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第一章 命题逻辑

第一章 命题逻辑. 命题逻辑. 1-1 命题及其表示方法 1-2 联结词 1-3 命题公式与翻译 1-4 真值表与等价公式 1-5 重言式与蕴含式 1-6 其它联结词 1-7 对偶与范式 1-8 推理理论. 1.1 命题及其表示方法. 命题： 具有确定真值的陈述句。 真值： 一个命题的取值，真值只有“真”、“假”两种， 真： T 或 1 假： F 或 0 。. 命题的类型. 原子命题： 不能分解为更简单的陈述句，称原子命题。 复合命题： 由联结词、标点符号和原子命题复合构成的命题。.

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第一章 命题逻辑

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  1. 第一章 命题逻辑 北京理工大学 郑军

  2. 命题逻辑 1-1 命题及其表示方法 1-2 联结词 1-3 命题公式与翻译 1-4 真值表与等价公式 1-5 重言式与蕴含式 1-6 其它联结词 1-7 对偶与范式 1-8 推理理论 命题逻辑

  3. 1.1 命题及其表示方法 • 命题： 具有确定真值的陈述句。 • 真值： 一个命题的取值，真值只有“真”、“假”两种， 真：T或1 假：F或0。 命题逻辑

  4. 命题的类型 • 原子命题： 不能分解为更简单的陈述句，称原子命题。 • 复合命题： 由联结词、标点符号和原子命题复合构成的命题。 命题逻辑

  5. 例1 下列是否为命题 1) 十是一个整数. 2) 北京是一个海滨城市. 3) 雪是黑色的. 4) 煤球是白的. 5) 今天是20号. 6) 1+101=110. 命题逻辑

  6. 例1（续） 7)我学英语或法语. 复合命题 8)如果天气好,我就去散步. 复合命题 不是命题 9)向右看齐! 不是命题 请勿吸烟! 命题逻辑

  7. 例1（续完） 不是命题 10)您吃饭了吗? 不是命题 您上网了吗? 不是命题 11)多美的景色啊！ 不是命题 12)我正在说谎. 我不给所有自己替自己理发的人理发，但却给所有自己不替自己理发的人理发。 不是命题 命题逻辑

  8. 命题语句的形式 • 命题的语句形式 陈述句 • 非命题语句 疑问句、祈使句 、感叹句 悖论语句(非命题陈述句) 命题逻辑

  9. 命题的表示 • 命题标识符： 表示命题的符号，通常用大写英文字母A，B，…，P，Q，…表示。 • 命题常量： 一个命题标识符表示确定的命题，该标识符称为命题常量。 • 命题变元： 命题标识符如仅是表示任意命题的位置标志，就称为命题变元。 命题逻辑

  10. 真值指派 • 真值指派： 当命题变元 P 用一个特定命题取代时，P 才能确定真值，这时称对 P进行指派。 命题逻辑

  11. 1-2 联结词 北京理工大学 郑军

  12. 1. 否定  定义1 设 P 为一命题, P 的否定是一个新的命题,记作 P. 真值表 命题逻辑

  13. 否定的性质 (对和律) 等价 等价：给定两个命题公式 A 和 B， 设P1,P2,…,Pn 为出现于A 和 B 中的原子变元，若给P1,P2,…,Pn任一组真值指派， A和 B的真值都相同，则称A 和 B是等价的或逻辑相等。记作 AB。 命题逻辑

  14. 2. 合取 (二元运算) 定义2 两个命题 P 和Q 的合取是一个复合命题，记作P Q. 真值表 同真则真 命题逻辑

  15. 例 • P ：今天下雨 Q：明天下雨 P  Q：今天下雨而且明天下雨 今天与明天都下雨 这两天都下雨 • P ：我们唱歌 Q：我们跳舞 P  Q：我们一边唱歌一边跳舞 命题逻辑

  16. 例 P ：他聪明 Q：他用功 • 他既聪明又用功. P  Q • 他虽然聪明，但不用功。 P  Q • 他不仅聪明，而且用功。 P  Q • 他不是不聪明，而是不用功。 （P）  Q • 表示合取关系的常用词： • 与、和 • 一边…一边… • 不仅…而且… • 既…又… • 虽然…但是… 命题逻辑

  17. 例 • P：我去看电影 Q：房间里有十张桌子 P  Q 在逻辑学中允许 • 张明与张华是兄弟。 （简单命题） 命题逻辑

  18. 合取的性质 幂等律 交换律 结合律 同一律 零 律 否定律 命题逻辑

  19. 3. 析取  （可兼或） 定义3 两个命题 P 和Q 的析取是一个复合命题，记作P Q. 真值表 同假则假 命题逻辑

  20. 例 • 他可能是100米或400米赛跑的冠军. P  Q • 今天晚上八点我在家看电视或去剧场看戏. （排斥或） ( P  Q)  ( P  Q) • 他昨天做了二十或三十道题. （大约） （原子命题） • 析取与汉语中的“或”的含义不完全相同． • 析取表示可兼或. • 汉语中的“或”既可以表示“可兼或”也可表示“不可兼或”. 命题逻辑

  21. 析取的性质 幂等律 交换律 结合律 同一律 零 律 否定律 命题逻辑

  22. 析取的性质(续) 分配律 吸收律 德·摩根律 命题逻辑

  23. 4. 条件 → 定义4 两个命题 P 和Q 的条件是一个复合命题，记作P →Q. 读作“如果P, 则Q”. P 为前件, Q 为后件. 真值表 前真后假 则假 命题逻辑

  24. 4. 条件 → ：是否履行合同 例：李明在商店买电脑时，店方承诺： 如果在正常使用下，第一年内修理达到四次，那么店方负责换成新电脑。 已知：李明一直在正常使用电脑，请问在什么情况下，店方没有履行承诺？ 命题逻辑

  25. 例 • 如果天气好，我就去游玩。 P→ Q • 如果我得到这本小说，我将读完它。 P→ Q • 如果雪是黑的，那么太阳从西方升起。 P→Q • 如果月亮出来了，则3乘3等于9。 P→Q 命题逻辑

  26. 例（续） • 我将去旅游，仅当我有时间。 P: 我去旅游 Q: 我有时间 P → Q • 除非你努力，否则你将失败。 P: 你努力 Q: 你失败 P → Q 命题逻辑

  27. 例 P: 不下雨 Q: 我骑自行车上班 • 只要不下雨，我就骑自行车上班 P → Q • 只有不下雨，我才骑自行车上班。 Q → P • 常用的表示“P→Q”的词： • 如果(若)P, …, 那么(则)Q. • P是Q的充分条件. 只要P, 就Q. • Q是P的必要条件. 只有Q, 才P. P仅当Q. 命题逻辑

  28. 例 • 如果今天是星期天，那么2+3=5. (永为真) • 如果今天是星期天，那么2+3=6. (除星期天外，天天真） • 在汉语中，“如果，则”是有因果关系的，但在命题逻辑中Ｐ→Ｑ总是有意义的． 命题逻辑

  29. 逆换式、反换式、逆反式 • P → Q 如果下雨，则地湿。 • 逆换式：Q → P 如果地湿，则下雨。 • 反换式：P → Q 如果不下雨，则地不湿。 • 逆反式：Q → P 如果地不湿，则不下雨。 命题逻辑

  30. 条件运算的性质 命题逻辑

  31. 条件运算的性质(续) 命题逻辑

  32. 5. 双条件  定义5 给定两个命题 P 和Q ,其复合命题P Q称作双条件命题,读作“P当且仅当Q”. 真值表 同则真 不同则假 命题逻辑

  33. 例 P Q • 两个三角形全等,当且仅当它们的三组对应边相等. • 燕子飞回北方, 春天来了. • 2+2=4 当且仅当雪是白的. • 1+1=10当且仅当数是二进制的. • 骗子讲真理当且仅当太阳从西边出来. 命题逻辑

  34. 双条件运算的性质 命题逻辑

  35. 双条件运算的性质(续) 命题逻辑

  36. 1-3 命题公式与翻译 北京理工大学 郑军

  37. 命题公式 命题演算的合式公式(wff)，规定为： • 单个命题变元本身是一个合式公式。 • 如果A是合式公式，则A是合式公式。 • 如果A和B是合式公式，那么 (A  B), (A  B), (A → B), (A  B)是合式公式。 命题逻辑

  38. 命题公式（续） • 当且仅当能够有限次地应用（1）、（2）、（3）所得到的包含命题变元，联结词和括号的符号串是合式公式。 通常我们约定联结词的优先次序为：  ，， ， ， 命题逻辑

  39. 例 是命题公式 不是命题公式 命题逻辑

  40. 例：试以符号形式写出下列命题 • 选修过微积分或计算机科学的学生可以选修这门课 。 • 选小王或小李中的一人当班长。 • 小王是计算机系的学生，他生于1982年，他是一个好学生。 • 如果我上街，我就去书店看看，除非我很累。 • 只有你是计算机系的学生或不是一个新生，才可以通过校园网访问Internet。 命题逻辑

  41. 例：试以符号形式写出下列命题 1.P: 选修过微积分的学生选修这门课。 Q: 选修过计算机科学的学生选修这门课。P  Q 2.P: 小王当班长。 Q: 小李当班长。( P  Q)  ( P  Q) 3. P: 小王是计算机系的学生。 Q: 他生于1982年。 R: 他是一名好学生。P  Q  R 4. P: 我上街。 Q: 我去书店看看。 R: 我很累。R →(P→Q) 5. C: 你是计算机系的学生。 F: 你是一个新生。 A: 你可以通过校园网访问Internet。A → (C F) 命题逻辑

  42. 1-4 真值表与等价公式 北京理工大学 郑军

  43. 真值表 • 在命题公式中，对于分量指派真值的各种可能组合，就确定了这个命题公式的各种真值情况，把它汇列成表，就是命题公式的真值表。 命题逻辑

  44. 一般说来，n个命题变元组成的命题公式有 2n 种真值情况。 例 命题逻辑

  45. )( ( ) 重言式（永真式） • 给定一命题公式，若无论对分量作怎样的指派，其对应的真值永为真，则称该命题公式为重言式或永真公式。 命题逻辑

  46. 矛盾式（永假式） • 给定一命题公式，若无论对分量作怎样的指派，其对应的真值永为假，则称该命题公式为矛盾式或永假公式。 命题逻辑

  47. 可满足式 • 如果命题公式既不是重言式，也不是矛盾式，则称该命题公式是可满足式。 命题逻辑

  48. 定理 • 任何两个重言式的合取或析取，仍然是一个重言式。 证明: 设 A 和 B 为两个重言式， 则不论 A和 B的分量指派任何真值，总有 A 为 T, B 为 T, 故 AB TAB T 命题逻辑

  49. 定理 • 一个重言式，对同一分量都用任何合式公式置换，其结果仍为一重言式。 证明: 由于重言式的真值与分量的指派无关， 故对同一分量以任何合式公式置换后，重言式的真值仍永为 T. 命题逻辑

  50. 等价 • 给定两个命题公式 A 和 B，设P1,P2,…,Pn为出现于A 和 B 中的原子变元，若给P1,P2,…,Pn任一组真值指派，A和 B的真值都相同，则称A 和 B是等价的或逻辑相等。记作 AB。 设 A、B为两个命题公式, AB当且仅当 AB为一重言式。 定理 命题逻辑

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