第 七 回
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第 七 回. 双対問題とその解法. 内容と目標. 内容 : 1.双対問題 2.双対問題のシンプレックス方法 目標 : 1.双対問題を復習する 2.自分で双対問題を作る 3.シンプレックス方法で双対問題を解析する. LP 問題のシンプレックス法. LP 問題の解法 標準のシンプレックス法: Max. f(x) <ー> g(x) c 2段階法: 1) Max. f(x) <ー> g(x) , =, c 2) Min. f(x) <ー> g(x) c

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Presentation Transcript

第 七 回

双対問題とその解法

山梨大学


内容と目標

  • 内容:

    1.双対問題

    2.双対問題のシンプレックス方法

  • 目標:

    1.双対問題を復習する

    2.自分で双対問題を作る

    3.シンプレックス方法で双対問題を解析する

山梨大学


LP問題のシンプレックス法

  • LP問題の解法

    • 標準のシンプレックス法:Max. f(x) <ー> g(x)c

    • 2段階法: 1) Max. f(x) <ー> g(x) , =, c

      2) Min. f(x) <ー> g(x) c

      3) Min. f(x) <ー> g(x) , =, c

  • 目的関数f(x)

    • 標準:  Max. f(x)

    • 最小値問題: Min. f(x)

      Min. f(x) ー>Max. f0(x) Max. f’(x)=-i

      ただし、f0(x) = -f(x)

山梨大学


制約条件の処理

  • 最小不等式: g(x)c

    スラック変数:  g(x)+λ=c

  • 等式: g(x)=c

    人為変数: g(x) + μ= c

  • 最大不等式: g(x)c

    スラック変数と人為変数を利用する

    g(x)ーλ+ μ =c

山梨大学


最小値問題ー原問題

  • 目的関数:

    Min. f = 2x1 + 19x2 + 7x3       (1)

  • 制約条件:

    x1+12x2+6x3 ≧ 4 (2)

    2x1+18x2+4x3 ≧3 (3)

    x1, x2, x3≧0

山梨大学


二段階法

制約条件:

x1+12x2+6x3 -λ1   +μ1  = 4

2x1+18x2+4x3    -λ2 +μ2 = 3 (4)

目的関数:

f0 = - 2x1 - 19x2 - 7x3      (5)

f’ = -μ1 -μ2(6)

山梨大学


c

ステップ

-2 -19 -7

0 0

0

基底

x1  x2 x3

λ1 λ2

定数

θ

1

-1

-1

μ1

μ2

1 12 6

2 18 4

-1 0

0 -1

4

3

1/3

1/6

f0

f’

2 19 7

-3 -30 -10

0 0

1 1

0

-7

2

-1

-19

μ1

x2

-1/3 0 10/3

1/9 1 2/9

-1 2/3

0 -1/18

2

1/6

3/5

3/4

f0

f’

-1/9 0 25/9

1/3 0 -10/3

0 1

1 -2/3

-19/6

-2

3

-7

-19

x3

x2

-1/10 0 1

2/15 1 0

-3/10 1/5

1/15 -1/10

3/5

1/30

f0

f’

1/6 0 0

0 0 0

5/6 1/2

0 0

-29/6

0

二段階法のシンプレックス表

山梨大学


双対問題:最小化ー>最大化

 以上の例の最小化問題の不等号制約式(2)、(3)に対し、非負のy1 , y2を対応させる。そして(2)×y1+(3)×y2を計算すると (y1+2y2)x1+(12y1+18y2)x2+(6y1+4y2)x3

     ≧ 4y1+3y2     (7)

となる。

山梨大学


制約条件の変化

ここで

y1 + 2y2 ≦ 2

12y1+18y2 ≦ 19 (8)

6y1 + 4y2 ≦ 7

と仮定すると、式(7)は

2x1+19x2+7x3 ≧ 4y1+3y2

となる。

山梨大学


新しい最大値問題?

  変数x1, x2, x3は、上述最小化問題の制約条件下2x1+19x2+7x3の最小化に関連したが、新しく導入された変数y1, y2も何かの最適化問題に関連しているようである。新しい変数に与えられた条件、つまり式(8)と非負条件下で4y1+3y2の最大化問題を考えてみる。

山梨大学


標準LP問題

目的関数:

Max. f = 4y1+3y2(9)

制約条件:

y1 + 2y2 ≦ 2

12y1+18y2 ≦19 (10)

6y1+ 4y2 ≦ 7

y1, y2 ≧ 0

山梨大学


ステップ

c

4 3

0 0 0

基底

y1 y2

λ1 λ2 λ3

定数

θ

1

0

0

0

λ1

λ2

λ3

1 2

12 18

6 4

1

1

1

2

19

7

2

11/7

7/6

f

-4 -3

0

2

0

0

4

λ1

λ3

y1

0 4/3

0 10

1 2/3

1 0 -1/6

0 1 -2

0 0 1/6

5/6

5

7/6

5/8

1/2

7/4

f

0 -1/3

0 0 2/3

14/3

3

0

3

4

λ1

y2

y1

0 0

0 1

1 0

1 -1/7 0

0 1/10 -1/5

0 0 2/7

1/6

1/2

5/6

f

0 0

0 0 3/5

29/6

標準LP問題のシンプレックス表

山梨大学


結果の説明

(i) 基底変数はλ1、y1、y2で、非基底変数はλ2 、

λ3である。

(ii) 最適基底解は

    y1 =5/6,y2 =1/2, λ1 =1/6, f=29/6

である。

この解は例(1)に示した原問題の最大値と全く同じになる。しかし、計算は簡単になった。

山梨大学


課   題

目的関数:

Min. f = 4x1 + 5x2(1)

制約条件

x1+3x2≧ 4

2x1+ x2≧ 3         (2)

x1 , x2≧0

要求:

1). シンプレックス法を用いて解け。

2). 上記の線形計画問題の双対問題を作れ。

3). 双対問題をシンプレックス法で解け。

4). 原問題のスラック変数・最適解と双対問題のスラック変数・最適解を比較せよ。

山梨大学


課題の解答

 1). 最適解はx1=1, x2=1, f=9.

3). 双対問題の最適解はy1=6/5, y2=7/5,f’=9.

山梨大学


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