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工程數學

工程數學. 第 7 章 線性微分方程. 本章內容. 7.1 定義 7.2 算子 D 7.3 定理 7.4 輔助方程 7.5 如何求餘函數 7.6 逆算子 7.7 如何求特解. 工程數學 第 7 章 第 339 頁. 本章內容（續）. 7.8 用變分法求 P.I. 7.9 柯西齊次線性方程 7.10 勒讓德線性方程 7.11 常係數聯立線性方程 7.12 全微分方程 7.13 如何解 Pdx + Qdy + Rdz = 0 7.14 形式為 之齊次線性方程的解. 工程數學

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Presentation Transcript

  1. 工程數學 第7章 線性微分方程

  2. 本章內容 • 7.1 定義 • 7.2 算子D • 7.3 定理 • 7.4 輔助方程 • 7.5 如何求餘函數 • 7.6 逆算子 • 7.7 如何求特解 工程數學 第7章 第339頁

  3. 本章內容（續） • 7.8 用變分法求P.I. • 7.9 柯西齊次線性方程 • 7.10 勒讓德線性方程 • 7.11 常係數聯立線性方程 • 7.12 全微分方程 • 7.13 如何解Pdx + Qdy + Rdz = 0 • 7.14 形式為 之齊次線性方程的解 工程數學 第7章 第339頁

  4. 7.1 定義 • 線性微分方程(linear differential equation) 指的是，應變數及其各階微分次方沒有二次以上的項，而且也沒有互乘項的微分方程。所以，n 階線性微分方程可以表示為 ，其中P1, P2,……, Pn-1, Pn及X 都是x 的函數。 工程數學 第7章 第340頁

  5. 7.1 定義 • 常係數線性微分方程(linear differential equation with constant coefficients) 指的是，形式為 …(1) 的方程式，其中a1, a2,……, an-1, an是常數，而X 是x 的函數或常數。 工程數學 第7章 第340頁

  6. 7.2 算子D • 符號 中的 是一個算子，表示把y 對x 微分。 同樣的， 等也可以看成是算子。 • 有時我們也簡單記為 。 • 因此，D 表示的是一個微分算子(differential operator)，或簡稱為算子(operator)。 工程數學 第7章 第330頁

  7. 7.2 算子D • 式(1) 用這個符號表示會變成 或 f(D)y = X • 這裡 也就是說，f(D)是D 的多項式。 工程數學 第7章 第330頁

  8. 7.2 算子D • 算子D 有時也會視為一個代數量。 因此 • f(D)也可以用一般的代數法則作因式分解，而且這些因式可以用任何順序排列。 工程數學 第7章 第330頁

  9. 7.3 定理 • 定理1 • 假設y = y1, y = y2,……, y = yn是微分方程 (Dn + a1Dn-1 + a2Dn-2 +……+ an)y = 0 …(i) 的n 個線性獨立的解，則u = c1 y1 + c2 y2+……+ cnyn也會是這些方程的解，其中c1, c2,……, cn是任意常數。 工程數學 第7章 第340-341頁

  10. 7.3 定理定理1--Proof • 證明：因為y = y1, y = y2,……, y = yn是式(i) 的解， ∴ …(ii) 工程數學 第7章 第341頁

  11. [由式(ii)] 7.3 定理定理1--Proof • 但是 工程數學 第7章 第341頁

  12. 7.3 定理定理1--Proof • 所以u = c1 y1 + c2 y2+……+ cnyn也是式(i) 的解。 • 因為這個解中包含n 個任意決定的常數，所以這是式(i) 所有的解。 工程數學 第7章 第341頁

  13. 7.3 定理 • 定理2 • 如果y = u是方程式f(D)y = 0的一般解，而y = v是 f(D)y = X的一個特解(沒有任何未定的常數)，則 f(D)y = X的一般解為y = u + v。 工程數學 第7章 第341頁

  14. 7.3 定理定理2--Proof • 證明：方程式 f(D)y = 0 …(i) 的一般解為y = u ∴ f(D)u = 0 …(ii) • 而 f(D)y = X …(iii) 有一個特解y = v ∴ f(D)v = X …(iv) • 把式(ii) 及式(iv) 相加，會得到 f(D)(u + v) = X 工程數學 第7章 第341頁

  15. 7.3 定理定理2--Proof • 也就是說，y = u + v滿足式(iii)。這個函數包含n 個未定的常數，所以為式(iii) 的一般解(complete solution, C.S.)。 • y = u的部分稱為式(iii) 的餘函數(complementary function, C.F.)，而y = v稱為特解或特別積分(particular integral, P.I.)。 ∴式(iii) 的一般解為y = C.F.+P.I. • 由此可知，如果要解式(iii)，要先找到餘函數，也就是式(i) 的一般解，然後再找出一個式(iii) 的特解。 工程數學 第7章 第341-342頁

  16. 7.4 輔助方程 • 考慮微分方程 (Dn + a1Dn-1 + a2Dn-2 +……+ an)y = 0 …(i) • 令y = emx為式(i) 的解，則Dy = memx , D2y = m2emx, ……, Dn-2y = mn-2emx , Dn-1y =mn-1emx , Dny =mnemx。 工程數學 第7章 第342頁

  17. 7.4 輔助方程 • 把Dy, D2y,......, Dny的值代入式(i)，會得到 (mn + a1mn-1 + a2mn-2 +……+ an) emx= 0 或 mn + a1mn-1 + a2mn-2 +……+ an= 0，因為emx≠0 …(ii) 也就是說，當m 滿足式(ii) 時，y = emx是式(i) 的解。 • 式(ii) 稱為微分方程(i) 的輔助方程。 工程數學 第7章 第342頁

  18. 7.4 輔助方程 • 把式(ii) 中的m 用D 取代，會得到 Dn + a1Dn-1 + a2Dn-2 +……+ an = 0 …(iii) • 解式(ii) 的m 及解式(iii) 的D 是一樣的。在實際的應用中，我們通常取式(iii) 為輔助方程，只要令式(i) 中作用在y 上的算子為零，就會得到。 工程數學 第7章 第342頁

  19. 7.4 輔助方程 • 定義 • 把作用在y 上的算子設為零，得到的方程式稱為輔助方程(auxiliary equation)，有時用A.E. 表示。 工程數學 第7章 第342頁

  20. 7.5 如何求餘函數 • 考慮方程式 (Dn + a1Dn-1 + a2Dn-2 +……+ an)y = 0 …(i) 其中ai都是常數。 • 它的輔助方程為 Dn + a1Dn-1 + a2Dn-2 +……+ an = 0 …(ii) • 令D = m1, m2, m3,……, mn為A.E.的根。方程式的解取決於這些根的性質。下面對不同的情形一一說明： 工程數學 第7章 第342頁

  21. 7.5 如何求餘函數 • 情形I：如果A.E. 的所有根都是相異的實根，式(ii) 可以表示為 (D－m1) (D－m2)……(D－mn) = 0 …(iii) 解式(iii) 等於解 (D－m1)y = 0, (D－m2)y = 0, ……,(D－mn)y = 0 工程數學 第7章 第342頁

  22. 7.5 如何求餘函數 • 現在考慮(D－m1)y = 0 ，也就是 • 這個微分方程是線性的，所以可以取 ∴解為 或 工程數學 第7章 第343頁

  23. 7.5 如何求餘函數 • 同樣的方法解(D－m2)y = 0 ，會得到 ……………………………………………… (D－mn)y = 0的解是 • 所以式(i) 的一般解是 …(iv) 工程數學 第7章 第343頁

  24. 7.5 如何求餘函數 • 情形II：A.E. 有兩個相同的根，令m1 = m2。 前一種情形中得到的解變成 它只包含(n－1)個未定常數，所以不是式(i) 的一般解。 • 一般解中，對應於重根的是方程式(D－m1)(D－m1)y = 0的一般解。 工程數學 第7章 第343頁

  25. 7.5 如何求餘函數 • 取(D－m1)y = v，方程式變成(D－m1)v = 0；也就 是說 和前面的情形一樣，解為 ∴ 或 工程數學 第7章 第343頁

  26. 7.5 如何求餘函數 • 這是一個線性方程，可以取 ∴解為 　或 工程數學 第7章 第343頁

  27. 7.5 如何求餘函數 • 如此可知，式(i) 的一般解是 • 如果A.E.有三個相同的根m1 = m2 = m3，用同樣的方法會得到解為 工程數學 第7章 第343頁

  28. 7.5 如何求餘函數 • 情形III：A.E. 有二個虛根，令 m1 = α+iβ 及 m2 = α－iβ 解式(iv) 變成 工程數學 第7章 第343頁

  29. 由尤拉定理 取 7.5 如何求餘函數 工程數學 第7章 第344頁

  30. 7.5 如何求餘函數 • 情形IV：A.E. 有兩組相同的虛根，令 m1 = m2 = α+iβ 及 m3 = m4 = α－iβ 由情形II 的方法可以知道，一般解為 工程數學 第7章 第344頁

  31. 7.6 逆算子 • 定義 • x 的函數 表示被f(D)作用後會得到X，而且不含 任何未定常數的這個函數。也就是說 ∴ f(D)及 是作用相反的兩個算子。 工程數學 第7章 第346頁

  32. 7.6 逆算子 • 定理1 是f(D)y = X的特解。 • Proof : 證明：把 代入方程式 f(D)y = X …(1) 會得到 工程數學 第7章 第346頁

  33. 7.6 逆算子 ∴ 是式(1) 的其中一個解。 • 因為這個解不含任何未定常數，所以它是 f(D)y = X的特解。 工程數學 第7章 第346頁

  34. 7.6 逆算子 • 定理2 證明 。 • Proof : 證明：令 兩邊同時作用D，會得到 對x 積分結果為 工程數學 第7章 第346-347頁

  35. 7.6 逆算子 • 因為 不含任何未定常數，所以這個積分 不必加上積分常數。 ∴ 工程數學 第7章 第347頁

  36. 7.6 逆算子 • 定理3 證明 。 • Proof : 證明：令 兩邊同時作用(D－a)，會得到 或 工程數學 第7章 第347頁

  37. 7.6 逆算子 • 這是一個線性方程，可以取 ∴它的解為 • 所以 。 工程數學 第7章 第347頁

  38. 7.7 如何求特解 • 考慮微分方程 這個方程式也可以寫成f(D)y = X ∴ 工程數學 第7章 第347頁

  39. 7.7 如何求特解 • 情形I：X=eax 因為 工程數學 第7章 第347頁

  40. 7.7 如何求特解 ∴ 或 • 兩邊同時作用 ，會得到 或 工程數學 第7章 第347-348頁

  41. 7.7 如何求特解 • 假設f(a) ≠0，兩邊同時除以 ，方程式變成 • 如果f(a) = 0，上面的方法不適用。 在這種情形下D = a，是 的根 ∴ D = a是f(D)的因式。 工程數學 第7章 第348頁

  42. [由定理3] …(ii) 7.7 如何求特解 • 令f(D) = (D－a)  (D)其中 (a) ≠0 …(i) 則 工程數學 第7章 第348頁

  43. 7.7 如何求特解 • 把式(i) 兩邊同時對D 微分，會得到 f(D) = (D－a) (D) +  (D)  f(a) =  (a) ∴由式(ii) 可知，在f(a) ≠0時， • 若f(a) = 0，當f(a) ≠0時， 由此下去。 工程數學 第7章 第348頁

  44. 7.7 如何求特解 • 情形II：X=sin (ax + b)或cos (ax + b) 或 工程數學 第7章 第349頁

  45. 7.7 如何求特解 • 最一般的公式為 ∴ • 兩邊同乘 或 兩邊同除f(－a2) 工程數學 第7章 第349頁

  46. 7.7 如何求特解 • 當f(－a2) ≠0 時 所以 • 同樣地， f(－a2) ≠0 時 如果f(－a2) = 0 ，上面的方法不適用。 工程數學 第7章 第349-350頁

  47. [如果把D 用ia 代入會得到f(D2) = f(－a2) = 0， 所以還是不適用的情形。] 7.7 如何求特解 • 由尤拉定理可知， ∴ 工程數學 第7章 第350頁

  48. 7.7 如何求特解 • 當f(－a2) ≠0時，方程式的實部為 • 當f(－a2) ≠0時，方程式的虛部為 工程數學 第7章 第350頁

  49. 7.7 如何求特解 • 如果f(－a2) = 0 ，則當f(－a2) ≠0時，會得到 等等。 工程數學 第7章 第350頁

  50. 7.7 如何求特解 • 情形III：X=xm，m 為正整數。 這時 • 把f(D)的最低次項提出來，使得第一項變成1 (這樣才能用二項式定理)。 剩下其他因式的形式都會是1 +  (D)或1－ (D) 工程數學 第7章 第351頁

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