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中考数学专题探究

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中考数学专题探究. 第九讲 操作性问题 主 讲 潘 诚 单 位 苏州立达学校. 九、操作性问题. 数学学习的一个重要途径是在观察和动手操作基础上运 用恰当的猜想与推理探求问题实质,并从中发现和认知规律。 近年来操作性问题在全国各地的中考中频繁出现也在于此。 其问题的特征:根据问题的条件从简单(或特殊)到一 般的情形进行操作实验,通过画、割、拼及量等实验活动, 运用平移、旋转和翻折等数学变换,寻求合理的解决方案, 以达到解决具体的问题。

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中考数学专题探究

第九讲 操作性问题

主 讲 潘 诚

单 位 苏州立达学校

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九、操作性问题
  • 数学学习的一个重要途径是在观察和动手操作基础上运
  • 用恰当的猜想与推理探求问题实质,并从中发现和认知规律。
  • 近年来操作性问题在全国各地的中考中频繁出现也在于此。
  • 其问题的特征:根据问题的条件从简单(或特殊)到一
  • 般的情形进行操作实验,通过画、割、拼及量等实验活动,
  • 运用平移、旋转和翻折等数学变换,寻求合理的解决方案,
  • 以达到解决具体的问题。
  • 操作性问题既考查学生观察、动手实践能力,同时也检测了学生的分析、归纳和猜想能力,它符合新课程标准的要求,是中考命题的一个方向。
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典型例题导析
  • 例1 ⑴ (广东梅州)如图,将一副直角三角板叠在一起,使直角顶点重合于O点,则 ∠AOB+∠DOC=度。
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解:∵∠AOB=∠AOD+∠COD+∠BOC
  • ∴∠AOB+∠COD=(∠AOD+∠COD)+(∠BOC+∠COD)
  • =90°+90°
  • =180°
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⑵(湖南湘潭)如图,将一副三角板摆放成如图所示,⑵(湖南湘潭)如图,将一副三角板摆放成如图所示,
  • 图中 ∠1=度。
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⑶(河南)如图,一块含有30°角的直角三角形ABC,在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到 的位置。若BC的长为15cm,那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为
  • ( )
  • A. 10 cm B. 10 cm C. 15 cm D.20 cm
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解:∵∠A=30°,BC=15
  • ∴∠ACB=60°
  • , AC=30
  • ∴ 选(D)
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解:过点A作DB延长线的垂线AE,垂足为E.
  • 在等腰Rt△BDC中,∠1=45°,设BD=DC=k,则BC= k
  • 在Rt△ABC中,∠4=30°,
  • 则AB=BC·tan30°= k·
  • 在Rt△AEB中,∠2=180°-(∠1+∠3)=180°-(90°+45°)=45°
  • 则EB=EA=AB·sin45°=
  • 在Rt△DEA,DE=BD+EB=
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⑸(上海)将两块三角板如图放置,
  • 其中∠C= ∠ EDB=90° ,∠A=45°,∠E=30°,AB=DE=6,求重叠部分四边形DBCF的面积。
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解:∵∠A=45°,AB=6,
  • ∴AC=BC=ABsin45°=6·
  • S△ABC= ·AC·BC=9.
  • 在Rt△EDB中,∵∠E=30°,DE=6,
  • ∴DB=DE·tan30°=6· =2
  • ∴AD=AB-DB=6-
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∵∠EDB=90°,∠A=45°
  • ∴△ADF是等腰直角三角形.
  • ∴AD=DF=6-2 ,
  • ∴S△ADF= ·AD·DF
  • = ·(6- )·(6- )
  • =24-12
  • ∴S四边形DBCF=S△ABC-S△ADF=9-(24-12 )
  • =12
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例2. (济宁课改)直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形.方法如下:
  • 请你用上面图示的方法,解答下列问题:
  • (1)对任意三角形,设计一种方案,将它分成若干块,再拼成一个与原三角形面积相等的矩形.
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(2)对任意四边形,设计一种方案,将它分成若干块,再拼成一个与原四边形面积相等的矩形.(2)对任意四边形,设计一种方案,将它分成若干块,再拼成一个与原四边形面积相等的矩形.
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解答:
  • (1)如图所示:
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解:(1)可以从 关于AE对称来作,也可以从
  • △ABE≌△ 来作;
  • (2)B, 关于AE对称,∴B AE,设垂足为F,
  •    ∵AB=4, BC=6,E是BC的中点,   ∴BE=3,AE=5,BF= .∴B = .
  • ∵B =BE=CE,∴ ∠B C=90°.
  • ∴, C两点之间的距离为 cm
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例4.(河北省)如图-1,△ABC的边BC在直线l上,ACBC,且AC=BC;△EFP的边FP也在例4.(河北省)如图-1,△ABC的边BC在直线l上,ACBC,且AC=BC;△EFP的边FP也在
  • 直线l上,边EF与边AC重合,且EF=FP.
  • (1)在图-1中,请你通过观察、
  • 测量,猜想并写出AB与AP所满足的
  • 数量关系和位置关系;
  • (2)将△EFP沿直线l向左平移到图-2
  • 的位置时,EP交AC于点Q,连结AP,
  • BQ.猜想并写出BQ与AP所满足的数量
  • 关系和位置关系,请证明你的猜想;
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(3)将 △EFP沿直线l向左平移到图-3的位置时,EP的延长
  • 线交AC的延长线于点Q,连结AP,BQ.你认为(2)中所猜
  • 想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗?
  • 若成立,给出证明;若不成立,请说明理由.
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解:(1)AB=AP;ABAP.
  • (2)BQ=AP;BQAP.
  • 证明:①由已知,得EF=FP,EFFP,∴∠EPF=45°.
  • 又∵ACBC,∴∠CQP=∠CPQ=45°.∴CQ=CP.
  • 在Rt△BCQ和Rt△ACP中,
  • BC=AC,∠BCQ=∠ACP=90°,CQ=CP,
  • ∴Rt△BCQ≌Rt△ACP,∴BQ=AP.
  • ②如图1,延长BQ交AP于点M.
  • ∵Rt△BCQ≌Rt△ACP,∴∠1=∠2.
  • 在Rt△BCQ中,∠1+∠3=90°,又∠3=∠4,
  • ∴∠2+∠4=∠1+∠3=90°.
  • ∴∠QMA=90°.∴BQAP.
  • (3)成立.
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(3)成立.
  • 证明:①如图2,∵∠EPF=45°,∴∠CPQ=45°.
  • 又 ∵ACBC,∴∠CQP=∠CPQ=45°.∴CQ=CP.
  • 在Rt△BCQ和Rt△ACP中,
  • BC=AC,∠BCQ=∠ACP=90°,CQ=CP,
  • ∴Rt△BCQ≌Rt△ACP.
  • ∴BQ=AP.
  • ②如图2,延长QB交AP于点N,
  • 则∠PBN=∠CBQ.
  • ∵Rt△BCQ≌Rt△ACP,∴∠BQC=∠APC.
  • 在Rt△BCQ中,∠BQC+∠CBQ=90°,
  • ∴∠APC+∠PBN=90°.∴∠PNB=90° ∴QBAP
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例5.(上海)操作:将一把三角尺放在边长为1的正方形例5.(上海)操作:将一把三角尺放在边长为1的正方形
  • ABCD上,并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动,直角的
  • 一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于点Q.
  • 探究:设A、P两点间的距离为x
  • ⑴当点Q在边CD上时,线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系?试证明你观察得到的结论;
  • ⑵当点Q在边CD上时,设四边形PBCQ的面积为y,求y与x之间的关系式,并写出x的取值范围;
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⑶当点P在线段AC上滑动时,△PCQ是否可能成为等腰三角形?如果可能,指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置,并求出相应的x的值;如果不可能,试说明理由(图1、图2、图3的形状大小相同,图1供操作、实验用,图2、图3备用)⑶当点P在线段AC上滑动时,△PCQ是否可能成为等腰三角形?如果可能,指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置,并求出相应的x的值;如果不可能,试说明理由(图1、图2、图3的形状大小相同,图1供操作、实验用,图2、图3备用)
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解析:
  • ⑴PQ=PB,作PTBC于T,PNCD于N,
  • 可证得 △PBT≌△PQN;
  • ⑵由⑴△PBT≌△PQN,∴S△PBT=S△PQN
  • ∴S四边形PBCQ=S四边形PTCN
  • ∵PA=x, AC=∴PC=-x, PT=PN=
  • ∴y=
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①当点P与点A重合时,点Q与点D重合,这时PQ=QC,
  • 此时x=0。
  • ②当点Q在DC的延长线上,且CP=CQ时,
  • 这时x=1,
  • 过点P作PMAB于M,MP的延长线交CD于N,
  • 可得 △PMB≌△QNP,∵PA=x,∴QN=PM=
  • ∴PN=CN=1- x ,而CP=
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∵CQ=QN-CN=x-(1- x)=
  • 由PC=CQ,∴ 得x=1。
  • ∴当x=1时,△PCQ是等腰三角形
  • 综上所述:当x=0或x=1时,△PCQ是等腰三角形。