1 / 45

P A 0 81 P rogramov ání numerických výpočtů

P A 0 81 P rogramov ání numerických výpočtů. Přednáška 3. Sylabus. V rámci PNV budeme řešit konkrétní úlohy a to z následujících oblastí: Nelineární úlohy Řešení nelineárních rovnic Numerická integrace Lineární úlohy Řešení soustav lineárních rovnic

cayla
Download Presentation

P A 0 81 P rogramov ání numerických výpočtů

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. PA081 Programování numerických výpočtů Přednáška 3

  2. Sylabus V rámci PNV budeme řešit konkrétní úlohy a to z následujících oblastí: • Nelineární úlohy • Řešení nelineárních rovnic • Numerická integrace • Lineární úlohy • Řešení soustav lineárních rovnic • Metoda nejmenších čtverců pro lineární úlohy • Sumace obecné a s korekcí • Numerické výpočty v C a C++ • Optimalizace výrazů, optimalizace při překladu

  3. Nelineární úlohyatan x / tanh x = b (1) Výraz tvaru:atan x / tanh x = b Pro b platí: 1 <= b < 

  4. Nelineární úlohyatan x / tanh x = b (2) a) b 1 výraz tvaru:atan x / tanh x = b Musíme si uchovat rozdíl mezi 1 a b => použijeme substituci b = 1 +  ( je malé) Upravujeme: atan x = (1 + ) tanh x atan x – tanh x =  . tanh x atan x . cosh x– sinh x =  . sinh x Teď můžeme použít mocninné řady 2 téměř stejné hodnoty => musíme se jich zbavit

  5. Nelineární úlohyatan x / tanh x = b (3) atan x . cosh x– sinh x =  . sinh x

  6. Nelineární úlohyatan x / tanh x = b (4) t = x2; f(t) je kontrakce (alespoň na [-0,2 , 0,2]) iteruji

  7. Iterační metodypro řešení nelineárních úloh • Hledání pevného bodu: • Metoda prosté iterace • Hledání průsečíku s osou x: • Metoda půlení intervalů • Metoda regula falsi • Modifikovaná metoda regula falsi • Metoda sečen • Newtonova metoda

  8. Nejčastěji se využívají rovnice: xi+1 = f(xi) xi+1 = f(xi ,xi-1) Iterační metodyhledání pevného bodu II Princip iteračních metod: Máme výchozí nelineární rovnici: F(x) = G(x) Vytvoříme z ní rekursivní rovnici tvaru: xi+1 = f(xi ,xi-1, ...,x0) (Musí splňovat podmínky věty o pevném bodě.) Provedeme iterativní výpočet

  9. Iterační metodyhledání pevného bodu III Iterativní výpočet: Zvolíme vhodné počáteční hodnoty x0, x1, ..., xk: i := k; DO xi+1 = f(xi ,xi-1, ...,x0); i++; WHILE (PODMÍNKA UKONČENÍ != TRUE)

  10. Iterační metodyhledání pevného bodu IV Jaké mohou být podmínky ukončení: • |f(xi+1) – f(xi)| < MIN_FX • |xi+1 – xi| < MIN_X • i > MAX_I

  11. Iterační metody hledání pevného bodu - metoda prosté iterace Pracuje s rovnicí: xi+1 = f(xi) Nepopisuje metodu, jak z výchozí rovnice získat rovnici xi+1 = f(xi) Pouze klade podmínky, které musí rovnice xi+1 = f(xi) splňovat: Existuje x*  D(f) tak, že x* je limitou posloupnosti x0, x1, x2, … pro I  .

  12. Iterační metody hledání pevného bodu - metoda prosté iterace II Příklad: Výchozí rovnice: cos x = b Rekursivní rovnice: Zhodnocení: Výhody: Rychlost konvergence (odpovídá typu funkce) Nevýhody: • Neposkytuje žádný univerzální způsob, jak odvodit rekursivní rovnici. • Neposkytuje ani metodu pro určení x0.

  13. Iterační metodyHledání průsečíku s osou x - obecně Výchozí nelineární rovnice: F(x) = G(x) Chceme najít x, pro které platí: F(x) – G(x) = 0 Využijeme metody pro hledání průsečíku s osou x. Hledáme průsečík f(x) s osou x, přičemž: f(x) = F(x) – G(x) Pro hledání průsečíku f(x) s osou x existují standardní metody: půlení intervalů, regula falsi, ...

  14. Iterační metodyHledání průsečíku s osou x – obecně II Ještě než použijeme standardní metody: Musíme D(f) funkcie f(x) rozdělit na intervaly: <ai, bi>, kde i = 1, 2, 3,… Tak, aby platilo: • f(x) má v intervalu <ai, bi> právě 1 průsečík s osou x • f(ai). f(bi) < 0 • f(x) je v intervalu <ai, bi> spojitá

  15. Nejčastěji se využívají funkce tvaru: xi+1 = m(xi) xi+1 = m(xi ,xi-1) Iterační metodyHledání průsečíku s osou x – obecně III Máme výchozí funkci f(x) a interval <a, b> Zvolíme funkci m pro výpočet xi+1: xi+1 = m(xi ,xi-1, ...,x0) Funkce m je popsána v rámci metody pro určování průsečíku s osou x Provedeme iterativní výpočet

  16. Iterační metodyHledání průsečíku s osou x – obecně IV Iterativní výpočet: Zvolíme vhodné počáteční hodnoty x0, x1, ..., xk: i := k; DO xi+1 = m(xi ,xi-1, ...,x0); i++; WHILE (PODMÍNKA UKONČENÍ != TRUE)

  17. Iterační metodyHledání průsečíku s osou x – obecně V Jaké mohou být podmínky ukončení: • |f(xi+1) – f(xi)| < MIN_DF • |f(xi+1)| < MIN_F • |xi+1 – xi| < MIN_X • i > MAX_I

  18. Iterační metodyHledání průsečíku s osou x – Newtonova metoda Princip: Vysvětlím na tabuli.

  19. Iterační metodyHledání průsečíku s osou x – Newtonova metoda II Volba počátečních hodnot: x0 Výpočet xi+1 Vstup: x0 Vlastní výpočet:

  20. Iterační metodyHledání průsečíku s osou x – Newtonova metoda III Příklad: f(x) = x3 – x – 1 x0 = 1 x1 = 2

  21. Iterační metodyHledání průsečíku s osou x – Newtonova metoda IV Zhodnocení: Výhody: • Kvadratická konvergence (v každém kroku se zdvojnásobí počet platných cifer) Nevýhody: • Je nutno počítat derivaci • V některých případech nekonverguje (xi+1 může vyjít mimo interval, kde funkce splňuje dříve uvedené podmínky)

  22. Iterační metodyHledání průsečíku s osou x – metoda sečen Patří mezi semi-Newtonovské metody – pracuje podobně jako Newtonova metoda, ale místo derivace využívá pouze její aproximaci (směrnici přímky xi, xi-1) Princip: Vysvětlím na tabuli. Obrázek + odvození vzorce:

  23. Iterační metodyHledání průsečíku s osou x – metoda sečen II Volba počátečních hodnot: x0 = a, x1 = b Výpočet xi+1 Vstup: x0, x1 Vlastní výpočet:

  24. Iterační metodyHledání průsečíku s osou x – metoda sečen III Příklad: f(x) = x3 – x – 1 x0 = 1 x1 = 2

  25. Iterační metodyHledání průsečíku s osou x – metoda sečen IV Zhodnocení: Výhody: • Takřka kvadratická konvergence • Nepoužívá druhou derivaci Nevýhody: • V některých případech opět nekonverguje (xi+1 může vyjít mimo interval, kde funkce splňuje dříve uvedené podmínky)

  26. Iterační metodyHledání průsečíku s osou x – půlení intervalu Princip: Vysvětlím na tabuli.

  27. Iterační metodyHledání průsečíku s osou x – půlení intervalu II Volba počátečních hodnot: a0 = a, b0 = b Výpočet xi+1 (a také ai+1 a bi+1) Vstup: ai, bi Vlastní výpočet: IF f(xi+1) == 0 konec výpočtu, řešení: xi+1 IF f(xi+1).f(ai) < 0 ai+1 = ai ; bi+1 = xi+1 ELSE ai+1 = xi+1 ; bi+1 = bi

  28. Iterační metodyHledání průsečíku s osou x – půlení intervalu III Největší nutný počet kroků pro získání hodnoty xn s přesností :

  29. Iterační metodyHledání průsečíku s osou x – půlení intervalu IV Příklad: f(x) = x3 – x – 1 x0 = 1 x1 = 2

  30. Iterační metodyHledání průsečíku s osou x – půlení intervaluV Zhodnocení: Výhody: • Konverguje vždy!!! • Dokážeme určit největší nutný počet kroků Nevýhody: • Konverguje pomalu (lineární konvergence)

  31. Iterační metodyHledání průsečíku s osou x – regula falsi Opět semi-Newtonovská metoda Využívá však stejný posun krajních bodů jako metoda půlení intervalů => zůstane v intervalu a0, b0 => konverguje vždy Princip: Vysvětlím na tabuli. Obrázek

  32. Iterační metodyHledání průsečíku s osou x – regula falsi II Volba počátečních hodnot: a0 = a, b0 = b Výpočet xi+1 (a také ai+1 a bi+1) Vstup: ai, bi Vlastní výpočet: IF f(xi+1) == 0 konec výpočtu, řešení: xi+1 IF f(xi+1).f(ai) < 0 ai+1 = ai ; bi+1 = xi+1 ELSE ai+1 = xi+1 ; bi+1 = bi

  33. Iterační metodyHledání průsečíku s osou x – regula falsi III Příklad: f(x) = x3 – x – 1 x0 = 1 x1 = 2

  34. Iterační metodyHledání průsečíku s osou x – regula falsi IV Problém s metodou regula falsi Vysvětlím na tabuli. Princip modifikované metody regula falsi Vysvětlím na tabuli.

  35. Iterační metodyHledání průsečíku s osou x – modifikovaná regula falsi Volba počátečních hodnot: a0 = a, b0 = b Výpočet xi+1 (a také ai+1 a bi+1) Vstup: ai, bi Vlastní výpočet: IF f(xi+1) == 0 konec výpočtu, řešení: xi+1 IF f(xi+1).f(ai) < 0 ai+1 = ai ; fm(ai+1) = f(ai+1)/2 ; bi+1 = xi+1 ; fm(bi+1) = f(bi+1) ELSE ai+1 = xi+1 ; fm(ai+1) = f(ai+1) ; bi+1 = bi ; fm(bi+1) = f(bi+1)/2

  36. Iterační metodyHledání průsečíku s osou x – modifikovaná regula falsiII Příklad: f(x) = x3 – x – 1 x0 = 1 x1 = 2

  37. Iterační metodyPraktický příklad: sin x = x/2+ 0,1 (1) Prostá iterace: Nalezení rekurzivní rovnice: Nějaké návrhy?

  38. Iterační metodyPraktický příklad: sin x = x/2+ 0,1 (2) Prostá iterace: Nalezení rekurzivní rovnice: xi+1 = 2 sin xi – 0,1 nefunguje xi+1 = asin (x/2 + 0,1) funguje: Je potřeba 18 iterací na 6 desetinných míst

  39. Iterační metodyPraktický příklad: sin x = x/2+ 0,1 (3) Prostá iterace: Speciální rekurzivní rovnice:

  40. Iterační metodyPraktický příklad: sin x = x/2+ 0,1 (4) Prostá iterace: Speciální rekurzivní rovnice: x0 = 0 Je potřeba 4 iterace na 6 desetinných míst

  41. Iterační metodyPraktický příklad: sin x = x/2+ 0,1 (5) Newtonova metoda: Úprava rovnice: f(x) = x/2 + 0,1 – sin x = 0 Najít v grafu vhodné x0 x0 = 0 f’(x) = ½ - cos x

  42. Iterační metodyPraktický příklad: sin x = x/2+ 0,1 (6) Newtonova metoda: Jsou potřeba 3 iterace na 6 desetinných míst

  43. Iterační metodyPraktický příklad: sin x = x/2+ 0,1 (7) Metoda regulafalsi metoda: Úprava rovnice: f(x) = x/2 + 0,1 – sin x = 0 Najít v grafu vhodné a0 a b0 a0 = 0, b0 = 1

  44. Iterační metodyPraktický příklad: sin x = x/2+ 0,1 (8) Metoda regula falsi: Je potřeba 6 iterací na 6 desetinných míst

  45. Iterační metodyPraktický příklad: sin x = x/2+ 0,1 (9) Prostá iterace: xi+1 = asin (x/2 + 0,1) 18 iterací Prostá iterace: 4 iterace Newtonova metoda: 3 iterace Metoda regula falsi: 6 iterací

More Related