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I Triangoli PowerPoint PPT Presentation


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1E. I Triangoli. A.S. 12/13. Definizione. A. Un triangolo e' la parte di piano comune a tre angoli aventi due a due un lato in comune. B. C. Il triangolo , come si evince dal nome, è un poligono formato da tre vertici , tre angoli , e tre lati .

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I Triangoli

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Presentation Transcript


I triangoli

1E

I Triangoli

A.S. 12/13


I triangoli

Definizione

A

Un triangolo e' la parte di piano comune a tre angoli aventi due a due un lato in comune

B

C

Il triangolo, come si evince dal nome, è un poligono formato da tre vertici, tre angoli, e tre lati.

Esso rappresenta la figura più semplice in assoluto, in quanto 3 è il numero minimo di segmenti necessari per delimitare una superficie chiusa; oltre a questo il triangolo è anche importante per molte sue altre proprietà e caratteristiche geometriche, su cui si fondano le basi della geometria.

Inoltre è una figura indeformabileed è l'unico poligono a cui è sempre circoscrivibilee in cui è sempre inscrivibileuna circonferenza.


I triangoli

Definizione

Si definisce angolo interno l’angolo formato da due lati consecutivi

Si definisce angolo esterno ognuno dei due angoli adiacenti a un suo angolo interno rispetto ai prolungamenti dei lati dell'angolo, ogni angolo interno ha quindi due angoli esterni che poiché opposti al vertice risultano congruenti.

In un triangolo chiameremo angolo opposto ad un lato l'angolo che sta di fronte al lato.

Esempio :

di fronte al lato AB sta l'angolo BCA


I triangoli

Proprietà

Fra le caratteristiche salienti può essere menzionato il fatto che la somma dei suoi angoli interni è pari a 180° (un angolo piatto).

SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI


I triangoli

Proprietà

In ogni triangolo un angolo esterno è maggiore di ogni angolo interno non adiacente

Ciascun angolo esterno è uguale alla somma dei due angoli interni non adiacenti

In ogni triangolo a lato maggiore sta opposto l'angolo maggiore


I triangoli

Proprietà

In ogni triangolo

La somma delle lunghezze di due lati è sempre maggiore del terzo lato

a + b > c

a + c > b

b

c

b + c > a

a


I triangoli

Proprietà

In ogni triangolo

La differenza delle lunghezze di due lati è sempre minore del terzo lato

a - b < c

a - c < b

b

c

b - c < a

a


I triangoli

Proprietà

In ogni triangolo

La somma delle lunghezze di due lati è sempre maggiore del terzo lato

5 u

3 u

7 u

5 + 3 > 7

5 + 7 > 3

7 + 3 > 5

Vero

Vero

Vero

5 u

7 u

3 u


I triangoli

Proprietà

ALTRIMENTI

2 u

3 u

7 u

2 + 3 > 7

2 + 7 > 3

7 + 3 > 2

Vero

Vero

Falso

2 u

7 u

3 u


I triangoli

I TRIANGOLI

Mappa Concettuale

TRIANGOLI

Rispetto ai lati si dividono in

Rispetto agli angoli si dividono in

Hanno ognuno

SCALENO

ISOSCELE

RETTANGOLO

OTTUSANGOLO

ACUTANGOLO

EQUILATERO

3 angoli acuti

Un punto comune INCENTRO

Un punto comune ORTOCENTRO

Un punto comune BARICENTRO

1 angolo retto

Un punto comune CIRCOCENTRO

1 angolo ottuso

3 lati non congruenti

2 lati congruenti

3 lati congruenti

3 bisettrici

3 mediane

3 assi

3 altezze


I triangoli

Classificazione

In base ai LATI

ottusangolo

ottusangolo

acutangolo

rettangolo

acutangolo

rettangolo

SCALENI

3 LATI NON CONGRUENTI

EQUILATERI

3 LATI CONGRUENTI

ISOSCELI

2 LATI CONGRUENTI

acutangolo


I triangoli

TRIANGOLO EQUILATERO

EQUILATERO

a

3 lati congruenti

3 angoli congruenti

l

l

l

a

a


I triangoli

TRIANGOLO ISOSCELE

ISOSCELE

2 lati congruenti

2 angoli congruenti

b

l

l

a

b

a


I triangoli

TRIANGOLO SCALENO

SCALENO

3 lati non congruenti

3 angoli non congruenti

a

c

b

b

a

g


I triangoli

Classificazione

In base agli ANGOLI

scaleno

OTTUSANGOLI

1 ANGOLO OTTUSO

La somma degli altri due è minore di 90°

isoscele

equilatero

isoscele

scaleno

isoscele

ACUTANGOLI

scaleno

RETTANGOLI

3 ANGOLI ACUTI

La somma dei tre angoli è 180°

1 ANGOLO RETTO

La somma degli altri due è di 90°


I triangoli

IL TRIANGOLO RETTANGOLO

Nel TRIANGOLO RETTANGOLO i lati hanno un proprio nome:

CATETIe IPOTENUSA

IPOTENUSA

i

CATETO

MINORE

IPOTENUSA

è il lato opposto all’angolo retto.

C

ANGOLO RETTO

2

C

1

CATETI

sono i lati del triangolo che formano l’angolo retto

CATETO

MAGGIORE


I triangoli

CRITERI DI CONGRUENZA

In geometria, i criteri di congruenza dei triangoli sono un postulato e due teoremi tramite i quali è possibile dimostrare la congruenza fra triangoli, nel caso alcuni loro angoli o lati siano congruenti. I criteri di congruenza sono tre.

In matematica per teorema si intende un enunciato che viene dimostrato nell'ambito

In matematica si chiamano  postulati o assiomi tutti e soli gli enunciati che, pur non essendo stati dimostrati, sono considerati veri


I triangoli

CRITERI DI CONGRUENZA

Vedi il VIDEO

http://www.youtube.com/watch?v=sHd2Ul8Bcl0&feature=player_embedded

1° Criterio

Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti due lati e l'angolo compreso

Dimostrazione

Ipotesi

Trasporto l'angolo B sopra l'angolo B' (posso farlo perche' sono congruenti per ipotesi e potrei farlo in due modi diversi: o facendo scivolare l'angolo o ribaltandolo; devo dire che lo porto sopra senza ribaltarlo) in modo che il lato AB vada sopra il lato A'B' ed il lato BC vada sopra B'C'; in questo modo i due triangoli hanno A su A', B su B' e C su C' quindi sono sovrapposti e coincidono punto per punto C.V.D. (Come Volevamo Dimostrare)

Tesi


I triangoli

CRITERI DI CONGRUENZA

Vedi il VIDEO

http://www.youtube.com/watch?v=scKlfy4NUMI&feature=related

2° Criterio

Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti due angoli e il lato compreso

Dimostrazione

Ipotesi

Trasporto il lato BC sopra il lato B'C' (posso farlo perche' sono congruenti per ipotesi e potrei farlo in due modi diversi: o traslando il lato o ruotandolo; devo dire che lo porto sopra senza ruotarlo) in modo che l'angolo ABC vada sopra l'angolo A'B'C' e l'angolo BCA vada sopra B'C'A'; in questo modo i due triangoli hanno AB su A'B', BC su B'C' e CA su C'A' quindi sono sovrapposti e coincidono punto per punto come volevamo dimostrare

Tesi


I triangoli

CRITERI DI CONGRUENZA

Vedi il VIDEO

http://www.youtube.com/watch?v=vGOsIAPTKTE&feature=player_embedded#!

3° Criterio

Due triangoli sono congruenti se hanno tutti e tre i lati congruenti

Dimostrazione

Ipotesi

Trasporto il triangolo ABC da banda opposta rispetto al triangolo A'B'C' in modo che il lato BC vada sopra il lato B'C'; allora il punto A va in A''. Considero il triangolo A'B'A'': esso ha due lati uguali (A'B'=A''B') quindi ha anche due angoli uguali cioe' B'A'H=B'A''H (quelli indicati in azzurro)Considero ora il triangolo A'C'A'': esso ha due lati uguali (A'C'=A''C') quindi ha anche due angoli uguali cioe' C'A'H=C'A''H(quelli indicati in viola)Considero ora i triangoli A'B'C' ed A''B'C' essi hanno:A'B' = A''B' per ipotesi (ho fatto fare un movimento rigido a due lati uguali per ipotesi)A'C' = A''C' sempre per ipotesi (come sopra)Gli angoli B'A'C'=B'A''C' sono uguali perche' somme di angoli uguali (quelli colorati)Quindi i due triangoli sono uguali per il primo criterio come volevamo dimostrare.

Tesi


I triangoli

Altezze

L'altezza del triangolo, relativa ad un lato, è il segmento perpendicolare al lato uscente dal vertice opposto.

Ogni triangolo ha tre altezze, ognuna relativa ad ogni lato, il punto di incontro di esse si chiama ORTOCENTRO

Altezze nel triangolo ottusangolo

Altezze nel triangolo acutangolo

L'altezza del triangolo è la distanza, misurata da uno dei vertici al lato opposto (o del suo prolungamento).

Altezze nel triangolo rettangolo


I triangoli

Mediane

La mediana è un segmento che congiunge un vertice al punto medio del lato opposto, dividendo il triangolo in due parti di area uguale.

Mediane nel triangolo rettangolo

Le tre mediane di un triangolo si intersecano nel suo BARICENTROo centro di massa.

Ogni mediana giace per due terzi della propria lunghezza fra il vertice e il baricentro, mentre l'altro terzo si trova fra il baricentro e il punto medio del lato opposto.

Mediane nel triangolo acutangolo

Mediane nel triangolo ottusangolo


I triangoli

Bisettrici

Nel triangolo, per bisettrice, relativa ad un angolo, si intende il tratto di semiretta che lo divide in due angoli congruenti e congiunge il vertice col lato opposto.

Bisettrici nel triangolo ottusangolo

Bisettrici nel triangolo acutangolo

In qualsiasi triangolo, le bisettrici interne si congiungono tutte e tre in un unico punto, INCENTRO, interno al poligono e equidistante dai lati del triangolo.

Bisettrici nel triangolo rettangolo


I triangoli

COSTRUZIONE DI BISETTRICI


I triangoli

Assi

Bisettrici nel triangolo rettangolo

Gli assi di un triangolo sono rette ortogonali ai lati passanti per il punto medio .

Bisettrici nel triangolo rettangolo

Assi nel triangolo acutangolo

Il punto di incontro delle assi si chiama CIRCOCENTROed è il centro della circonferenza circoscritta


I triangoli

ASSE DI UN SEGMENTO

costruzione


I triangoli

Somma delle lunghezze dei lati

Perimetro del Triangolo

l

l

P = 2 x l + b

isoscele

b

l

l

P = 3 x l

equilatero

l

l2

l1

scaleno

P =

l1 +

l2

+

b

b


I triangoli

Curiosità

Come si spiega?

?


I triangoli

Curiosità

Si spiega cosi

l primo triangolo è effettivamente un triangolo rettangolo di base 13, altezza 5.Il secondo non è invece un triangolo rettangolo, come si può notare nel punto cerchiato.


I triangoli

Curiosità

C’è o non c’è?


I triangoli

Curiosità

????????

ALTRO

http://www.youtube.com/watch?v=4jc5oWWMr8k&feature=player_embedded


I triangoli

I Triangoli intorno a noi


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