第六章  势流理论
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 81

第六章 势流理论 PowerPoint PPT Presentation


  • 266 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

第六章 势流理论. 课堂提问:为什么上、下弧旋乒乓球的应对方法不同?. 势流 : 理想流体绕物体的流动 , 或为无旋流动。. 像波浪、机翼升力等问题用势流理论进行研究可获得满意结果。. 求解势流问题的思路如下:. 1 . 流体力学最终目的是求流体作用于物体上的 力和力矩;. 2 . 为求力和力矩,须知物面上压力分布,即 须解出未知的压力函数p( x , y , z , t ). (6 - 1). ( 6 - 2 ). (6 - 3). 3 . 利用拉格朗日积分将压力和速度联系起来, 要求出p,必须先求出速度 V.

Download Presentation

第六章 势流理论

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


5032561

第六章 势流理论

课堂提问:为什么上、下弧旋乒乓球的应对方法不同?

势流:理想流体绕物体的流动,或为无旋流动。

像波浪、机翼升力等问题用势流理论进行研究可获得满意结果。

求解势流问题的思路如下:

1.流体力学最终目的是求流体作用于物体上的

力和力矩;

2.为求力和力矩,须知物面上压力分布,即

须解出未知的压力函数p(x,y,z,t)


5032561

(6-1)

(6-2)

(6-3)

3. 利用拉格朗日积分将压力和速度联系起来,

要求出p,必须先求出速度V

4. 对于势流,存在速度φ,满足:

5.φ满足拉普拉斯方程:

若给出问题的边界条件和初始条件,拉普拉

斯方程可以解出φ。


5032561

求解思路可简述为:

解拉普拉斯方程→φ→v→p→流体作用于

固体的力和力矩。

求解拉普拉斯方程的方法很多,本章只介绍

一个简单的方法: “迭加法”

迭加法:预先选出一个“调和函数”,或数个调和函数的迭加,反过来检验是否满足所给的初始条件和边界条件。若满足则预先选定的调和函数就是所需要的解。


5032561

本章主要研究内容:

1.着重讲理想流体平面绕流问题(平面势流)

2.几种最简单的势流(几个调和函数)

3.绕园柱体的无环流流动

4.绕园柱体的有环流流动

5.附加惯性力与附加质量

6.作用于流体上的力和力矩


5032561

本章仅讨论求解势流问题的基本思路并针对简单问题的求解。

明确两点重要结论:

1)园柱体在理想流体中作等速直线运动时,阻

力为零(达朗贝尔疑题);升力也为零。

2)若园柱体本身转动,则它要受到升力的作

用,即著名的麦格鲁斯效应。


5032561

图 6-1

§6-1 几种简单的平面势流

平面流动(或称二元流动)应满足的条件:

  • 平面上任何一点的速度和加速度都平行于所

  • 在平面,无垂直于该平面的分量;

  • 与该平面相平行的所有其

  • 它平面上的流动情 况完

  • 全相同。


5032561

图 6-2

船舶在水面上的垂直振荡问题,因船长比

宽度及吃水大得多,且船型纵向变化比较缓

慢,可近似认为流体只在垂直于船长方向的平

面内流动。


5032561

积分得势函数: (6-4)

一、均匀流

设所有流体质点均具有与

x轴平行的均匀速度Vo,

Vx=Vo, Vy=0

现求φ和ψ。平面流动速度势的全微分为:

积分常数不起作用,可省去。


5032561

流函数的全微分:

图6-3

积分得流函数:ψ=Voy (6-5)

由(6-4) 和(6-5)有:

y=const,流函数等值

线(流线)

x=const,等势线

两组等值线相互正交


5032561

图6-4

例如:均匀流的速度势可表示平行平壁间的流

动或薄平板的均匀纵向绕流。

二、源或汇

流体由平面上坐标原点沿径向流出叫做源,反向流动谓之汇。


5032561

在直角坐标系下:

图6-5

在极坐标下:

(6-7)

设源点坐标原点流出体积流量为Q

Vr=f(r), V = 0

不可压缩流体的连续性方程:

2πrVr=Q

∴ Vr=Q/2πr (6-6)


5032561

(6-8)

图6-6

采用极坐标,由φ和ψ的全微分积分:

流线为θ=const,为原点

引出的 一组射线

等势线为r=const,流

线为同心圆,相互正交。


5032561

图6-7

当Q>0,则 Vr>0为点源,反之为点汇。

对于扩大(收缩)流道中理想流体的流动,

可以用源(汇)的速度势来描述。


5032561

图6-8(a)

三、偶极子

无界流场中等流量的源和汇

无限靠近,当间距δx→0时,流

量Q→∞,使得两者之积趋于一

个有限数值,即:

Qδx→M (δx→0) (6-9)

这一流动的极限状态称为偶极子,M为偶极矩。

用迭加法求φ和ψ


5032561

场点A离源和汇的距离

是个小量,利用泰劳展开得:

r1≈r2+δx cosθ1

当δx→0时,Qδx→M, θ1 →θ,r2→r


5032561

利用泰劳展开:

(6-10)

(6-11)

极坐标下:

直角坐标下:

展开后并略去δx 二阶以上小量,可得:


5032561

所以

代入上式得:

对于流函数:

这里:r2= x Sinθ1

当δx→0时,Qδx→M,r2→r,θ1→θ


5032561

流函数为:

直角坐标系下:

(6-12)

令ψ=C即得流线族:

配方后得:

(6-14)


5032561

图6-8(b)

偶极子的方向

为x轴负向

流线:圆心在y轴上,与x轴相切的一组圆,

等势线:圆心在x轴上,与y轴相切的一组圆。

这些圆与ψ=const正交

注意:

偶极子的轴线和方向

轴线:源和汇所在的直线

方向:由汇指向源的方向


5032561

(6-15)

所求速度的点到

点涡的距离

涡索旋涡强

度的两倍

图 6-9

四、点涡(环流)

点涡:无界流场中坐标原点处一无穷长直线涡,

方向垂直于x0y平面,与xoy平面的交点

诱导速度沿点涡为中心的圆周切线方向,大小

与半径成反比:

采用极坐标来求φ和ψ


5032561

积分得速度势函数:

(6-16)

流函数

积分得流函数:

(6-17)

流线:ψ=const

同心圆

图 6-9

Γ>0对应于反时针的转动

Γ<0对应于顺时针的涡旋


5032561

§6-3 绕圆柱体的无环量流动,达朗贝尔谬理

绕圆柱体的无环量流动:无界流场中均匀流和偶

极子迭加形成的流动。

均匀流动 + 偶极子 = 绕圆柱体的无环流流动


5032561

圆柱绕流的边界条件:

  • 无穷远条件:

在无穷远处,流体未受圆柱体的扰动,该处

为均匀流。

2.物面条件:

圆柱表面不可穿透,即

r=r0处,有 Vn= Vr=0,

或r=r0的圆周是一条流线。


5032561

r ∞

( 6-18)

( 6-19 )

边界条件的数学表达式

(a)无穷远条件:

(b)物面条件:

r = r0,vn= vr=0或r = r0处ψ=0 (零流线)

均匀流和偶极子迭加后的速度势和流函数为:


5032561

令(6-19)式为零:

若 ,即

令 , 就有r = r0,

若Sinθ=0,有θ=0或π

因此ψ=0的流线中有一部分是x轴

圆周r = r0 也是ψ=0流线的一部分

现在验证边界条件(a)


5032561

将 代入φ,有:

(6-20)

(6 – 21)

当r→∞,从上式可得:

验证边界条件(b)

当r=r0 时,Vr=0, 满足不可穿透条件。


5032561

上述结果表明:

1.无界流场中,均匀流和偶极子迭加的速度势,

完全满足绕圆柱体无环流流动的远场和近场的

边界条件。

2.无界流场中,均匀流和偶极子迭加后的流场在

r≥r0区域的流动情况与均匀流绕圆柱的流动

情况完全一样。

迭加后将r<r0的部分去掉,用r=r0的圆柱体替代不会对流场有任何影响。因此绕圆柱体无环流流动的速度势就是均匀流加偶极子的速度势。


5032561

(6-22)

与s坐标方向相反

圆柱表面的速度分布:

由(6-21)式,当r=r0时:

对A,C两点:

θ=π或0,

v=0

驻点:速度为零的点


5032561

B,D两点:

(6-23)

速度达到最大值,圆柱体半径无关。

在流线ψ=0 上(包括x轴和圆柱表面):

  • 流体从∞以流速V0流向圆柱,接近圆柱速逐

  • 渐减小,到达A点时速度降至零。然后分为二

  • 支向两侧流去,同时速度逐渐增大,到达B,D

  • 点时速度增至2V0达最大值。


5032561

(6-24)

无穷远均匀流中压力

2.经过B,D后又逐渐减小,在C点汇合时速度

又降至零。离开C点后,又逐渐加速,流向后方

的无限远处时再恢复为v0。

柱面上的压力分布:

定常,不计质量力的拉格朗日积分式为:

将(6-22)式代入即得圆柱表面上压力分布:


5032561

压力系数:

(6-25)

圆柱体上:

(6-26)

压力分布既对称于x轴

也对称于y轴。

在A,C两点压力最大

在B,D两点压力最小


5032561

沿ψ=0这条流线的压力变化为:

-处: Cp=0,压力渐大A点达极大Cp=1

A分两支分别流向B,D点。

B,D点:压力为极小值

Cp=-3

C点:恢复到极大值,

Cp=1,C点  +

压力再次减小至p0,Cp=0


5032561

升力L:

阻力R:

合力在y轴上的分量

合力在x轴上的分量

理想流体对圆柱体的作用力:

绕圆柱的无环量流动:

升力L=0 压力分布对称于x轴

阻力 R=0 压力分布对称于 y轴

结论与实验结果矛盾实测结果:称为达朗贝尔谬理,它在理论上很有意义。


5032561

正压

负压

破坏了压力分布对y轴的对称性


5032561

达朗贝尔谬理成立的条件可归纳为:

1. 理想流体

2. 物体周围的流场无界

3. 物体周围流场中不存在源、汇、涡等奇点

4. 物体作等速直线运动

5. 物体表面流动没有分离

若其中的任一条件被破坏,则物体即将遭受到流体的作用力(阻力或升力)。

由达朗贝尔谬理,可分析物体在流体中运动时可能受力的种类及其本质。


5032561

§6-3 绕圆柱体的有环量流动-麦格鲁斯效应

绕圆柱体的有环量流动:

绕圆柱体的无环流

环量为Γ顺时针平面点涡

边界条件仍成立:1.圆柱是一条流线

2.无穷远处的边界条件


5032561

(6-29)

当r=ro (圆周仍为流线)

(6-30)

将绕圆柱体无环流流动与点涡进行迭加:

顺射针转动取负

流场中速度分布为:


5032561

(6-31)

由环流引起

r=r0 即圆柱表面上速度分布:

圆柱上表面:

顺时针环流引起的速度与无环量绕流的速

度方向相同,故速度增加。

圆柱下表面:

方向相反,因而速度减少。


5032561

驻点处vs=0,由(6-31)有

解出驻点位置 :

(6-32)

驻点位置与Γ的大小有关:

1)Γ 4πr0V0

两驻点在圆柱面上 ,并对称

位于三、四象限。

Γ增加,则 A,B两驻点下移,并互相靠拢。


5032561

2)Γ=4πr0V0

两个驻点重合成一点。

3)Γ> 4πr0V0

驻脱离圆柱面沿y轴向下。

令式(6-30)中 Vr= Vθ =0,

解出两个驻点:一个在圆柱体内,另一个在圆柱体外。

实际只有一个在圆柱体外的

自由驻点。


5032561

结论:

1. 合成流动对称于y轴,圆柱仍将不受阻力

2. 合成流动不对称于x轴,产生了向上的升力


5032561

得:

(6-33)

升力大小的计算:

将圆柱表面上速度分布得:

Vs=-2V0sinθ-Γ2πr0代入柏努利方程


5032561

单位长圆柱所受到的升力为:

于是得到升力的大小:

(6-34)

将(6-33)代入上式,并考虑到

称为库塔——儒可夫斯基升力定理

上式揭示了升力和环量之间的一个重要关系:

即升力的大小准确地和环量Γ成正比,此

外还和流体密度ρ及来流速度V0成正比。


5032561

该定理在绕流问题中具有普遍意义,不仅

对圆柱而且对有尖后缘的任意翼型都是正确的。

真实流体由于粘性,圆柱后部会有分离,除

升力外还会有阻力,但升力仍可用(6-34)

式计算。

升力的方向:

右手四指顺来流速度矢量,逆环流方向转90°


5032561

绕旋转圆柱体流动会产生升力的现象。

麦格鲁斯效应:

如乒乓球、排球中的弧圈球、飞行而又旋

转的炮弹等受到横向力的作用,都是这一原理

的应用。

德国工程师弗来脱纳尔于1924年利用麦

格鲁斯效应在他的试验船Buckan号上设置铅

垂的旋转圆柱以代替风帆,即旋筒推进器。


5032561

L的分力

旋转圆筒

合速度V

升力L  V

推力: L在船前进方向的分力


5032561

解:

积分得:

即f(x)=C。则流函数为:

例6.2 已知速度势φ=x3-3x y2 ,求流函数ψ

式中f(x)为与y无关的函数。将ψ对x求导:


5032561

例6.3 已知平面点涡的流函数和平面点汇的流

函数分别为 和

解:

积分得:

(a)

对θ求导得:

另外

所以

代入(a)得势函数:

求:叠加后的速度势


5032561

例6.6 已知流函数

求: 1)驻点位置;

2)绕物体的环量;

3)无穷远处的速度;

4)作用在物体上的力。

解 : 1)求驻点位置(先求速度场)


5032561

令vθ=0,有

即驻点位置为

令ψ=0,则零流线为r=5的圆柱即为物面。

在物面上,r=5时,Vr=0,所以

2)求环量


5032561

在物面上

所以

3)求速度

即为无穷远的来流速度。

4)求合力

若ρ=1000kg/m3

则L=V0 =6.28×107N/m


5032561

例6.7 在x>0的右半平面(y轴为固壁)内,处于x轴上距壁面为a处有一强度为Q的点源。

求: 流函数、势函数及壁面上的速度分布

解: 用镜像法,在x=a的对称位置x=-a处虚设

一个等强度的点源,则可形成y轴处固壁。

叠加后的势函数为:


5032561

流函数为:

在x=0处即固壁上

满足不可穿透条件


5032561

§6-4 附加惯性力与附加质量

物体在无界流体内的运动可分为两大类:

1.匀速直线运动

坐标系固结于物体上仍为惯性系,

为均匀来流绕物体的定常流动。

由上两节的方法求压力分布、合力、力矩等

2.非匀速运动:

坐标系固结于物体上为非惯性系,

为非定常流动问题。

不能由上两节的方法求压力分布、合力、力矩等


5032561

V(t)

M

s

本节讨论无界流场中物体作非匀速直线运动

无界流场中的非定常运动物体质量为M,物面为。

取半径R非常大的球面Σ

Σ内流体以加速度a运动

物体运动使周围流体微团亦产生了

大小和方向不同的加速度。


5032561

附加惯性力

推动物体的作用力F:

1. 必须为增加物体的动能而作功

2. 还要为增加流体的动能而作功

因此,外力力F将大于Ma

设 F=(M+λ)a (6-35)

λ称为附加质量,M+λ称为虚质量。

令 FI=-λa (6-36)

则: F+FI= Ma (6-37)


5032561

附加惯性力:物体加速周围流体质点时受到周

围流体质点的作用力

由(6-36)知FI的方向与加速度方向相反。

当a>0时FI<0,即物体加速度运动时,

FI为阻力;

当a<0时,FI>0,即物体减速时,

FI为推力。


5032561

τ内流体动能:

(6 - 38)

V(t)

式中

M

s

所以

(6 - 39)

附加质量的计算


5032561

对于在区域τ及外边界Σ和内边界S上所

定义的单值连续函数P, Q, R , 高斯定理:

将上式用于流体动能表达式可得:


5032561

由方向导数定义知:

因此

可略去不计

例如当圆柱体在静止流体中运动时,其绝

对速度势为:

注:绕圆柱的相对速度势为

比较速度势及其微分的量阶:


5032561

当Σ取足够大时,r→∞,则

动能计算式简化为

(6-40)

设速度势为

(6- 41)

单位速度所对应的速度势

式中

动能可写成

(6-42)

相当于质量


5032561

令附加质量为

(6-43)

物体沿x向作变速直线运动的附加质量,

若物体运动有六个自由度,λ有36个分量例如船舶靠离码头,波浪作用引起横摇,纵摇等考虑附加质量、附加转动惯量。

λ的个数随物体具有的对称面而减少

结论:

附加质量仅与物体的形状和运动形式有关,

而与物体的速度或加速度无关。


5032561

船舶6个自由度非定常运动附加质量

注:m为排水量, Ixx为m绕x轴的转动惯量,Iyy为m

绕y轴的转动惯量.


5032561

例如半径为r0的无限长圆柱沿垂直本身轴

线的方向在密度为ρ的流体中直线平移,其单

位长度上的附加质量为:

其附加质量为其排开的流体质量


5032561

(6-62)

图6-19

§6-7 作用在物体上的流体动力和力矩

物体周线上微弧长dS, 作用力为pdS在x和y方向的投影分别为:

作用力:


5032561

因为

(6-64)

(6-65)

(6-63)

θ为ds的切线方向与x方向的夹角。

得x和y方向的总力:

作用力P和共轭作用力定义为:


5032561

因此

(6-66)

由伯努利方程式

在物体周线上

(6-63)代入(6-65)得共轭作用力:


5032561

所以

所以

(6-67)

(6-68)


5032561

(6-67)和(6-68)即为计算作用在

物体上流体动力的卜拉休斯(Blasius)公式。

  若绕任意形状柱体流动的复势W(z)=f(x+iy)

已知,就可由Blasius公式求出作用在单位长度

柱体上的共轭作用力,取实部即得X,取虚部

加负号就是Y。

  作用在任意形状柱体上对坐标原点的力

矩,由(6-62)式得


5032561

所以

由于

所以

(6-69)

所以

将方程

代入(6-69)式积分


5032561

而|V|2是实数,上式可写成:

(6-70)

(6-70)

上式即为计算作用在物体上的流体动力力矩

的Blasius公式。

若绕任意形状柱体流动的复势W(z)已知,

积分(6-70)再取其实部,便得单位长度柱体上

作用力对原点的力矩。


5032561

任意形状剖面物体上的流体动力:

如机翼、汽轮机叶片、水翼或螺旋桨剖面

等,本定理求这些剖面上的流体动力,有重

要的理论与实际意义。

设理想不可压缩流体,无限远来流速度V0

绕流一任意形状的柱体,流动为定常势流

求:物体的升力和阻力。


5032561

y

L

0

(a)

C

坐标原点位于物体剖面上,设物体周线L

以外无奇点。作一个任意半径的圆周C将物体

周线L包围在内,则复速度在圆外处处解析,

(可展开为罗朗级数)在无限远处流体的流速

为V0,则有:

x


5032561

( c)

因流体不可压缩,通过包围物体的任意周线C的体积流量为零。由(6-53)式有:

(b)

由(a)式可得

绕C逆时针方向的积分

即复速度在无限远点解析。函数在无限远点

解析时其罗朗级数只有负整数幂的项,故复

速度可展开为:

A0和 A1的确定:


5032561

将(b)式代入上式,并根据留数定理:

将(c)和(d)代入(b),得:

(6-71)

所以

(d)

将上式代入Blasius公式(6-67),便可计

算出共轭作用力:


5032561

(6-72)

根据留数定理其积分结果为:

第二式即为

库塔—儒可夫斯基定理

其实部和虚部分别为:

阻力 R=X=0

升力 L=Y=-ρV0Γc (6-73)


5032561

结论:

1.物体只受到升力,不受阻力。

2.升力的大小为-ρV0Γc,方向垂直于V0

3. Γc>0(逆时针)时,方向朝下,

Γc<0(顺时针)时,方向朝上。

升力方向按右手法则:四指顺来流逆环流转90o

与绕圆柱体有环流流动的结果完全一致


5032561

讨论:

1. 已知环量c,求圆柱体的旋转角速度

圆柱表面的切向速度 Vs = r 

环量c= 2πr0Vs= 2πr20

所以= 0 / 2πr20


5032561

n=225/s

V=40m/s

u=30m/s

所以

2.圆柱体长10m,直径1m,在静止流体中绕自身

轴旋转,并沿垂直于自身轴方向等速移动,自然

风u与V垂直。

求: 圆柱体受力

解:由上题结果

环量 c= 2πr0Vs= 2πr20=37.1 m2/s


5032561

y

解:

叠加后的流函数为:

Q

-Q

x

3.设在(-a,0)处有一平面点源,在(a,0)处有一平面点汇, 他们的强度为Q,若平行直线流动和这一对强度相等的源和汇叠加,

试问:此流动表示什么样的流动并确定物面方程


5032561

令 ,求流线即物面方程得:

叠加后的流场:


  • Login