Download
1 / 21
240 likes | 504 Views
Proses Stokastik. Semester Ganjil 2011. Solusi dari Birth and Death Process yang Tergantung Waktu. Peluang bahwa proses berada pada state i pada waktu t: Pada waktu ( t + ∆ t) proses dapat mengalami transisi ke state j dengan peluang: π j ( t +∆ t )
E N D
Proses Stokastik Semester Ganjil 2011
Solusi dari Birth and Death Process yang Tergantung Waktu • Peluang bahwa proses berada pada state i pada waktu t: • Pada waktu (t+∆t) proses dapat mengalami transisi ke state j dengan peluang: πj(t+∆t) • Kemungkinan state j yang ditujuadalah: i+1 or i-1 • πi(t+∆t) didefinisikan dengan menjumlah aliran masuk dan keluar dari state i Sebagian tetap di i, sisanya keluar dengan laju∆t λidan∆t µi Laju aliran masukdari state sebelumnya∆t λi-1 Laju aliranmasukdari state sesudahnya∆t µi+1
Pure Birth Process • Proses di mana hanya terdapat kelahiran (birth) tanpa kematian (death) • Laju kematian nol • Laju kelahiran sama untuk setiap state
Solusi dari Pure Birth Process • Turunan pertama dari peluang pada saat t • Dengan substitusi laju kelahiranλi = λuntuksemuaidanlajukematianμi= 0 untuksemuai, berawal dari state 0
Dengan definisi baru untuk menyelesaikan persamaan diferensial v u
Secara rekursif: dst
Contoh: • Suatuproseskelahiranmurnidengan parameter kelahiranλ=2 individu/hari • Berapapeluangbahwapadaharikeduatidakterdapatindividudidalamsistem? • Berapapeluangbahwapadaharikeduaterdapat paling banyak 1 individu?
SolusidariPure Death Process • Prosesdi mana terdapatkematiantanpakelahiran • Lajukelahiranλ=0 • Lajukematiantergantungdarijumlahindividuiyang ada, dansetiapindividumempunyailajukematianμi = μuntuksetiapi
Turunanpertamapeluangpadawaktut • Dengansubstitusilajukelahirandankematian yang sesuai, dimulaidari state ken • Solusiuntuk state ken:
Solusinyadiperolehsecararekursidimulaidari state ke – n. • Solusiuntu state ke(n – 1)
Secaraumum, solusi yang diperolehadalahsistemmempunyaisebaran Binomial denganpeluangsurvivalpadawaktutadalahe-µt
Contoh: • Suatupopulasidiawalidengan 10 individu, danmengikutiproseskematianmurnidengan parameter kematianµ=1 individu/hari. • Berapapeluangkepunahandarisuatuindividupadapopulasitersebutpadasuatuhariket? • Berapapeluangkepunahandarisuatu individupadaharike 10?
Single Server System, KasusKhususBirth and Death Process • Suatusistemdenganlajukelahirandanlajukematiankonstan • Suatukelahiran: kedatanganseorangpelanggan • Suatukematian: seorangpelangganmenyelesaikanlayanannya. • Hanyaterdapatdua state 0 and 1
SolusidariSingle Server System • Dari persamaanturunanpertamabagipeluangpadawaktut • Substitusinilailajukelahirandankematianpada state 0 • Substitusinilailajukelahirandankematianpada state 1
Penjumlahandarikeduapersamaan + • PenggunaanQuntukmenyelesaikanperseamaandifferensial
Solusibagipersamaandiferensial • Padat= 0, sistemberadapadastate 0 secarapastidanmengarahpadakondisiawaluntukQ:
MenyelesaikanC untukkondisiawal • DefinisiawalbagiQ:
