Teoria de Erros

1. Teoria de Erros

2. Arredondamento de Números • Se o primeiro algarismo excedente for menor do que cinco, o algarismo anterior permanece inalterado (arredondamento para baixo); • b) Se o primeiro algarismo excedente for maior do que cinco, ou cinco seguido de pelo menos um número diferente de zero, o algarismo anterior é aumentado de uma unidade (arredondamento para cima).

3. Arredondamento de Números • c) Se o primeiro algarismo excedente for igual a 5 seguido apenas de zeros, faz-se com que o número fique par (caso o último algarismo que fica seja ímpar, soma-se a ele uma unidade para torná-lo par).

4. Arredondamento de Números • 28,6348 ºC; 28,3500ºC; 28,6500 ºC; 28,276 ºC; 28,85007 ºC • 28,6 ºC; 28,4 ºC; 28,6 ºC; 28,3 ºC; 28,9 ºC

5. Operações com Algarismos Significativos • ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO efetue a soma sem abandonar nenhum algarismo e escreva o resultado com um número de casas decimais igual ao da parcela que possui o menor número dessas casas. 4,806 + 0,0793 + 73,646 + 325,34 = 403,87

6. Operações com Algarismos Significativos • MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO Verifique qual fator possui o menor número de algarismos significativos e, no resultado da multiplicação, mantenha apenas o número de algarismos igual ao deste fator. 3,67 x 2,3 = 8,4

7. 3 2 3 2 Peculiaridades de uma medida.Precisão do instrumento • Como a precisão do instrumento influencia a medida realizada?

8. Uma medida não é absoluta • Irregularidades do objeto podem influenciar a medida final. • As características do instrumento influem na medida. • Mas, o que isso significa? • Medidas experimentais não são absolutas. Sempre existe uma “dúvida” no resultado obtido. • Como expressar essa “dúvida”? • Supondo que exista um valor verdadeiro, que nunca saberemos qual é, como avaliar a qualidade da medida efetuada?

9. Erro e incerteza de uma medida ERRO não é a mesma coisa que INCERTEZA!!! • Erro = valor verdadeiro - valor medido pode-se afirmar que toda medida experimental apresenta um erro, que precisa ser estimado e compreendido. O valor do erro NUNCA pode ser conhecido! • Incerteza = melhor estimativa do valor do erro

10. Apresentando o resultado de umamedida com incerteza • Se toda medida tem uma incerteza, como representá-la? • Forma mais comum • (Valor  incerteza) unidade • Ex: (24,50 + 0,05) cm • Forma compacta • Valor(incerteza) unidade • Ex: 24,50(5) cm

11. 3 2 (2,74+0,05) cm Tenho certeza Apresentando o resultado de umamedida com incerteza • Se toda medida tem uma incerteza, como representá-la? Incerteza! Em geral, metade da menor divisão Estou em dúvida

12. Apresentando o resultado de umamedida com incerteza • Por que a incerteza é 0,05 e não 0,050 ou 0,053? • Em geral, a incerteza é expressa somente com 1 algarismo significativo (opcionalmente 2 algarismos, caso o primeiro seja 1 ou 2) • Caso o 1o. Algarismo seja >2, a importância do segundo é muito pequena e não vale a pena • Note que a representação da medida deve levar em consideração a incerteza • (2,74 + 0,05) cm

13. O que são algarismos significativos? • São, como o próprio nome diz, algarismos que têm significado • Ex: • (2,746 + 0,050) cm • 2 tem significado (eu tenho certeza dele). O mesmo com 7 • 4 é um número incerto mas é uma estimativa plausível, sendo assim, também tem significado • 6 não faz sentido, pois se o 4 já é um “chute”, qual a importância do 6? Então ele não tem significado.

14. Regras para algarísmos significativos • Algarismos significativos são todos aqueles que temos certeza na medida mais o primeiro algarismo incerto (chute) • Pode-se utilizar dois algarismos incertos quando o primeiro algarismo correspondente na incerteza é 1 ou 2 • Ex: (1,452 + 0,018) cm • Zeros à esquerda não são significativos enquanto à direita podem ser. • Ex: 0,000043 tem apenas 2 algarismos significativos • Ex: 2,3500 tem 5 algarismos significativos

15. Alguns exemplos • Forma correta • (2,74 + 0,05) cm • 2,74(5) cm • (123,4 + 1,2) kg ou (123 + 1) kg • Forma incorreta • (2,746 + 0,053) cm(dois algarismos na incerteza e primeiro algarismo é >2) • (2,7455 + 0,0532) cm(incerteza com muitos algarismos) • (2,7 + 0,05) cm(a representação da medida não é compatível com a incerteza)

16. Como fazer uma análise estatística • Suponha que você repita um determinado experimento várias vezes, utilizando sempre o mesmo instrumento e procedimento de medida • Cada medida efetuada apresenta um resultado diferente devido ao caráter aleatório das flutuações experimentais (imperfeição da mesa, tempo de reação para disparar o cronômetro) • A análise desse conjunto de medidas permite determinar um resultado mais confiável, bem como estimar uma incerteza mais realista.

17. Conceitos importantes • Média de um conjunto de medidas • Desvio padrão de um conjunto de medidas • Grandeza que caracteriza a amplitude as flutuações estatísticas observadas. É também a incerteza estatística associada a uma única medida efetuada. • Incerteza do valor médio • Também denominado “desvio padrão da média”, é a incerteza estatística do valor médio obtido.

18. Assim como cada medida é, por definição, diferente do valor verdadeiro de uma grandeza, o valor médio também não corresponde ao valor verdadeiro de uma grandeza. Quanto maior o número de medições, mais precisa é a medida do valor médio. Média • Se forem realizadas n medidas de uma mesma grandeza, e cada uma delas possuir a mesma incerteza, a média de um conjunto de medidas é dada pela média atritimética simples, ou seja:

19. Desvio padrão • O desvio padrão (s), ou desvio quadrático médio de uma medida é dado por: (n-1) vem do fato da definição de desvio padrão ser a diferença entre a medida e o valor médio verdadeiro, que não pode ser obtido experimentalmente. Ver Seção 7.4 do Livro “Fundamentos da Teoria de Erros”, J. H. Vuolo

20. Qual o significado do desvio padrão? • Pode-se entender como sendo a “distância” média que qualquer medida tem em relação ao valor médio. • O desvio padrão é o correspondente à incerteza estatística de uma única medida realizada. Cada medida, além da incerteza instrumental, possui uma incerteza estatística dada pelo desvio padrão.