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Raízes e otimização. Renato Assunção DCC, UFMG. Raízes de equações. Um tipo de problema bastante comum é o de achar raízes de equações da forma f(x) = 0, onde f(x ) pode ser um polinômio ou uma função transcendental O valor de x que satisfaz f(x) = 0 é chamada de raiz da equação.
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Raízes e otimização Renato Assunção DCC, UFMG
Raízes de equações • Um tipo de problema bastante comum é o de achar raízes de equações da forma f(x) = 0, onde f(x) pode ser um polinômio ou uma função transcendental • O valor de x que satisfaz f(x) = 0 é chamada de raiz da equação. • Raramente podemos obter as raízes de tais funções de modo exato. • Vários procedimentos fornecem métodos para calcular uma seqüência de aproximações, que convergem para uma solução tão precisa quanto necessária, resguardadas algumas condições
De funções relativamente simples... • Polinômios e • combinações finitas de funções • transcendentais • Fácil de plotar. • f(x)=3*sin(x2) + e-x- (x-3)2+ 4*x
...a funções mais complexas • Achar a primeira raiz positiva da função de Bessel de primeira ordem (solução de certas equações diferenciais ordinárias)
Outro problema: maximização • Maximar uma função: otimização de recursos. • No fundo, problema pode ser reduzido a encontrar a raiz de uma função. • Achar Maxxf(x) • E’ equivalente a achar a raiz da função derivada • f ‘(x) = 0 • Assim, maximizar reduz-se a achar raízes de equações não-lineares.
Sistema de equações não-lineares Equação do míssil Equação do interceptador
O que vamos cobrir • Vamos estudar apenas UMA ÚNICA FUNCAO NÃO_LINEAR f(x) • Não vamos estudar sistemas de equações não-lineares
Um teorema que dispensa prova • Antes de examinarmos vários métodos para determinar raízes isoladas de f(x) = 0, vamos ver o teorema abaixo e alguns exemplos • Teorema:Suponha que uma função contínua f(x) assume valores de sinais opostos nos pontos extremos do intervalo [a,b]. • Isto é, suponha que f(a) * f(b) < 0 • Então existe pelo menos um ponto x’ ∈[a,b], tal que f(x’) = 0 • Isto e’, existe uma raiz entre a e b.
Exemplos • Vamos examinar o comportamento das • funções f(x)= ln(c xp ) e f(x)= e(x)
Método da Bissecção • Considere o intervalo [a,b] para o qual f(a) * f(b) < 0. • No método da bissecção nós calculamos o valor da função f(x) no ponto médio x1 = (a + b)/2 • Caso f(x) =0, x1é a raiz procurada e o processo para. • Se f(a) * f(x1) < 0, a raiz procurada está entre a e x1, e repete-se o processo para o intervalo [a, x1]. • Caso contrário, f(x1) * f(b) < 0, e a raiz procurada está entre x1e b. Logo, repete-se o processo para o intervalo [x1,b]
Falta ainda o limite maximo do numero de iterações. Se atingido, enviar uma mensagem de warning: limite atingido
