I Triangoli

1. 1E I Triangoli A.S. 12/13

2. Definizione A Un triangolo e' la parte di piano comune a tre angoli aventi due a due un lato in comune B C Il triangolo, come si evince dal nome, è un poligono formato da tre vertici, tre angoli, e tre lati. Esso rappresenta la figura più semplice in assoluto, in quanto 3 è il numero minimo di segmenti necessari per delimitare una superficie chiusa; oltre a questo il triangolo è anche importante per molte sue altre proprietà e caratteristiche geometriche, su cui si fondano le basi della geometria. Inoltre è una figura indeformabileed è l'unico poligono a cui è sempre circoscrivibilee in cui è sempre inscrivibileuna circonferenza.

3. Definizione Si definisce angolo interno l’angolo formato da due lati consecutivi Si definisce angolo esterno ognuno dei due angoli adiacenti a un suo angolo interno rispetto ai prolungamenti dei lati dell'angolo, ogni angolo interno ha quindi due angoli esterni che poiché opposti al vertice risultano congruenti. In un triangolo chiameremo angolo opposto ad un lato l'angolo che sta di fronte al lato. Esempio : di fronte al lato AB sta l'angolo BCA

4. Proprietà Fra le caratteristiche salienti può essere menzionato il fatto che la somma dei suoi angoli interni è pari a 180° (un angolo piatto). SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI

5. Proprietà In ogni triangolo un angolo esterno è maggiore di ogni angolo interno non adiacente Ciascun angolo esterno è uguale alla somma dei due angoli interni non adiacenti In ogni triangolo a lato maggiore sta opposto l'angolo maggiore

6. Proprietà In ogni triangolo La somma delle lunghezze di due lati è sempre maggiore del terzo lato a + b > c a + c > b b c b + c > a a

7. Proprietà In ogni triangolo La differenza delle lunghezze di due lati è sempre minore del terzo lato a - b < c a - c < b b c b - c < a a

8. Proprietà In ogni triangolo La somma delle lunghezze di due lati è sempre maggiore del terzo lato 5 u 3 u 7 u 5 + 3 > 7 5 + 7 > 3 7 + 3 > 5 Vero Vero Vero 5 u 7 u 3 u

9. Proprietà ALTRIMENTI 2 u 3 u 7 u 2 + 3 > 7 2 + 7 > 3 7 + 3 > 2 Vero Vero Falso 2 u 7 u 3 u

10. I TRIANGOLI Mappa Concettuale TRIANGOLI Rispetto ai lati si dividono in Rispetto agli angoli si dividono in Hanno ognuno SCALENO ISOSCELE RETTANGOLO OTTUSANGOLO ACUTANGOLO EQUILATERO 3 angoli acuti Un punto comune INCENTRO Un punto comune ORTOCENTRO Un punto comune BARICENTRO 1 angolo retto Un punto comune CIRCOCENTRO 1 angolo ottuso 3 lati non congruenti 2 lati congruenti 3 lati congruenti 3 bisettrici 3 mediane 3 assi 3 altezze

11. Classificazione In base ai LATI ottusangolo ottusangolo acutangolo rettangolo acutangolo rettangolo SCALENI 3 LATI NON CONGRUENTI EQUILATERI 3 LATI CONGRUENTI ISOSCELI 2 LATI CONGRUENTI acutangolo

12. TRIANGOLO EQUILATERO EQUILATERO a 3 lati congruenti 3 angoli congruenti l l l a a

13. TRIANGOLO ISOSCELE ISOSCELE 2 lati congruenti 2 angoli congruenti b l l a b a

14. TRIANGOLO SCALENO SCALENO 3 lati non congruenti 3 angoli non congruenti a c b b a g

15. Classificazione In base agli ANGOLI scaleno OTTUSANGOLI 1 ANGOLO OTTUSO La somma degli altri due è minore di 90° isoscele equilatero isoscele scaleno isoscele ACUTANGOLI scaleno RETTANGOLI 3 ANGOLI ACUTI La somma dei tre angoli è 180° 1 ANGOLO RETTO La somma degli altri due è di 90°

16. IL TRIANGOLO RETTANGOLO Nel TRIANGOLO RETTANGOLO i lati hanno un proprio nome: CATETIe IPOTENUSA IPOTENUSA i CATETO MINORE IPOTENUSA è il lato opposto all’angolo retto. C ANGOLO RETTO 2 C 1 CATETI sono i lati del triangolo che formano l’angolo retto CATETO MAGGIORE

17. CRITERI DI CONGRUENZA In geometria, i criteri di congruenza dei triangoli sono un postulato e due teoremi tramite i quali è possibile dimostrare la congruenza fra triangoli, nel caso alcuni loro angoli o lati siano congruenti. I criteri di congruenza sono tre. In matematica per teorema si intende un enunciato che viene dimostrato nell'ambito In matematica si chiamano  postulati o assiomi tutti e soli gli enunciati che, pur non essendo stati dimostrati, sono considerati veri

18. CRITERI DI CONGRUENZA Vedi il VIDEO http://www.youtube.com/watch?v=sHd2Ul8Bcl0&feature=player_embedded 1° Criterio Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti due lati e l'angolo compreso Dimostrazione Ipotesi Trasporto l'angolo B sopra l'angolo B' (posso farlo perche' sono congruenti per ipotesi e potrei farlo in due modi diversi: o facendo scivolare l'angolo o ribaltandolo; devo dire che lo porto sopra senza ribaltarlo) in modo che il lato AB vada sopra il lato A'B' ed il lato BC vada sopra B'C'; in questo modo i due triangoli hanno A su A', B su B' e C su C' quindi sono sovrapposti e coincidono punto per punto C.V.D. (Come Volevamo Dimostrare) Tesi

19. CRITERI DI CONGRUENZA Vedi il VIDEO http://www.youtube.com/watch?v=scKlfy4NUMI&feature=related 2° Criterio Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti due angoli e il lato compreso Dimostrazione Ipotesi Trasporto il lato BC sopra il lato B'C' (posso farlo perche' sono congruenti per ipotesi e potrei farlo in due modi diversi: o traslando il lato o ruotandolo; devo dire che lo porto sopra senza ruotarlo) in modo che l'angolo ABC vada sopra l'angolo A'B'C' e l'angolo BCA vada sopra B'C'A'; in questo modo i due triangoli hanno AB su A'B', BC su B'C' e CA su C'A' quindi sono sovrapposti e coincidono punto per punto come volevamo dimostrare Tesi

20. CRITERI DI CONGRUENZA Vedi il VIDEO http://www.youtube.com/watch?v=vGOsIAPTKTE&feature=player_embedded#! 3° Criterio Due triangoli sono congruenti se hanno tutti e tre i lati congruenti Dimostrazione Ipotesi Trasporto il triangolo ABC da banda opposta rispetto al triangolo A'B'C' in modo che il lato BC vada sopra il lato B'C'; allora il punto A va in A''. Considero il triangolo A'B'A'': esso ha due lati uguali (A'B'=A''B') quindi ha anche due angoli uguali cioe' B'A'H=B'A''H (quelli indicati in azzurro)Considero ora il triangolo A'C'A'': esso ha due lati uguali (A'C'=A''C') quindi ha anche due angoli uguali cioe' C'A'H=C'A''H(quelli indicati in viola)Considero ora i triangoli A'B'C' ed A''B'C' essi hanno:A'B' = A''B' per ipotesi (ho fatto fare un movimento rigido a due lati uguali per ipotesi)A'C' = A''C' sempre per ipotesi (come sopra)Gli angoli B'A'C'=B'A''C' sono uguali perche' somme di angoli uguali (quelli colorati)Quindi i due triangoli sono uguali per il primo criterio come volevamo dimostrare. Tesi

21. Altezze L'altezza del triangolo, relativa ad un lato, è il segmento perpendicolare al lato uscente dal vertice opposto. Ogni triangolo ha tre altezze, ognuna relativa ad ogni lato, il punto di incontro di esse si chiama ORTOCENTRO Altezze nel triangolo ottusangolo Altezze nel triangolo acutangolo L'altezza del triangolo è la distanza, misurata da uno dei vertici al lato opposto (o del suo prolungamento). Altezze nel triangolo rettangolo

22. Mediane La mediana è un segmento che congiunge un vertice al punto medio del lato opposto, dividendo il triangolo in due parti di area uguale. Mediane nel triangolo rettangolo Le tre mediane di un triangolo si intersecano nel suo BARICENTROo centro di massa. Ogni mediana giace per due terzi della propria lunghezza fra il vertice e il baricentro, mentre l'altro terzo si trova fra il baricentro e il punto medio del lato opposto. Mediane nel triangolo acutangolo Mediane nel triangolo ottusangolo

23. Bisettrici Nel triangolo, per bisettrice, relativa ad un angolo, si intende il tratto di semiretta che lo divide in due angoli congruenti e congiunge il vertice col lato opposto. Bisettrici nel triangolo ottusangolo Bisettrici nel triangolo acutangolo In qualsiasi triangolo, le bisettrici interne si congiungono tutte e tre in un unico punto, INCENTRO, interno al poligono e equidistante dai lati del triangolo. Bisettrici nel triangolo rettangolo

24. COSTRUZIONE DI BISETTRICI

25. Assi Bisettrici nel triangolo rettangolo Gli assi di un triangolo sono rette ortogonali ai lati passanti per il punto medio . Bisettrici nel triangolo rettangolo Assi nel triangolo acutangolo Il punto di incontro delle assi si chiama CIRCOCENTROed è il centro della circonferenza circoscritta

26. ASSE DI UN SEGMENTO costruzione

27. Somma delle lunghezze dei lati Perimetro del Triangolo l l P = 2 x l + b isoscele b l l P = 3 x l equilatero l l2 l1 scaleno P = l1 + l2 + b b

28. Curiosità Come si spiega? ?

29. Curiosità Si spiega cosi l primo triangolo è effettivamente un triangolo rettangolo di base 13, altezza 5.Il secondo non è invece un triangolo rettangolo, come si può notare nel punto cerchiato.

30. Curiosità C’è o non c’è?

31. Curiosità ???????? ALTRO http://www.youtube.com/watch?v=4jc5oWWMr8k&feature=player_embedded

32. I Triangoli intorno a noi