我认为，下个世纪将是复杂性的世纪 (I think the next century will be the century of complexity)

1. 我认为，下个世纪将是复杂性的世纪 (I think the next century will be the century of complexity) ——斯蒂芬.霍金(StephenHaking)(2000) • Stephen.Smale描述21世纪的18个主要数学问题中,第14个问题是关于Lorenz吸引子。

2. 复杂动力网络Complex Dynamical Networks:Control and Synchronization G. Ron Chen Centre for Chaos Control and Synchronization City University of Hong Kong

3. 现实世界中存在许许多多的复杂网络， 如World Wide Web，Internet，无线 通讯网络，科学文献索引系统，电力 网络，商业网络，生物神经网络，新 陈代谢系统，生物细胞，DNA，CNNs， VLSI电路，社会关系网等，可以说人 们已经生活在一个充满着各种各样的 复杂网络世界中。

4. 复杂网络的研究开始于1960年前后，当时著名的数学家Erdos 和Renyi提 出了现在被称为ER随机图模型的奠 基性的数学理论。此后将近40年里 ER 随机图论一直是研究复杂网络的 基本模型。

5. 近年来，有两项开创性的工作再次掀起了研究复杂网络的热潮。1998年Watts 和Strogatz在《Nature》杂志上发表文章，引入了小世界（Small-world） 网络模型，以描述从完全规则网络到完全随机网络的转变,刻画庞大的网络中大多数节点间有较短的连结（路径）的性质。1999年Barabasi 和Albert 在《Science》上发表章，指出许多现实世界中的复杂网络的连接度分布具有某种幂指数的形式。由于幂律分布没有明显的特征长度，该类网络称为无尺度(Scale-free)网络。

6. 目前人们关于复杂动力网络的拓扑结构、网络动力学等基本问题还并不十分清楚，还有许多问题有待研究。目前人们关于复杂动力网络的拓扑结构、网络动力学等基本问题还并不十分清楚，还有许多问题有待研究。 • 同步是复杂动力网络的一种基本的动力行为，如何定量刻画网络的同步能力,网络拓扑结构如何影响同步行为，什么样的网络拓扑结构最有利于同步,这些问题无论在理论上还是在实际上都具有十分重大的意义。 • 成为当前国内外研究的一个热点和前沿领域。

7. 近几年來,复杂动力网络研究之所以受到了不同学科的广泛关注並取得了比较重大的进展,主要原因在于：近几年來,复杂动力网络研究之所以受到了不同学科的广泛关注並取得了比较重大的进展,主要原因在于： • (1) 隨着大型和快速計算能力的日益提高,世界上已逐漸建立起了一些有关大型复杂网络的拓扑结构的数据库,进而激发起了人们從理论、仿真和实际数据验证三方面研究复杂网络的浓厚兴趣。(2) 学科之間的相互交叉和融合趋势在不断加强,使人們有能力在对各种不同类型网络的数据分析的基础上,揭示复杂动力网络的一些共有的特征和性质。

8. (3)人们认识到传统的分解方法试图把对复杂动力网络的研究分割为对各个孤立单元（独立的动力系統）的研究尽管取得了很大的成功,但却存在明显的局部分析的局限性。以分割法和組合论相结合为特色的复杂性科学的兴起促使人们开始用复杂性理论去研究复杂动力网络的拓扑结构、产生机理、以及动力学行为。(3)人们认识到传统的分解方法试图把对复杂动力网络的研究分割为对各个孤立单元（独立的动力系統）的研究尽管取得了很大的成功,但却存在明显的局部分析的局限性。以分割法和組合论相结合为特色的复杂性科学的兴起促使人们开始用复杂性理论去研究复杂动力网络的拓扑结构、产生机理、以及动力学行为。

9. (4)大量的数据和观察表明,复杂网络与非线性动力学理论分不开。以INTERNET为例,网络拥塞控制系統事实上会因控制不当而产生复杂的分岔和混沌行为,这使得结构上复杂的网络变得行为上也极其复杂,從而对研究工作具有更大的挑战性。(4)大量的数据和观察表明,复杂网络与非线性动力学理论分不开。以INTERNET为例,网络拥塞控制系統事实上会因控制不当而产生复杂的分岔和混沌行为,这使得结构上复杂的网络变得行为上也极其复杂,從而对研究工作具有更大的挑战性。

10. Complex Networks: Some Typical Examples

11. Complex Network Example: Internet(William R. Cheswick)

12. Complex Network Example: WWW(K. C. Claffy)

13. Complex Network Example: HTTP(Bradley Huffaker)

14. Complex Network Example: Telecomm Networks(Stephen G. Eick)

15. 实例:湖北省电子政务“小世界”网络

16. Complex Network Example: Routes of Airlines

17. Complex Network Example: Usenet(Naveen Jamal)

18. Complex Network Example: VLSI Circuits, CNN

19. Complex Network Example:Biological Networks生物系统中的复杂网络：细胞网络，蛋白质-蛋白质作用网络，生态网络，蛋白质折叠网络，神经系统

20. Complex Network Example: Arts

21. 参考消息（2004.5.6) ：温州经验与新网络理论(《日本经济新闻》：温州迅速发展的关键——非常规网络） • 远离家乡的温州人以意大利为中心，形成皮革业、服饰业网络——忠实地遵循“小世界”网络理论 • 温州的网络三点经验： • 节点之间连接既有规则性又有随意性，韧性，地缘、血缘、“远距离交际” • 节点的可变性 • 网络的世界化：人际关系重新组合，非常规形式远距离实现，

22. Complex Networks:Topics for Today • Network Topology • Three Approaches: • Random Graphs • Small-World Networks • Scale-Free Networks • Network Control • Network Synchronization

23. 哥尼斯堡（Konigsberg） 七桥问题(Euler,1736) 从图的某个顶点出发，经过 图的每条线一次最后回到原 来的顶点，其充分必要条件 是，这个图是连通的，并且 每个顶点都有偶数条线与它 连接。-----图论的产生 哥尼斯堡七桥图不满足条件。

24. Network Topology • A network is a set of nodes interconnected via links • Examples: • Internet: Nodes – routers Links – optical fibers • WWW: Nodes – document files Links – hyperlinks • Scientific Citation Network: Nodes – papers Links – citation • Social Networks: Nodes – individuals Links – relations • Nodes and Links can be anything depending on the context

25. Network Topology • Complex networks have been studied via Graph Theory - Erdös and Rényi (1960) – ER Random Graphs • ER Random Graph model dominates for 40 some years • …… till today …… • Availability of huge databases and supper-computing power have led to a rethinking of approach … • Two significant recent discoveries are: • Small-World effect (Watts and Strogatz, 1998) • Scale-Free feature (Barabási and Albert, 1999)

26. ER Random Graph Models Features: • Connectivity: Poisson distribution • Homogeneous nature: each node has roughly the same number of links

27. Small-World Networks貌似很大,实际上是个“小世界” Features: (Similar to ER Random Graphs) • Connectivity distribution: uniform but decaysexponentially • Homogeneous nature: each node has roughly the same number of links (Bradley Huffaker)

28. Scale-Free Networks Features: • Connectivity: in power-law form • Non-homogeneous nature: a few nodes have many links but most nodes have very few links (Hawoong Jeong)

29. 过去人们对于随机网络的中如病毒的传播认为传播阈值为一个正数，当有效传播率超过传播阈值，病毒开始扩散，小于传播阈值，病毒的传播会指数下降。而近期研究表明，对于无尺度网络传播阈值趋于0，这意味着无尺度网络更易于病毒传播蔓延。过去人们对于随机网络的中如病毒的传播认为传播阈值为一个正数，当有效传播率超过传播阈值，病毒开始扩散，小于传播阈值，病毒的传播会指数下降。而近期研究表明，对于无尺度网络传播阈值趋于0，这意味着无尺度网络更易于病毒传播蔓延。

30. Some Basic Concepts • (Average) Distance • Clustering Coefficient • Degree and Degree Distribution (Stephen G. Eick)

31. Average Distance • Distanced(n,m) between two nodes n and m =the number of links along the shortest path connecting them • DiameterD = max{d(n,m)} • Average distanceL= average over all d(n,m) • Most large and complex networks have smallL small-world feature（小世界的特征）

32. Clustering Coefficient你的朋友之间是不是朋友? • Clustering CoefficientC of a network: 0 <C< 1 • C= 1 iff every pair of nodes are connected • C= 0 iff all nodes are isolated • Most large and complex networks have largeC（高聚类） small-world feature（小世界的特征）

33. Degree and Degree Distribution • Degreek(n) of node n = total number of its links • The spread of node degrees over a network is characterized by a distribution function: P(k)= probability that a randomly selected node has exactly k links

34. Degree Distribution • Completely regular lattice: P(k)~ Delta distribution • Most networks:P(k)~k^{-γ} (power law) – scale-free feature(没有特征长度) 幂律是不变量,如斜率是直线的不变量,不随直线 的长度而变化的 • Completely random networks: P(k)~ Poisson distribution • (Regular)delta  k^{-γ}  Poisson(Random)

35. Comparison

36. 规则的最临近耦合网络具有聚类特性,但不是小世界。规则的最临近耦合网络具有聚类特性,但不是小世界。 • 而随机网络虽然具有小的平均路径长度但没有聚类特性。 • 这表明这两类网络模型都不能再现真实网络的一些重要特性。 • Watts and Strogtz的WS小世界模型。 • Newman and Watts的NW小世界模型。

37. Three Typical Examples • World Wide Web • Internet • Scientific Collaboration Network (Stephen G. Eick)

38. 1.WWW

39. 1.World Wide Web • Average distance Albert,Jeong and Rarabasi(1999): 有325729个节点的样本, L= 11.2;预测整个WWW有8亿个节点而 L= 19.0 • Computed Average distanceL = 19.0 • DiameterL= 19  at most 19 clicks to get anywhere Baroder ed al.(2000): 有5千万个节点的样本, L= 16;预测整个WWW结果一致

40. Degree distribution Albert,Jeong and Rarabasi(1999): 有325729个节点的样本,得到 • Outgoingedges: P1(k)~k^{- γ1} γ1 = 2.45 • Incoming edges: P2(k) ~ k^{- γ2} γ2 = 2.1 Baroder ed al.(2000): 有2亿个节点的样本,得到 γ1 = 2.72 γ2 = 2.1

41. 2.Internet (Computed in 1995-1999, at both domain level and router level) • Average distance • L = 4.0 • ER Random Graph model: L = 10 (too large) • So, Internet is a small-world network • Degree distribution • Obey power law: P(k) ~ k^{-γ}, γ= 2.2 ~ 2.48 • So, Internet is a scale-free network • Clustering coefficient • C = 0.3 • ER Random Graph model: C = 0.001 (too small) Small-world network is a better model for the Internet

42. 复杂网络的无尺度特征表明网络的连接度是不均匀的，某些节点有很高的连接度，这些节点对安全有重要的影响。网络的无尺度特征虽然对随机错误有很强的免疫力(鲁棒性)，但同时带来网络的脆弱性。研究表明,如Internet网去掉百分之一高连接度的节点，系统的性能就要减半（脆弱性）。因此，应从复杂网络的特征出发寻找网络安全性能和网络的高性能之间的平衡点。复杂网络的无尺度特征表明网络的连接度是不均匀的，某些节点有很高的连接度，这些节点对安全有重要的影响。网络的无尺度特征虽然对随机错误有很强的免疫力(鲁棒性)，但同时带来网络的脆弱性。研究表明,如Internet网去掉百分之一高连接度的节点，系统的性能就要减半（脆弱性）。因此，应从复杂网络的特征出发寻找网络安全性能和网络的高性能之间的平衡点。

43. 3.Scientific Collaboration Network • Pál Erdös (1913-1996) • Oliver Sacks: "A mathematical genius of the first order, Paul Erdös was totally obsessed with his subject - he thought and wrote mathematics for nineteen hours a day until the day he died. He traveled constantly, living out of a plastic bag, and had no interest in food, sex, companionship, art - all that is usually indispensable to a human life." -- The Man Who Loved Only Numbers (Paul Hoffman, 1998)

44. 3.Scientific Collaboration Network • Erdös Number: • Erdös published > 1,600papers with > 500coauthors in his lifetime • Published 2 papers per month from 20-year old to die of age 83 • Main contributions in modern mathematics: Ramsey theory, graph theory, Diophantine analysis, additive number theory and prime number theory, … • My Erdös Number is3: P. Erdös – C. K. Chui – G. R. Chen– J. A. Lu • Erdös had a (scale-free) small-world network of mathematical research collaboration

45. 3.Scientific Collaboration Networks • Databases of Scientific Articles - showing coauthors: • Los Alamos e-Print Archives: preprints (1992 - ) • Medline: biomedical research articles (1961 - ) • Stanford Public Information Retrieval System (SPIRES): high-energy physics articles (1974 - ) • Network Computer Science Technical Reference Library (NCSTRL): computer science articles (10 years records) • Computed for 10,000 to 2 million nodes (articles) over a few years  They are all small-world and scale-free (with power-law degree distributions) - M.E.J.Newman (2001), A.L.Barabási et al (2001)

46. Small-World Network Example:Language • Words in human language interact like a small-world network • Human brain can memorize about 10^{4} ~10^{5} words (Romaine, 1992) • Average distance between two words d = 2~3 • Degree distribution obeys a scale-free power-law: P(k) = k^{-γ},γ = 3 (Cancho and Sole)

48. W W W

50. ER随机图和WS小世界模型的度分布近视于Poisson分布---有峰值，再指数衰减。（指数网络）ER随机图和WS小世界模型的度分布近视于Poisson分布---有峰值，再指数衰减。（指数网络） • 近几年重大发现：Internet，WWW，新陈代谢网络等的度分布具有幂律形式。（无尺度网络） • 机理： a.网络的增长（Growth）特性； b.优先连接（Preferential Attachment）特性,Rich get richer，例如，新发表的文章更倾向于引用一些已被广泛引用的重要文献，新的个人主页上的超文本连接更有可能指向新浪、雅虎等著名站点。