wyk ad 9
Download
Skip this Video
Download Presentation
Wykład 9

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 14

Wykład 9 - PowerPoint PPT Presentation


  • 124 Views
  • Uploaded on

Wykład 9. Moce zbiorów . Równoliczność . Dwa zbiory nazywamy równolicznymi wttw istnieje funkcja różnowartościowa odwzorowująca jeden zbiór na drugi. . P ~ N. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 .

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' Wykład 9' - cecily


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
wyk ad 9

Wykład 9

Moce zbiorów

Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK

r wnoliczno
Równoliczność

Dwa zbiory nazywamy równolicznymi wttw istnieje funkcja różnowartościowa odwzorowująca jeden zbiór na drugi.

P ~ N

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 ...

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ...

Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK

przyk ady

Dowod (2)

Dowód (1)

d

c

f(x)= tg x

a

b

-P/2

P/2

f(x) = (d - c)(x - a)/(b - a) + c

Przykłady

(1) Dowolne dwa przedziały w zbiorze liczb rzeczywistych są równoliczne.

(2) (- P/2, P/2) ~ R

Lemat Jeśli A ~ B i B ~ C, to A ~ C.

Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK

zbiory przeliczalne
Zbiory przeliczalne

Każdy zbiór równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych nazywamy przeliczalnym.

f(n) = 2n

Zbiory skończone lub przeliczalne nazywa się co najwyżej przeliczalnymi.

Zbiór liczb parzystych

f(n) = 2n+1

Zbiór liczb nieparzystych

f(x) = 2x+1, gdy x >0

f(x) = - 2x , gdy x <0

Zbiór liczb całkowitych

Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK

w asno ci
Własności

Zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny.

Podzbiór zbioru co najwyżej przeliczalnego jest co najwyżej przeliczalny.

Wniosek: zbiór słów nad alfabetem skończonym jest zbiorem przeliczalnym.

Przecięcie zbiorów co najwyżej przeliczalnych jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym.

Suma zbiorów co najwyżej przeliczalnych jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym.

Produkt zbiorów co najwyżej przeliczalnych jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym.

dalej

Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK

zbi r liczb wymiernych jest przeliczalny
Zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny.

Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK

podzbi r zbioru przeliczalnego jest przeliczalny
Podzbiór zbioru przeliczalnego jest przeliczalny

Niech X będzie zbiorem przeliczalnym, f - bijekcją taką, że f: N X oraz niech A będzie nieskończonym podzbiorem X.

Definiujemy funkcję g : N  A tak, że

g(0) = f(k0), gdzie k0 = min{i : f(i) A}

g(1) = f(k1), gdzie k1 = min{i : f(i) A- {f(k0)}}

g(2) = f(k2) ), gdzie k2 = min{i : f(i) A- {f(k0), f(k1)}}

g jest funkcją różnowartoś-ciową i na A

Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK

suma zbior w przeliczalnych jest przeliczalna
Suma zbiorów przeliczalnych jest przeliczalna

{Ai}iN - rodzina zbiorów co najwyżej przeliczalnych.

Skoro Ai jest co najwyżej przeliczalny, to możemy przedstawić ten zbiór w postaci ciągu nieskończonego {ai1 ,ai2, ai3, ...} ewentualnie powtarzając nieskończenie wiele razy element ostatni, gdy zbiór był skończony.

Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK

zbiory nieprzeliczalne
Zbiory nieprzeliczalne

Zbiory, które nie są co najwyżej przeliczalne nazywają się nieprzeliczalnymi.

Zbiór liczb rzeczywistych z przedziału (0,1) jest nieprzeliczalny.

Zbiór liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalny.

Zbiór wszystkich funkcji f : N  {0,1} jest nieprzeliczalny.

Każdy nadzbiór zbioru nieprzeliczalnego jest nieprzeliczalny.

Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK

przyk ad

0

a0

b0

1

a1

b1

c0 [a0,b0] a0b0 b0 -a0 = 1/3c1 [a1,b1] a1b1 b1 -a1 = 1/9 c2 [a2,b2] a2b2 b2 -a2 = 1/27 itd.

Przykład

(1) Przedział [0,1] jest zbiorem nieprzeliczalnym.

Ad (1) Gdyby zbiór [0,1] był przeliczalny, to jego elementy możnaby było ustawić w ciąg np. (ci) iN .Tworzymy ciąg przedziałów [a0,b0], [a1,b1], [a2,b2], [a3,b3],...

1. Ciągi (ai) iN i (bi) iN są monotoniczne i ograniczone.

2. lim | ai - bi | = 0

Wniosek: istnieje liczba c= lim ai =lim bi .

Ale c ci dla wszystkich iN ! Sprzeczność.

Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK

przyk ad1

Konstruujemy ciąg d = d1d2d3...

0 gdy cii  01 gdy cii = 0

di = {

Przykład

(3) Zbiór 2 N wszystkich funkcji f : N {0,1} jest nieprzeliczalny.

Dowód Zamiast mówić o funkcjach możemy mówić o ciągach zero-jedynkowych.Gdyby zbiór 2 N był przeliczalny, wtedy moglibyśmy ustawić te ciągi w ciąg (ci) iN .

c11 , c12 , c13 , c14 , c15 , ...

c21 , c22 , c23 , c24 , c25 , ...

c31 , c32 , c33 , c34 , c35 , ...

c41 , c42 , c43 , c44 , c45 , ...

...

Oznaczmy kolejne elementy ciągu ci przez ci1 , ci2 ci3 , ...

Ciąg d2N i jest różny od wszystkich ciągów (ci) iN .

Sprzeczność!

Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK

przyk ad2

Konstruujemy liczbę c = 0,c1c2c3c4...

5 gdy dii  57 gdy dii = 5

ci = {

Przykład

(2) Przedział otwarty (0,1) jest zbiorem nieprzeliczalnym.

0, d11 d12 d13 d14 d15 , ...

0, d21 d22 d23 d24 d25 , ...

0, d31 d32 d33 d34 d35 , ...

0, d41 d42 d43 d44 d45 , ...

Ciąg wszystkich liczb z przedziału (0,1).

Dowód Gdyby zbiór liczb rzeczywistych z przedziału (0,1) był przeliczalny, wtedy moglibyśmy ustawić te liczby w ciąg (di) iN .

Oznaczmy kolejne cyfry po przecinku liczby di przez di1 , di2 di3 , ...

Oczywiście c jest różne od wszystkich liczb z ciągu (di) iN .

Sprzeczność!

Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK

liczby kardynalne
Liczby kardynalne

Liczba kardynalna zbioru jest cechą przypisaną zbiorowi w taki sposób, że

(1) liczba kardynalna zbioru pustego to 0,

(2) liczba kardynalna dowolnego zbioru skończonego, to liczba jego elementów,

(3) zbiory równoliczne mają przypisaną tę samą cechę .

card(N) = alef 0.

card( R) = c.

Definicja card(X) = card(Y) wttw X ~Y

card(X)  card(Y) wttw istnieje podzbiór zbioru Y równoliczny z X.

card(X) < card(Y) wttw istnieje podzbiór właściwy zbioru Y równoliczny z X oraz X nie jest równoliczne z Y.

Oznaczenie :

liczba kardynalna X = moc zbioru X = card(X) = |X|

Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK

twierdzenie cantora
Twierdzenie Cantora

Dla każdego zbioru X , card(X) < card(2 X).

Dowód: Jeśli X jest zbiorem pustym, to twierdzenie jest prawdziwe.

Oczywiście card(X)  card(2 X), bo funkcja g(x)= {x} odwzorowuje X na podzbiór zbioru potęgowego P(X), a mianowicie na {{x}: xX}.

Wystarczy pokazać, że żaden podzbiór zbioru X nie jest równoliczny z 2 X . Przypuścmy przeciwnie, że dla pewnego A, istnieje bijekcja f : A  2 X . Mamy dla każdego a  A, f(a)  X. Niech Z= { a  A : a f(a)}. Oczywiście Z  X, czyli dla pewnego a0 f(a0) = Z.Iprzypadek a0 Z II przypadek a0 Z

Ale wtedy a0 Z

Ale wtedy a0 Z

Sprzeczność!

Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK

ad