第二节  泰勒展式
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第二节 泰勒展式. 一、解析函数的泰勒展式 二、解析函数的零点与唯一性. 内任意点. 一、解析函数的泰勒展式. 1. 解析函数展成幂级数. 问题 : 任一个解析函数能否用幂级数来表达?. 如图 :. 定理 4.2.1( 泰勒定理 ). 证. 系 4.2.1. 系 4.2.2. 2. 解析函数展成幂级数的方法与例. 常用方法 : 直接法和间接法. (1) 直接法. 由泰勒展开定理计算系数. 例 1. 解. (2) 间接法.

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Presentation Transcript


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第二节 泰勒展式

  • 一、解析函数的泰勒展式

  • 二、解析函数的零点与唯一性


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内任意点

.

.

.

一、解析函数的泰勒展式

1. 解析函数展成幂级数

问题:任一个解析函数能否用幂级数来表达?

如图:


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定理4.2.1(泰勒定理)


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系4.2.1

系4.2.2


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2. 解析函数展成幂级数的方法与例

常用方法:直接法和间接法.

(1) 直接法

由泰勒展开定理计算系数


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例1


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(2) 间接法

借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 积分等)和其它数学技巧 (代换等) , 求函数的泰勒展开式.

间接法的优点:

不需要求各阶导数与收敛半径 , 因而比直接展开更为简洁 , 使用范围也更为广泛 .


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例2


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附: 常见函数的泰勒展开式


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例3


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例4


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例5


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二、解析函数的零点与唯一性

1. 零点


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定理4.2.3(解析函数零点的孤立性)

.

系4.2.3


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系4.2.4


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2. 解析函数的唯一性

定理4.2.4


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例6

证明


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例7


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