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Metodo dei minimi quadrati. Metodo dei minimi quadrati Teoria dei minimi quadrati. Metodo dei minimi quadrati. Ipotesi: m punti sperimentali (coppie ( x j , y j )) Equazione polinomiale di grado n data dalla combinazione lineare di n funzioni φ dipendenti da x Obiettivo:
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Metodo dei minimi quadrati • Metodo dei minimi quadrati • Teoria dei minimi quadrati
Metodo dei minimi quadrati Ipotesi: • m punti sperimentali (coppie (xj, yj)) • Equazione polinomiale di grado n data dalla combinazione lineare di n funzioni φ dipendenti da x Obiettivo: • Trovare i valori dei parametri αi minimizzando lo scarto fra i valori sperimentali e quelli previsti dal modello, al fine di ottenere un modello che, data x permetta di stimare y. generica funzione di x
Metodo dei minimi quadrati Termine da minimizzare:il quadrato dello scarto tra i dati sperimentali e quelli previsti dal modello scarto della j-esima coppia
Metodo dei minimi quadrati se la matrice Bè ortogonale, il prodotto BTB restituisce una matrice diagonale i cui elementi sono rappresentati dalle norme della sua base, perciò si può scrivere nel modo seguente: si può operare una trasformazione di base in modo da ortogonalizzare la matrice B, in modo da poter calcolare il vettore α ma Bnon è ortogonale
Metodo dei minimi quadrati per ortogonalizzare si utilizza una procedura iterativa:- la prima componente della nuova base è identica a quella della vecchia base- ciascuna ulteriore componente della nuova base è identica a quella della vecchia base MENO il prodotto scalare fra la vecchia componente e le nuove appena trovate, in modo che tutte le componenti della nuova base siano tra loro indipendenti nel nuovo sistema si ottiene ortogonalizzazione di Gram-Schmidt
Metodo dei minimi quadrati seguendo la procedura iterativa dell’ortogonalizzazione di Gram-Schmidt si ottiene: si può introdurre un ulteriore termine: βi,p si può riscrivere il risultato dell’ortogonalizzazione come αi’ è diverso da αi!!
Metodo dei minimi quadrati Per risalire agli α iniziali si procede nel seguente modo: αi’ è diverso da αi!!
Metodo dei minimi quadrati: incertezza Termine da minimizzare:il quadrato dello scarto tra i dati sperimentali e quelli previsti dal modello Come indicatore dell’incertezza che esprime quanto i dati sperimentali non siano spiegati dal modello si utilizza: scarto della j-esima coppia Numero di campioni Numero di parametri
Metodo dei minimi quadrati: incertezza grazie a questo indicatore di incertezza è possibile disegnare gli intervalli fiduciari, estesi al livello di fiducia desiderato, utilizzando la distribuzione t di Student
Metodo dei minimi quadrati: incertezza Incertezza dei parametri αi: Frazione della varianza di y spiegata dal modello: Non riguarda l’incertezza insita nel fenomeno, è l’incertezza con cui viene stimato il parametro Varianza non spiegata dal modello Varianza complessiva
Metodo dei minimi quadrati: incertezza utilizzando una procedura iterativa è possibile invertire la relazione ortogonalizzata per ricavare i parametri α originali che si stavano cercando. È necessario propagarne poi l’incertezza utilizzando il solito approccio. N.B. Ricordare che i parametri originali possono essere correlati, mentre i parametri ortogonalizzati non lo sono per definizione, perciò risulta più semplice lavorare con la formula che prevede gliα’ ortogonalizzati
Metodo dei minimi quadrati: incertezza Incertezza che riguarda solo scostamento dal valore medio e riguarda solo i parametri del modello Incertezza della predizione di y dovuta alla scelta del modello Non riguarda l’incertezza insita nel fenomeno L’incertezza di x è considerata trascurabile Considera sia l’incertezza che deriva dallo scostamento dal valore medio (incertezza dei parametri) che l’incertezza insita nel modello, cioè dovuta al fatto che il modello non riesce a spiegare i dati sperimentali
Esercizio 3: applicazione dei minimi quadrati al caso del I ordine • Sono state eseguite delle prove su un dispositivo gomma-metallo al fine di stimarne la rigidezza longitudinale. I risultati ottenuti sono i seguenti:
Esercizio 4: applicazione dei minimi quadrati al caso del secondo ordine • Un proiettile viene sparato con un angolo incognito e la distanza che raggiunge lungo l’asse di sparo viene misurato utilizzando una videocamera ad alta velocità. Si devono determinare la velocità iniziale e il valore di decelerazione.
Esercizio 5: applicazione dei minimi quadrati al caso di ordine n • La lunghezza di un provino metallico sottoposto a differenti carichi a diverse temperature è stata rilevata al fine di stimare la rigidezza del provino. Il modello proposto segue la seguente relazione: • Determinare quale parametro è rilevante, proporre ed analizzare un modello che spieghi la lunghezza del provino in funzione di tale parametro
Confronti fra modelli e residui • Per semplificare un modello senza perdere informazioni importanti, tutti i parametri i cui valori sono compatibili con zero grazie ad un’elevata incertezza, possono essere posti uguali a zero, riducendo la complessità del modello di interpolazione
Confronti fra modelli e residui • Per scegliere se è necessario aggiungere un nuovo termine (un grado in più) al modello, per incrementarne l’accuratezza, risulta utile un’analisi dei residui:
