670 likes | 2.38k Views
Kétismeretlenes elsőfokú (lineáris) egyenletrendszerek. Megoldási módszerek és kidolgozott feladatok. Megoldási módszerek. Grafikus módszer. Behelyettesítéses módszer. Egyenlő együtthatók módszere. Grafikus módszer.
E N D
Kétismeretlenes elsőfokú (lineáris) egyenletrendszerek Megoldási módszerek és kidolgozott feladatok
Megoldási módszerek Grafikus módszer Behelyettesítéses módszer Egyenlő együtthatók módszere
Grafikus módszer Szükséges lépések, hogy az egyenletek y-ra legyenek rendezve, az egyenleteket mint függvényeket közös koordináta rendszerben ábrázoljuk, és a kapott metszéspont tengelyekre vetített képét leolvassuk. Ezek adják a megoldást.
Példa x=1; y=2 és ez az egyenletrendszer megoldása
Példa X=0; y=2És ez az egyenletrendszer megoldása
y 5 -10 1 5 10 x -5 -5 Mivel mind a két egyenlet y-ra rendezett, ezért ábrázolhatjuk ezeket közös koordinátarendszerben I. II. Olvassuk le a metszéspont jelzőszámait! I. Megoldás:x=3; y=-1 II.
y 5 x 0 -5 5 -5 Mivel mind a két egyenlet y-ra rendezett, ezért ábrázolhatjuk ezeket közös koordinátarendszerben I. II. Olvassuk le a metszéspont jelzőszámait! I. Megoldás:x=2; y=2 y=2 X=2 II.
y 5 x 0 -5 5 -5 I. Mivel mind a két egyenlet y-ra rendezett, ezért ábrázolhatjuk ezeket közös koordinátarendszerben II. Olvassuk le a metszéspont jelzőszámait! Megoldás:Mivel nincs metszéspont, ezért nincs megoldása az egyenletrend-szernek I. II.
Megoldás behelyettesítő módszerrel • Valamelyik egyenletet az egyik változójára rendezzük • Ezután behelyettesítjük a rendezett egyenletet a másik eredeti egyenletbe. • Az így kapott egy ismeretlenes egyenletet megoldjuk. • A kiszámított ismeretlent visszahelyettesítjük a másik egyenletbe, majd az így kapott szintén egyismeretlenes egyenletet megoldva kapjuk a másik ismeretlen értékét.
Megoldás behelyettesítő módszerrel (folytatás) • A kiszámított ismeretlent visszahelyettesítjük a másik egyenletbe, majd az így kapott szintén egyismeretlenes egyenletet megoldva kapjuk a másik ismeretlen értékét. • A kapott megoldásokat ellenőrízzük.
Mely számpárok elégítik ki az egyenletek megoldáshalmazát? Vegyük észre, hogy a II. egyenlet x-re rendezett! I. Helyettesítsük be a II. egyenletet az I. egyenletbe! II. II. I. Zárójelbontás Összevonás / -2 / :7 Helyettesítsük vissza ezt az eredményt a II. egyenlet rendezett alakjába! Az egyenletrendszer megoldása:x=2, és y=1
Példa a behelyettesítő módszerre • Vegyük észre, hogy az I. egyenlet könnyen y változóra rendezhető! • Elegendő visszahelyettesíteni az előbb kapott eredményt az I. egyenlet rendezett alakjába! • És ez a megoldása az egyenletrendszernek
Mi a megoldása a következő egyenletrendszernek? I. II. Fejezzük ki y-t az I. egyenletből! Helyettesítsük be az I. egyenlet y-ra rendezett alakját a II.-ba! I. II. Behelyettesítéskor ügyeljünk arra,hogy többtagú tényezővel helyettesítünk! / +32 / :7 Helyettesítsük vissza ezt az eredményt az I. egyenlet rendezett alakjába! Az egyenletrendszer megoldása:x=5, és y=6
Mi a megoldása a következő egyenletrendszernek? Fejezzük ki y-t a II. egyenletből! I. II. Helyettesítsük be a II. egyenlet y-ra rendezett alakját az I.-be! II. I. Behelyettesítéskor ügyeljünk arra,hogy többtagú tényezővel helyettesítünk! / Összevonás / :9 Helyettesítsük vissza ezt az eredményt a II. egyenlet rendezett alakjába! Az egyenletrendszer megoldása:x=3, és y=2
Egyenlő együtthatók módszere • Akkor hatásos, amikor a behelyettesítés előkészítése bonyolulttá tenné az egyenlet átrendezését. • Célunk ezzel a módszerrel az, hogy valamelyik ismeretlen változótól kiküszöböljük. • Ezt úgy tehetjük meg, hogy mindkét egyenletnek az egyik kiválasztott változóit ekvivalens átalakítással egyenlő abszolút értékű együtthatóra alakítjuk.
Egyenlő együtthatók módszere (folytatás) • Ha az együtthatók azonos előjelűek, akkor kivonjuk, ha ellentétes előjelűek, akkor összeadjuk az egyenleteket. • A kapott egyismeretlenes egyenletet megoldva kapjuk az egyik ismeretlent. • Bármelyik egyenletbe visszahelyettesítve, az egyenletet megoldva kapjuk a másik ismeretlent. • Az eredményeket ellenőrízzük.
Ha az I. egyenletet megszorozzuk 3-mal, és a II. egyenletet megszorozzuk 2-vel, akkor mindkét egyenletben az x változó 6 szorosa jelenik meg. Azaz: Mindkét egyenletben a 6x-es tagok pozitívak. Vonjuk ki az I. egyenletből a II.-at.
Mi a megoldása a következő egyenletrendszernek? / *7 I. Ahhoz, hogy x-t ki ejthessük azegyenletrendszerből, vegyük észre,hogy 175 lesz a közös együtthatójuk II. / *5 I. Vonjuk ki az első egyenletből a másodikat! II. - I. II. / :20 Helyettesítsük vissza ezt az eredményt a II. egyenlet eredeti alakjába! / -40,3 / :35 Az egyenletrendszer megoldása:x=-0,18, és y=1,3
Mi a megoldása a következő egyenletrendszernek? / *2 I. Ahhoz, hogy x-t ki ejthessük azegyenletrendszerből, vegyük észre,hogy 10 lesz a közös együtthatójuk II. I. Vonjuk ki az első egyenletből a másodikat! II. - I. II. / :9 Helyettesítsük vissza ezt az eredményt a II. egyenlet eredeti alakjába! / -18 / :10 Az egyenletrendszer megoldása:x=5, és y=6
Mi a megoldása a következő egyenletrendszernek? / :2 I. Ahhoz, hogy x-t ki ejthessük azegyenletrendszerből, vegyük észre,hogy 2 lesz a közös együtthatójuk II. / *1 I. Vonjuk ki a másodikegyenletből az elsőt! II. - II. I. / :2 Helyettesítsük vissza ezt az eredményt az I. egyenlet eredeti alakjába! / -18 / :4 Az egyenletrendszer megoldása:x=5, és y=3
Mi a megoldása a következő egyenletrendszernek? / :2 I. Ahhoz, hogy x-t ki ejthessük azegyenletrendszerből, vegyük észre,hogy 2 lesz a közös együtthatójuk II. / *1 I. Vonjuk ki a másodikegyenletből az elsőt! II. - II. I. Azaz bármelyik x-hez találunkpontosan egy y megoldást Az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van.
Mi a megoldása a következő egyenletrendszernek? / :2 I. Ahhoz, hogy x-t ki ejthessük azegyenletrendszerből, vegyük észre,hogy 2 lesz a közös együtthatójuk II. / :5 I. Vonjuk ki a másodikegyenletből az elsőt! II. - II. I. Azaz bármelyik x-hez találunkpontosan egy y megoldást Az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van.
Mi a megoldása a következő egyenletrendszernek? / :2 I. Ahhoz, hogy x-t ki ejthessük azegyenletrendszerből, vegyük észre,hogy 2 lesz a közös együtthatójuk II. / *1 I. Vonjuk ki a másodikegyenletből az elsőt! II. - II. I. Azaz nincs megoldása az egyenletrendszernek
Mi a megoldása a következő egyenletrendszernek? / *2 I. Ahhoz, hogy y-t ki ejthessük azegyenletrendszerből, vegyük észre,hogy 2 lesz a közös együtthatójuk II. I. Adjuk össze az első és a másodikat egyenleteket! II. I. + II. / :11 Helyettesítsük vissza ezt az eredményt a II. egyenlet eredeti alakjába! / -14 / : (-2) Az egyenletrendszer megoldása:x=2, és y=6