第四章 大数定律与中心极限定理
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第四章 大数定律与中心极限定理. 概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列的定律统称为大数定律。. §4.1 大数定律. 一、依概率收敛. 设{ X n } 为随机变量序列, X 为随机变量,若任给 >0, 使得. 则称{ X n } 依概率收敛 于 X. 可记为. 或. 二.几个常用的大数定律. 1. 契贝晓夫 大数定律 设{ X k ,k=1,2,...} 为两两不相关的随机变量序列,且它们的 方差有界,即存在常数 C>0, 使. 则 任意的 >0, 有.

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第四章 大数定律与中心极限定理

概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列的定律统称为大数定律。

§4.1 大数定律


一、依概率收敛

设{Xn}为随机变量序列,X为随机变量,若任给>0, 使得

则称{Xn}依概率收敛于X. 可记为


二.几个常用的大数定律

1. 契贝晓夫大数定律

设{Xk,k=1,2,...}为两两不相关的随机变量序列,且它们的方差有界,即存在常数C>0,使

则任意的>0, 有


1 x k k 1 2
注:(1)该定律的另一种叙述: 设{Xk,k=1,2,...}为两两不相关的随机变量序列,且它们的方差有界,则 的算术平均值与它门的数学期望的算术平均值之差,当 时,依概率收敛于零。

(2)推论:设 …为两两不相

关的随机变量序列,服从同一分布,并且有数

学期望 及 方差,则任意的 ,有


2.伯努里大数定律

设进行n次独立重复试验,每次试验中事件A发生的概率为p,记 为n次试验中事件A发生的次数,则

证明:设

第i次试验事件A发生

第i次试验事件A不发生

由契贝晓夫大数定理,

任意的>0, 有

即:


3. 辛钦大数定律

若{Xi,i=1.2,...}为独立同分布随机变量序列, EXi=a <, i=1, 2, … 则对任意的 ,有

,即

推论:若{Xi,i=1.2,...}为独立同分布随机变量序列, E(X1k)= a<, 则


三、大数定律的定义

定义:若 是随机变量序列,

如果存在常数列 ,使对任意的 ,

有,

成立,则称随机变量序列 服从大数定律。


四、利用契贝晓夫不等式估值

例1:设 ,利用契贝晓夫不等式

估计 的值


2 a 0 5 1000 a 450 550
例2:在每次试验中,A发生的概率为0.5,利用契贝晓夫不等式估计:在1000次试验中,A发生的次数在450到550之间的概率。


§4.3. 中心极限定理

一.依分布收敛

设{Xn}为随机变量序列,X为随机变量,其对应的分布函数分别为Fn(x), F(x). 若在F(x)的连续点,有

则称{Xn}依分布收敛于X. 可记为

也称分布函数列{Fn(x)}弱收敛于分布函数F(X)。

可记为


X1,X2, …,Xn, …是一列相互独立的随机变量,

期望、方差都存在,为了便于研究,将其和标准化

一般,讨论当 时, 的极限分布。


二.几个常用的中心极限定理

1.独立同分布中心极限定理(Levy-Lindeberg):

设{Xn}为独立同分布随机变量序列,若EXk=a<,DXk= 2 <,k=1, 2, …, 则

即{Xn}满足中心极限定理。

注:据上述定理,当n充分大时


1 100 500
例1.将一颗骰子连掷100次,则点数之和不少于500的概率是多少?例1.将一颗骰子连掷100次,则点数之和不少于500的概率是多少?


2 de moivre laplace
2.德莫佛-拉普拉斯中心极限定理(例1.将一颗骰子连掷100次,则点数之和不少于500的概率是多少?De Moivre-Laplace)

设随机变量n(n=1, 2, ...)服从参数为n, p(0<p<1)的二项分布,则有

第i次试验事件A发生

证明:设

第i次试验事件A不发生

由中心极限定理,

于是

注:此定理的式子常称为“二项分布收敛于正态分布”。


例2:例1.将一颗骰子连掷100次,则点数之和不少于500的概率是多少?

在一家保险公司里有10000个人参加寿命保险,每人每年付12元保险费。在一年内一个人死亡的概率为0.6%,死亡时其家属可向保险公司领得1000元,问:

(1)保险公司亏本的概率有多大?

(2保险公司一年的利润不少于40000元概率有多大?


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