的半径为R2,质量为m2,质量均匀分布。设斜坡的倾角为θ,圆柱只滚不滑。系统从静止开始运动,求圆柱中心C经过路程s时的速度。

FOy

ω1

FOx

ω2

m1g

m2g

FN

Fs


Engineering mechanics

FOy

ω1

FOx

O

ω2

m1g

M

C

FN

m2g

D

Fs

θ

圆柱和鼓轮一起组成质点系。作用于该质点系的外力有:重力m1g和m2g,外力偶M,水平轴支反力FOx和FOy,斜面对圆柱的作用力FN和静摩擦力Fs。

解:

应用动能定理进行求解,先计算力的功。

因为点O没有位移。力FOx, FOy和m1g所作的功等于零;圆柱沿斜面只滚不滑,边缘上任一点与地面只作瞬时接触,因此作用于瞬心D的法向约束力FN和摩擦力Fs不作功,此系统只受理想约束,且内力作功为零。


Engineering mechanics

FOy

ω1

FOx

O

ω2

m1g

M

C

FN

m2g

D

Fs

θ

主动力所作的功计算如下:

质点系的动能计算如下:

式中J1 ,JC分别为鼓轮对于中心轴O,圆柱对于过质心C的轴的转动惯量:

ω1和ω2分别为鼓轮和圆柱的角速度,即


Engineering mechanics

FOy

ω1

FOx

O

ω2

m1g

M

C

FN

m2g

D

以 代入,解得:

Fs

θ

于是

由动能定理得


Engineering mechanics

m

L

o

15.6 达朗贝尔原理

一、惯性力的概念:

v

F

FI

an


Engineering mechanics

二、质点达朗贝尔原理

作用于质点上的主动力F,约束力FN,虚加惯性力FI在形式上组成平衡力系.

FI

惯性力是人为地、假想地加上去的,并不真实的作用在物体上。达朗贝尔原理从形式上将动力学问题转化为静力学问题,它并不改变动力学问题的实质,质点实际上也并不平衡。

FN

F=ma

“动”代表研究对象是动力学问题。

“静”代表研究问题所用的方法是静力学方法。


Engineering mechanics

动静法的解题过程:

1、分析质点所受的主动力和约束力;

2、分析质点的运动,确定加速度;

3、在质点上加上与加速度方向相反的惯性力。

4、用静平衡方程求解


Engineering mechanics

C

三、刚体惯性力系的简化

刚体作平动

刚体作定轴转动

1.转轴不通过质心,但刚体作匀速转动


Engineering mechanics

2.转轴通过质心,但刚体作变速转动

3.刚体转轴通过质心并作匀速转动

刚体的惯性力系自行平衡


Engineering mechanics

刚体作平面运动


Engineering mechanics

r

O

B

A

如图所示,滑轮的半径为r,质量为m均匀分布在轮缘上,可绕水平轴转动。轮缘上跨过的软绳的两端各挂质量为m1和m2的重物,且m1>m2。绳的重量不计,绳与滑轮之间无相对滑动,轴承摩擦忽略不计。求重物的加速度。

FN

a

a

mg

m2g

m1g


Engineering mechanics

y

M

r

α

O

x

m2g

a

m1g

图为一电动卷扬机构的示意图。已知起动时电动机的平均驱动力矩为M,被提升重物的质量为m1 ,鼓轮质量为m2 ,半径为r,它对中心的回转半径为ρO。试求起动时重物的平均加速度a和此时轴承O的动约束力。

FOy

FOx

MI

FI


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