一、二元一次不等式
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一、二元一次不等式. y. 1. 二元一次不等式的圖解:. 設直線 L : x + y = 2 將坐標平面上 L 之外. P( x 0 , y 0 ). 的部分,分成 A 、 B 兩個半平面 ( 如圖 ) ,. (0,2). A. 設 P( x 0 , y 0 ) 為半平面 A 內的任一點,. Q( x 0 , 2  x 0 ). B. 過 P 點做鉛垂線交直線 L 於 Q 點,. 則點 Q( x 0 , 2  x 0 ) ,. x. O. (2,0). ∵ P 在 Q 上方 ∴ y 0 > 2  x 0 ,.

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L : x + y =2

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Presentation Transcript


L x y 2

一、二元一次不等式

y

1. 二元一次不等式的圖解:

設直線 L:x + y = 2將坐標平面上 L之外

P(x0, y0)

的部分,分成 A、B兩個半平面(如圖),

(0,2)

A

設 P(x0, y0)為半平面 A內的任一點,

Q(x0, 2x0)

B

過 P點做鉛垂線交直線 L於 Q點,

則點 Q(x0 , 2x0),

x

O

(2,0)

∵ P在 Q上方 ∴ y0> 2 x0,

即 x0 + y0 > 2,

L:x+y=2

因此,半平面 A內任一點 (x, y)皆滿足 x + y > 2,

反之,若點 P(x0, y0)滿足 x + y > 2,

則 y0 > 2 x0,

即 x0 + y0 > 2,

且 y0 > 2 x0,

∵ 點 Q(x0 , 2x0)在直線 L上,

∴ P在 Q上方,即 P在半平面 A內。

由上可知,滿足 x + y > 2的所有解所成的圖形,即為半平面 A,

同理,滿足 x + y < 2的所有解所成的圖形,即為半平面 B。

本段結束


L x y 2

2. 範例:圖解二元一次

馬上練習. 圖解示二元一次

不等式 3x + 2y < 6

不等式 x  2y  4

y

y

(0, 3)

x2y=4

x

(2, 0)

O

O

(4, 0)

x

(0, 2)

3x+2y=6

Let’s do an exercise !

注意:不等式 ax + by c的圖解,

包含 ax + by > c(半平面) 與 ax + by = c (直線)。


L x y 2

馬上練習. 圖解聯立不等式

3. 範例:圖解聯立不等式

y

y

(0, 4)

(0, 2)

(4, 0)

O

x

(1, 0)

(2, 0)

(4, 0)

x+2y=4

x

O

y=2

2x+y=2

2xy=4

x+y=4

Let’s do an exercise !


L x y 2

4. 格子點:坐標平面上,若點 (x , y) 的 x 坐標與 y 坐標都是整數,

我們稱其為格子點。

y

例:

(0, 6)

並求在此解區域內有多少個格子點。

共有 13 個格子點。

解:圖解如右所示,

(0, 2)

y = 2,3,4,5,6

x = 0

(3, 0)

x

y = 1,2,3,4

O

x = 1

(2, 0)

y = 0,1,2

x = 2

x+y=2

2x+y=6

y = 0

Let’s do an exercise !

x = 3


L x y 2

馬上練習.

並求在此解區域內有多少個格子點。

y

解:圖解如右所示,

x=2,3

y=1

(0, 4)

x=1,2

(0, 3)

y=2

y=3

x=1

(5, 0)

x

O

(2, 0)

共有 5 個格子點。

4x+5y=20

3x+2y=6


L x y 2

5. 同側與反則:

(1) 若 A(x1 , y1)、B(x2 , y2)在直線 L:ax + by + c = 0的同側,

則 (ax1 + by1 + c)(ax2 + by2 + c) > 0。

(2) 若 A(x1 , y1)、B(x2 , y2)在直線 L:ax + by + c = 0的兩側,

則 (ax1 + by1 + c)(ax2 + by2 + c) < 0。

(3) 若 A(x1 , y1)、B(x2 , y2),

則 (ax1 + by1 + c)(ax2 + by2 + c) 0。

範例:若平面上二點 A(3 , 3),B(1 , 5)

在直線 L:3x  2y + k = 0 的同側,求 k 的範圍。

解: (點 A 代入 L)(點 B 代入 L)

( 9  6 + k ) ( 3 10 + k )

正

 正

負

正

Let’s do an exercise !

故 ( 9  6 + k ) ( 310 + k )> 0

k > 13 或 k < 3。

 ( k + 3 )( k  13 ) < 0


L x y 2

馬上練習.坐標平面上兩點 (4, 1) 和 (5, 9) 在直線 3x  y  k = 0

的兩側,其中 k 為整數,請選出正確的選項。

(1) 滿足上式的 k 最少有 5 個 (2) 所有滿足上式的 k 的總和是 35

(3) 所有滿足上式的 k 中,最小的是 7 (4) 所有滿足上式的 k 的平均是 9

(5) 所有滿足上式的 k 中,奇數與偶數的個數相同

<102數乙>

解: ( 點 A(4 , 1) 代入直線 L ) ( 點 B(5 , 9) 代入直線 L )

( 12  1  k )  ( 15  9  k )

負

 負

正

負

故 ( 12  1  k )  ( 15  9  k )< 0

6 < k < 11

k = 7 , 8 , 9 , 10。

( k  11 )( k  6 ) < 0

(1) 整數 k共有 4個。

(2) 總和 34。

(3) 最小的 k = 7。

(5) 奇數:7 , 9; 偶數:8 , 10。

故選 (3) (5)。


L x y 2

6. 範例:設平面上二點 A(2 , 9),B(6 , 5),

求 m 的範圍。

解:

或 (點B代入L) = 0

(點A代入L)(點B代入L) < 0

或 (點A代入L) = 0

(點 A 代入 L) (點 B 代入 L)  0

A

B

(2, 1)

y 1 = m(x +2),

注意: L:mx  y + 2m + 1= 0

由點斜式知 L表過 (2 , 1)斜率為 m 的直線。


L x y 2

馬上練習. 設平面上二點 A(2 , 1),B(3 , 2),

求 m 的範圍。

解:

(點 A 代入L) (點 B 代入 L) > 0,


L x y 2

二、極值

1. 範例:設 x,y 滿足聯立不等式

求 2x + y 的最小值。

y

解:如圖,

(0, 6)

當 (x , y) =(1 , 3),

(0, 4)

2x + y有最小值

(1, 3)

= 21 + 3

(4, 0)

x

O

= 5。

(2,0)

x+y=4

3x+y=6

Let’s do an exercise !

2x+y=5

2x+y=0


L x y 2

馬上練習. 設 x , y 滿足聯立不等式

求 x + 2y 的最大值。

y

解:如圖,

當 (x , y) =(3 , 1),

(0,4)

x + 2y有最大值

(3,1)

(0,2)

(6,0)

= 3 + 21

x

O

(4,0)

x+3y=6

= 5。

x+2y=5

x+y=4

x+2y=0


L x y 2

2. 範例:設 x , y 滿足聯立不等式

y

求 x + 2y 的最大值與最小值。

(0,9)

當 (x , y) = (0 , 0),

解:如圖,

(2,6)

x + 2y有最小值

= 0 + 20

= 0。

x+2y=14

(0,2)

當 (x , y) = (2 , 6),

(6,0)

x

(1,0)

x + 2y有最大值

O

x+2y=0

= 2 + 26

= 14。

2xy=2

3x+2y=18

Let’s do an exercise !


L x y 2

馬上練習. 設 x, y 滿足聯立不等式

求 x2y 的的最大值與最小值。

y

當(x, y) = (1 , 3),

解:如圖,

(0,6)

x  2y有最小值

x2y=5

=1 23

= 5。

(0,4)

(1,3)

當 (x, y) =(4 , 0),

x2y=0

x2y=4

x  2y有最大值

(4,0)

O

x

(2,0)

=4 20

=4。

x+y=4

3x+y=6


L x y 2

3. 範例:在 x  0,y  0,3x+2y12  0,x+y2  0 的條件下,

(1) 求 5x  3y 的最大值與最小值。 (2) 求 x2 + y2的最大值與最小值。

y

5x3y=  18

(0, 6)

解:如圖,

5x3y=0

(1) 當 (x , y) =(4 , 0),

5x3y=20

5x  3y有最大值

= 54 30

=20。

(0,2)

當 (x , y) =(0 , 6),

(4, 0)

O

x

5x  3y有最小值

(2,0)

3x+2y=18

= 50  36

=18。

x+y=2

To be continued  (2) (3)


L x y 2

y

(2) 求 x2 + y2的最大值與最小值。

(0,6)

解:(2) x2 + y2表點 (x, y)與點 (0, 0)的

(x,y)

距離平方。

令 L:x + y  2 = 0

(0,2)

(x,y)

(4,0)

x

O

(2,0)

= 2。

3x+2y=18

x+y=2

(2,1)

= 62 = 36。


L x y 2

三、線性規劃

1. 範例:某汽車公司有 A,B 兩家裝配廠,生產大小兩型的汽車。

若 A 廠每小時可完成 1 輛大型車與 2 輛小型車;

B 廠每小時可完成3 輛大型車與 1 輛小型車。

今公司接到客戶訂單,欲訂購 40 輛大型車與 20 輛小型車。

問這兩家裝配廠各工作幾小時,才能使所費總工作時數最少?

解:設 A 廠 x 小時,B 廠 y 小時,

B(y)

A(x)

40輛

1輛

3輛

大車

可行解區域:

小車

2輛

1輛

20輛

To be continued  目標函數最佳解


L x y 2

解:設 A 廠 x小時,B 廠 y小時,

y

B(y)

A(x)

 40輛

1輛

3輛

大車

小車

2輛

1輛

 20輛

(0,20)

(4,12)

可行解區域:

x

O

(10,0)

(40,0)

目標函數 P = x + y,

x+3y=40

x+y=0

2x+y=20

當 (x, y) = (4 ,12),

x+y = 16

P有最小值 4+12 = 16。

Let’s do an exercise !

故所求 A廠 4小時,B廠 12 小時。


L x y 2

馬上練習. 某公司生產兩種商品,均以同型的箱子裝運,

其中甲商品每箱重 20 公斤,乙商品每箱重 10 公斤。

公司出貨時,每趟貨車最多能運送100箱,最大載重為1600公斤。

設甲商品每箱的利潤為1200 元,乙商品每箱的利潤為1000 元。

(1) 設公司調配運送時,每趟貨車裏的甲商品為 x 箱,

乙商品為 y箱。試列出 x, y必須滿足的聯立不等式。

(2) 當 x, y 的值各為多少時,可使每趟貨車出貨所能獲得

的利潤為最大?此時利潤為多少元?

<101數乙>

解: (1) 設甲商品 x箱,乙商品 y箱,

乙(y)

甲(x)

y

x

100 箱

運量

可行解區域:

載量

1600 公斤

20

10

To be continued  目標函數最佳解


L x y 2

其中甲商品每箱重 20 公斤,乙商品每箱重 10 公斤。

公司出貨時,每趟貨車最多能運送100箱,最大載重為1600公斤。

設甲商品每箱的利潤為1200 元,乙商品每箱的利潤為1000 元。

(2) 當 x, y 的值各為多少時,可使每趟貨車出貨所能獲得

<101數乙>

的利潤為最大?此時利潤為多少元?

y

解:(1) 設甲商品 x箱,乙商品 y箱,

(0, 160)

其圖形如右,

(0, 100)

(2) 目標函數 P= 1200x + 1000y

= 200(6x+5y)

(60, 40)

當 (x , y) = (60 , 40),

(100, 0)

P有最大值 200(660+540)

x

=112000元。

O

(80, 0)

x+y=100

故每趟運送甲商品 60箱,乙商品 40箱,

2x+y=80

有最大利潤 112000元。

6x+5y=0


L x y 2

2. 範例: 利用 A、B 兩種不同規格的卡紙,製作大、中、小三種卡片,

每張規格 A 的卡紙,可以製作大卡片7 張,中卡片3 張,小卡片3 張;

每張規格 B 的卡紙,可以製作大卡片2 張,中卡片2 張,小卡片5 張。

已知規格 A 的卡紙每張 120 元,規格 B 的卡紙每張 100 元,

若想製成大卡片至少 28 張,中卡片至少 21 張,小卡片至少 30 張,

應使用 A、B 兩種規格的卡紙各幾張,可使花費最少?

解:設 A 規格 x張,B 規格 y張,

A(x)

B(y)

 28張

7

2

可行解區域:

3

 21張

2

3

5

 30張

To be continued  目標函數最佳解


L x y 2

解:設 A 規格 x張,B 規格 y張,

y

A(x)

B(y)

 28張

7

2

(0,14)

3

 21張

2

3

5

 30張

(0,6)

(5, 3)

可行解區域:

(10,0)

x

O

(4,0)

(7,0)

3x+2y=21

120x+100y=0

目標函數 P = 120x + 100y,

7x+2y=28

3x+5y=30

當 (x, y) = (5, 3),

P有最小值 = 1205 + 1003

= 900。

120x+100y=900

故所求 A規格5 張,B規格 3張,花費900 元為最少。


L x y 2

馬上練習.某工廠使用三種貴金屬元素合成兩種合金,其中每單位的甲合

金是由 5 公克的 A 金屬、3公克的 B 金屬以及 3 公克的 C 金屬組成,

而每單位的乙合金是由 3 公克的 A 金屬、 6 公克的 B 金屬以及 3 公克

的 C 金屬組成。已知甲、乙合金每單位的獲利分別為 600、 700元。

若工廠此次進了 1000 公克的 A 金屬、1020 公克的 B 金屬與 660 公克

的 C 金屬投入生產這兩種合金,試問甲、乙兩種合金各應生產

多少單位,才能獲得最大利潤 ? 又此時利潤為多少 ?

<102數乙>

解:設甲合金生產 x 單位,乙合金生產 y 單位,

乙(y)

甲(x)

 1000克

5克

3克

A

 1020克

3克

6克

可行解區域:

B

3克

C

 660克

3克

To be continued  目標函數最佳解


L x y 2

解:設甲合金生產 x 單位,乙合金生產 y 單位,

y

乙(y)

甲(x)

 1000克

5克

3克

A

 1020克

3克

6克

B

(0,220)

(100 , 120)

3克

C

 660克

3克

(0,170)

(170 , 50)

(340,0)

(220,0)

可行解區域:

x

(200,0)

O

x+2y=340

5x+3y=1000

目標函數 P = 600x + 700y,

x+y=220

(0 , 170) 代入 P

(170 , 50)、

將點 (200 , 0)、

(100 , 120)、

當 (x , y) = (100 , 120),

P有最大值 600100 + 700120

= 144000。

故甲合金生產 100單位,乙合金生產 120單位,

最高利潤144000元。


L x y 2

3. 範例:某公司所生產的產品,存放在甲、乙兩倉庫分別有

40 單位與 50 單位,現在 A 市場的需求量是 30 單位,

B 市場的需求量是 40 單位,

下表是各倉庫運輸到各市場的單位每

運輸成本:在滿足兩市場的需求下,

應如何分配才可最節省運輸成本?

解:設甲送到 A 市場 x噸,送到 B 市場y噸,

A

B

y

 40單位

x

可行解區域

40y

 50單位

30x

可行解區域

To be continued  目標函數最佳解


L x y 2

解:設甲送到 A 市場 x噸

送到 B 市場y噸,

A

B

y

 40單位

x

y

x=30

40y

 50單位

30x

(0,40)

y=40

可行解區域

(0,20)

(30,10)

(40,0)

目標函數 P = 100x+120(30x)+140y+150(40y)

x

O

(30,0)

(20,0)

= 9600 10(2x+y),

x+y=40

2x+y=0

2x+y=70

當 (x, y)=(30, 10),

P有最小值 = 9600  10(230+10)

=8900。

x+y=20

故所求 甲  A,運 30單位,

甲  B,運 10單位,

乙  A,運 0 單位,

乙  B,運30單位。

Let’s do an exercise !


L x y 2

馬上練習. 某公司所生產的產品,存放在甲、乙兩倉庫各有 40 單位,

現在 A 鎮的需求量是 20 單位,

B 鎮的需求量是 30 單位,

下表是各倉庫運輸到兩鎮的

每單位運費:在滿足兩鎮的需求下,最節省的運費為多少元?

解:設甲送到 A 市場 x噸,送到 B 市場 y噸,

A

B

x

 40單位

y

可行解區域

20x

 40單位

30y

可行解區域

To be continued  目標函數最佳解


L x y 2

解:設甲送到 A 市場 x噸,

送到 B 市場 y噸,

A

B

y

y

 40單位

x

x=20

(0,40)

20x

 40單位

30y

(10,30)

(0,30)

y=30

(20, 20)

x+2y=0

可行解區域

x+2y=70

(0,10)

(40,0)

x

O

(10,0)

(20,0)

目標函數 P = 35x+40(20x)+20y+30(30y)

x+y=40

= 1700  5(x+2y),

x+y=10

當 (x, y)=(10, 30),

P有最小值 = 17005(10+230)

=1350。

故所求 甲  A,運 10單位,

甲  B,運 30 單位,

乙  A,運 10 單位,乙  B,運 0單位。

最節省的運費為1350元。


L x y 2

4. 範例:假設某咖啡批發商每天固定進貨牙買加咖啡豆 10 公斤,

巴西咖啡豆 6 公斤,並將牙買加咖啡豆與巴西咖啡豆研磨成粉,

以 2:1 的比例混合成藍天牌咖啡;將牙買加咖啡豆與巴西咖啡豆

研磨成粉,以 2:3 的比例混合成2韋伯牌咖啡。已知藍天牌咖啡

每公斤可賺 80 元,韋伯牌咖啡每公斤可賺 90 元,而且所有混合而

成的藍天牌咖啡與韋伯牌咖啡都可以批發出去,試回答下列問題:

(1) 設每天需生產藍天牌咖啡 x 公斤,韋伯牌咖啡 y 公斤,則每天

要用牙買加咖啡豆與巴西咖啡豆各多少公斤? (以 x,y 表之)

(2) 每天需分別生產多少藍天牌咖啡與韋伯牌咖啡才能有最大獲利 ?

(3) 若希望生產出的量為整數公斤,則每天需分別生產多少

藍天牌咖啡與韋伯牌咖啡才能有最大獲利 ?

To be continued  詳 解


L x y 2

牙買加豆與巴西豆以 2:1 的比例混合成藍天牌咖啡,

牙買加豆與巴西豆以 2:3 的比例混合成韋伯牌咖啡

(1) 設每天需生產藍天牌咖啡 x 公斤,韋伯牌咖啡 y 公斤,則每天

要用牙買加咖啡豆與巴西咖啡豆各多少公斤? (以 x,y 表之)

(2) 每天需分別生產多少藍天牌咖啡與韋伯牌咖啡才能有最大獲利?

(3) 若希望生產出的量為整數公斤,則每天需分別生產多少

藍天牌咖啡與韋伯牌咖啡才能有最大獲利?

解:(1) 依題意列表如右所示,

每天要用

 10

 6

To be continued  (2) (3)


L x y 2

(2) 每天需分別生產多少藍天牌咖啡與韋伯牌咖啡才能有最大獲利?

(3) 若希望生產出的量為整數公斤,則每天需分別生產多少藍天牌

咖啡與韋伯牌咖啡才能有最大獲利?

y

(0,25)

80x+90y=1305

解:(2) 可行解區域

(0,10)

目標函數 P = 80x + 90y,

(18,0)

x

當 Q(x , y) = (13.5 , 2.5),

O

(15,0)

即每天生產藍天牌 13.5公斤,

80x+90y=0

韋伯牌 2.5公斤,可得最大獲利 = 8013.5 + 902.5

= 1305元。

(12, 3),

(14, 1),

(3) Q點附近且在可行解區域內的格子點有 (13, 2),

一一代入目標函數 P = 80x + 90y,

得 x=12,y=3時有最大獲利 8012+ 903

= 1230 元。


L x y 2

5. 範例:在一個牽涉到兩個未知量 x,y的線性規劃作業中,

有三個限制條件。坐標平面上符合這三個限制條件的區域

是一個三角形區域。假設目標函數 ax+by (a , b 是常數)

在此三角形的一個頂點 (19, 12) 上取得最大值 31,

而在另一個頂點 (13, 10) 取得最小值 23。

現因業務需要,加入第四個限制條件,

結果符合所有限制條件的區域變成一個四邊形區域,

頂點少了(19, 12),新增了(17, 13) 和 (16, 11)。

在這四個限制條件下,選出正確的選項。

<92數甲>

(1) ax+by 的最大值發生在 (17, 13) (2) ax+by 的最小值發生在 (16, 11)

(3) ax+by 的最大值是 30 (4) ax+by 的最小值是 27

To be continued  詳 解


L x y 2

目標函數 ax + by 在三角形的一個頂點 (19, 12) 上取得最大值 31,

而在另一個頂點 (13, 10) 取得最小值 23。

加入第四個限制條件,限制條件的區域變成一個四邊形區域,

頂點少了(19, 12),新增了(17, 13) 和 (16, 11)。

<92數甲>

解:設目標函數:f(x , y) = ax + by,

開始時:

目標函數:f(x , y) = x + y。

To be continued  調整後之圖解


L x y 2

目標函數 f(x , y) = x + y。

少了(19, 12),新增 (17, 13)、(16, 11)。

則(17,13)非頂點,故不合

另一新頂點

第三點必在

(17,13)與(19,12)之連線上

(17,13)

(19,12)

(16,11)

調整後,不為

四邊形,故不合

(13,10)

調整後:

x+y=31

x+y=23

調整後在點 (17, 13)有最大值 30,

x+y=30

故選 (1) (3)。

在點 (13, 10)有最小值23,

本 節 結 束


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