De pit gores a fermat un viatge a trav s de l aritm tica
Download
1 / 41

De Pitàgores a Fermat: Un viatge a través de l'Aritmètica - PowerPoint PPT Presentation


  • 104 Views
  • Uploaded on

De Pitàgores a Fermat: Un viatge a través de l'Aritmètica. Xavier Xarles. Pitàgores (569 aC -475 aC). El teorema de Pitàgores. A 2 + B 2 = C 2. 5 2 + 12 2 = 13 2. 3 2 + 4 2 = 5 2. 6 2 + 8 2 = 10 2. Per què sempre posen els mateixos exemples?

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' De Pitàgores a Fermat: Un viatge a través de l'Aritmètica' - casper


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
De pit gores a fermat un viatge a trav s de l aritm tica

De Pitàgores a Fermat:Un viatge a través de l'Aritmètica

Xavier Xarles



El teorema de pit gores
El teorema de Pitàgores

A2 + B2 = C2

52 + 122 = 132

32 + 42 = 52

62 + 82 = 102


Per què sempre posen els mateixos exemples?

Doncs perquè són els exemples de triangles

rectangles amb nombres més petits en què

els tres costats són nombres naturals.

Pels matemàtics grecs els únics nombres eren els nombres naturals i, més en general, els nombres racionals positius.


Diofant 200 dc
Diofant ( ~200 dC )

Aritmètica

Primer llibre dedicat exclusivament

a l’aritmètica.


El problema
El problema

Trobar tots el triangles rectangles

amb els tres costats enters

Trobar les solucions de X2 + Y2 = Z2 amb X, Y i Z enters

Ternes Pitagòriques.


Primera observaci
Primera observació

Sols cal trobar les solucions (X,Y,Z) que no tinguin factors comuns.

Exemple

62 + 82 = 102

22 32 + 22 42 = 22 52

22(32 + 42 )=22 52

32 + 42 = 52


En general, si tenim una solució

(X,Y,Z)

de l’equació

X2 + Y2 = Z2

aleshores

(a·X,a·Y,a·Z)

és també una solució.

Les solucions sense factors en comú

s’anomenen ternes primitives.


Ternes pitagòriques primitives (X,Y,Z)

x=X/Z y=Y/Z

Solucions racionals (x,y) de x2 + y2 = 1


Equació x (X,Y,Z) 2+y2 = 1

Cercle de radi 1


Punts del cercle: punts de la forma (sin(q),cos(q)), en què q varia entre 0 i 2p

Punts racionals: q=??????

NO SERVEIX


Una altra idea: punts de la forma (sin(

Escollim un punt amb coordenades racionals. Per exemple, el punt (-1,0)


Dibuixem una recta que passi per (-1,0) i amb pendent racional

El punt (a,b) té coordenades racionals si i només si la recta té pendent racional


Equació de la recta pendent t : racional

Y = t X + s

Volem que passi pel punt (-1,0):

Substituïm (X,Y) per (-1,0)

0 = -t+s

o sigui

t=s

Equació de la recta pendent t que passa per (-1,0):

Y = t X + t


Punt de tall amb el cercle X racional 2+Y2 = 1 :

substituïm Y per t·X+t a l'equació

Equació de segon grau:

(1+t2)·X2+ 2·t2·X + t2 = 0

Solucions:


La solució X=-1 és la que ja coneixíem. racional

Les solucions racionals a part d’aquesta són les següents:

on t és qualsevol nombre racional


Aquest procediment pot ser generalitzat a totes les còniques (el·lipses, paràboles, hipèrboles).

O sigui, equacions de la forma f(x,y) = 0 on f(x,y) és un polinomi amb coeficients racionals de grau 2.

Exercici: Trobeu totes les solucions racionals de x2+3y2 = 1.


Solucions enteres: còniques (el·lipses, paràboles, hipèrboles).

Expressem t de la forma t = m/n

amb n i m enters primers entre si

Obtenim així que


Teorema
Teorema: còniques (el·lipses, paràboles, hipèrboles).

El conjunt de ternes pitagòriques primitives és

{ (n2-m2 , 2nm, n2+m2)  |  n i m primers entre si i , n>m i n-m senar }

Exemple: n=2, m=1

(3,4,5)

Exemple: n=3, m=2

(5,12,13)

Exemple: n=4, m=3

(7,24,25)


Aplicaci f rmules trigonom triques
Aplicació: Fórmules trigonomètriques còniques (el·lipses, paràboles, hipèrboles).

Si t= tan (q /2)

aleshores

cos(q) = (1-t2 )/(1+t2 )

i

sin(q) = (2·t2 )/(1+t2 )


Claude gaspar bachet de m ziriac 1588 1638
Claude Gaspar còniques (el·lipses, paràboles, hipèrboles). Bachet de Méziriac (1588-1638)


Va ser el traductor al llatí de l’ còniques (el·lipses, paràboles, hipèrboles). Aritmètica de Diofant.

Es va dedicar a la matemàtica recreativa, com per exemple els quadrats màgics.

En un problema es pregunta:

Quins nombres són resta d’un quadrat menys un cub?


Dit d’una altra manera: còniques (el·lipses, paràboles, hipèrboles).

Per a quins nombres enters c l’equació

Y2-X3 = c

té solucions (X,Y) on X i Y són nombres racionals?


Bachet diu: si donat c tenim una solució (x,y) amb y còniques (el·lipses, paràboles, hipèrboles). ¹ 0, aleshores

també és solució de la mateixa equació.


Com va arribar a aquesta fórmula? còniques (el·lipses, paràboles, hipèrboles).

Idea: Intentem copiar el que hem fet abans.

Les solucions reals de l'equació y2-x3 = c en el pla formen una corba: C.

C no és una cònica!

Tota recta en el pla talla C com a màxim en tres punts.


En efecte: còniques (el·lipses, paràboles, hipèrboles).

Si y = a·x+b és una recta en el pla,

substituïm y per a·x+b en l’equació y2-x3 = c

Obtenim una equació de tercer grau (a·x+b)2-x3-c = 0

que pot tenir com a màxim tres solucions reals.


Si comencem amb un punt racional (x,y) de la corba C, i prenem una recta qualsevol, podem o bé no obtenir cap més punt o bé obtenir dos punts de la corba C que no són necessàriament racionals.

Exemple: 52 – 33 = -2 , per tant (3,5) són solució de Y2 – X3 = -2

La recta Y=X+2 passa per aquest punt, però no talla la corba C.

La recta Y=3·X-4 passa per aquest punt, i els altres punts de tall són

(3 +/- √3, 5 +/- 3√3 )


En canvi, si substituïm prenem una recta qualsevol, podem o bé no obtenir cap més punt o bé obtenir dos punts de la corba C que no són necessàriament racionals.

Y=(27/10) X – (31/10)

en l’equació

Y2 – X3 = -2

obtenim l’equació en X

-X3+(729/100)·X2 –(837/50)·X + (1161/100)=0

que té solucions:

X=3 (repetida) i X= 129/100.

Obtenim així la solució racional (129/100, 383/1000)


D’on surt aquesta última recta? prenem una recta qualsevol, podem o bé no obtenir cap més punt o bé obtenir dos punts de la corba C que no són necessàriament racionals.

És la recta tangent a la corba C en el punt (3,5).

La podeu obtenir utilitzant la derivada

(el pendent de la recta és la derivada en el punt x=3 de la funció √ x3-2 ).

La fórmula de Bachet és exactament la que s’obté seguint aquest procediment.


Recapitulem: Per a les equacions de la forma prenem una recta qualsevol, podem o bé no obtenir cap més punt o bé obtenir dos punts de la corba C que no són necessàriament racionals.

y2= x3 + c,

tenim una fórmula en què, donada una solució (x,y) amb y ¹ 0, obtenim una altra solució (x’,y’).

De fet, no sempre obtenim solucions diferents:

només si x ¹ 0, i si c ¹ 1 i c ¹-432 .

Les equacions d’aquest tipus (o, més en general, del tipus y2 igual a un polinomi de grau 3) s’anomenen

CORBES EL·LÍPTIQUES


Pierre de fermat 1661 1665
Pierre de Fermat (1661-1665) prenem una recta qualsevol, podem o bé no obtenir cap més punt o bé obtenir dos punts de la corba C que no són necessàriament racionals.


Va escriure al marge de la traducció de Bachet de l’ prenem una recta qualsevol, podem o bé no obtenir cap més punt o bé obtenir dos punts de la corba C que no són necessàriament racionals. Aritmètica de Diofant:

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos ejusdem nominis fas est dividere: cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.


Que amb la notació actual vol dir: prenem una recta qualsevol, podem o bé no obtenir cap més punt o bé obtenir dos punts de la corba C que no són necessàriament racionals.

Si n és un nombre natural més gran que 2, l'equació

Xn + Yn = Zn

no té cap solució on X, Y i Z són nombres enters, tots ells diferents de 0.

Tinc una demostració meravellosa d'aquest resultat, però el marge és massa estret i no m'hi cap.


Quina relació tenen les corbes el·líptiques prenem una recta qualsevol, podem o bé no obtenir cap més punt o bé obtenir dos punts de la corba C que no són necessàriament racionals.

amb el problema de Fermat?

En principi cap (a part del cas n=3), però

resulta que hi ha una relació molt profunda

que no es va anar descobrint fins fa molt poc.

Us explicaré la història amb fotografies.


1955 taniyama 1927 1958
1955 : prenem una recta qualsevol, podem o bé no obtenir cap més punt o bé obtenir dos punts de la corba C que no són necessàriament racionals. Taniyama (1927-1958)


1986 gerhard frey 1945
1986: prenem una recta qualsevol, podem o bé no obtenir cap més punt o bé obtenir dos punts de la corba C que no són necessàriament racionals. Gerhard Frey (1945)


1986 jean pierre serre 1926
1986: prenem una recta qualsevol, podem o bé no obtenir cap més punt o bé obtenir dos punts de la corba C que no són necessàriament racionals. Jean Pierre Serre (1926)


1987 barry mazur 1937
1987: prenem una recta qualsevol, podem o bé no obtenir cap més punt o bé obtenir dos punts de la corba C que no són necessàriament racionals. Barry Mazur (1937)


1989 ken ribet 1950
1989: prenem una recta qualsevol, podem o bé no obtenir cap més punt o bé obtenir dos punts de la corba C que no són necessàriament racionals. Ken Ribet (1950)


1994 andrew wiles 1953
1994: prenem una recta qualsevol, podem o bé no obtenir cap més punt o bé obtenir dos punts de la corba C que no són necessàriament racionals. Andrew Wiles (1953)


ad