Pravděpodobnost náhodných jevů

1. Pravděpodobnost náhodných jevů Blaise Pascal 1623 - 1262 Pierre de Fermat 1601 - 1665 Pravděpodobnost náhodného jevu je číslo, které je mírou očekávatelnosti výskytu jevu. Náhodným jevem rozumíme opakovatelnou činnost prováděnou za stejných (nebo přibližně stejných) podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě. Příklady mohou být například házení kostkou, střelba do terče nebo losování loterie. Rozvoj teorie pravděpodobnosti probíhal od 17. století, zpočátku inspirován hlavně hazardními hrami. Za její počátek se považuje slavná výměna dopisů mezi matematiky Blaisem Pascalem a Pierrem Fermatem zahájená roku 1654. Šlo jim tehdy o otázku, jak spravedlivě rozdělit bank mezi hráče, jestliže série hazardních her musela být předčasně přerušena. Dalším stimulem pak byl rozvoj pojišťovnictví. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Pro projekt „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil (gdermog@seznam.cz). Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci CC-BY-SA.

2. Pravděpodobnost náhodných jevů Definice 77. Klasická definice pravděpodobnosti : Buď M množina elementárních jevů (tedy takových, které nelze složit z jiných a které jsou zcela rovnocené) o n prvcích. Pravděpodobnost výskytu jevu A, který je složen z m elementárních jevů je Například při hodu šestistěnnou kostkou je elementární jev pád každého čísla od 1 do 6. Pravděpodobnost toho, že padne právě jedno určité číslo je Jev „padne sudé číslo“ je jev složený za tří : „padne sudé číslo“ = „padne 2“ nebo „padne 4“ nebo „padne 6“ a má tedy pravděpodobnost

3. Pravděpodobnost náhodných jevů Věta 42. Nechť množina M obsahuje n elementárních jevů, nechť p je pravděpodobnost na této množině, A a B disjunktní jevy. Potom platí : 1 ) 2 ) Kde S je jev, který nastane při každém náhodném pokusu a 0 jev, který nenastane nikdy. 3 ) Kde pod sjednocením jevů rozumíme „nastane A“ nebo „nastane B“. Jevy musí být disjunktní, tedy A a B nemohou nastat současně. Pravděpodobnost, že ve dvou nezávislých pokusech nastanou jevy A a B je 4 ) 5 ) 6 ) Tj. pravděpodobnost, že nastane doplněk A do B je rovna rozdílu pravděpodobností B a A.

4. Pravděpodobnost náhodných jevů Příklad Příklad Příklad Házejme dvěma kostkami. Jaké je pravděpodobnost, že součet bude roven pěti? A sedmi? V osudí je a bílých koulí a b černých. Taháme postupně tři koule a už je nevracíme zpět (tedy se celkový počet koulí v osudí zmenšuje). Určeme pravděpodobnost, že všechny vytažené koule jsou bílé. V osudí je a bílých koulí a b černých. Taháme postupně tři koule a už je nevracíme zpět (tedy se celkový počet koulí v osudí zmenšuje). Určeme pravděpodobnost, že vytažené koule jsou dvě bílé a jedna černá, přičemž nám nezáleží na tom, v jakém pořadí jsme je vytáhli.

5. Základní vzorce kombinatoriky variace s opakováním Uspořádaný výběr s opakováním Buď A množina o n prvcích. Vyberme z množiny postupně k prvků tak, že můžeme vybírat vícekrát ten samý (vracíme prvky do množiny). Počet různých k-tic, které takto lze dostat, je n různých čísel n různých čísel n různých čísel n různých čísel . . . . n n n n n = nk Pravděpodobnost, že náhodně vybereme jednu určitou k-tici tedy je

6. Základní vzorce kombinatoriky variace bez opakování Uspořádaný výběr bez opakování Buď A množina o n prvcích. Vyberme z množiny postupně k prvků, ale podruhé ho již vytáhnout nelze (nevracíme prvky do množiny). n-1 různých prvků n-2 různých prvků n-3 různých prvků n různých prvků . . . . (n-1) n (n-2) (n-3) = (n-1)(n-2) … (n-k+1) Pravděpodobnost, že náhodně vybereme určitou k-tici tedy je

7. Základní vzorce kombinatoriky permutace Uspořádaný výběr všech prvků bez opakování Buď A množina o n prvcích. Vyberme z množiny postupně všech n prvků a podruhé nevracíme prvky do množiny n-1 různých prvků n-2 různých prvků n-3 různých prvků n různých prvků 1 zbylý prvek . . . . (n-1) n (n-2) n (n-3) = (n-1)(n-2) … 2.1 Pravděpodobnost, že náhodně vybereme určitou k-tici tedy je

8. Základní vzorce kombinatoriky kombinace bez opakování kombinační číslo Neuspořádaný výběr prvků bez opakování Nezáleží-li nám na pořadí ve výběru k prvků z n-členné množiny, považujeme všechny k-tice se stejnými prvky v různém pořadí za rovnocenné. Takových k-tic je pro každý výběr prvků k!. Vydělíme tedy ještě počet variací bez opakování k! : Pravděpodobnost, že náhodně vybereme určitou k-tici tedy je

9. Základní vzorce kombinatoriky 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 2 2 2 3 2 4 3 1 3 2 3 3 3 4 4 1 4 2 4 3 4 4 kombinace s opakováním Neuspořádaný výběr prvků s opakováním Máme vybrat k prvků z n, mohou se opakovat ale nezáleží nám na pořadí. k = 1 : počet možností je n. k = 2 : počet možností je k : počet možností je

10. Základní vzorce kombinatoriky Příklad V osudí je a bílých koulí b a černých. Taháme postupně k koulí a už je nevracíme zpět (tedy se celkový počet koulí v osudí zmenšuje). Určeme pravděpodobnost, že poslední vytažená koule je bílá, ostatní černé. Jaká je pravděpodobnost, že poslední je bílá nehledě na předchozí? Počet koulí v osudí před k-tým tahem je (a + b – k + 1). Celkem bílých z toho je stále a (neboť černá dosud tažena nebyla) a černých (b – k + 1). Pravděpodobnost, že vytáhneme černou resp. bílou kouli je pravděpodobnost, že v předchozích k-1 tazích „padly“ jen samé černé je a že v k-tém losování padne bílá je

11. Základní vzorce kombinatoriky Příklad V osudí je a bílých koulí b a černých. Taháme postupně k koulí a už je nevracíme zpět (tedy se celkový počet koulí v osudí zmenšuje). Určeme pravděpodobnost, že poslední vytažená koule je bílá, ostatní černé. Jaká je pravděpodobnost, že poslední je bílá nehledě na předchozí? Očíslujme si koule tak, abychom je odlišili, a to bílé indexy 1 až a a černá a+1 až a+b. Kolik k-tic jde z koulí sestavit? Jedná se o variace bez opakování (nevracíme, zatím záleží na pořadí), ale chceme poslední kouli bílou, tedy na posledním místě číslo 1 až a. To znamená, že vlastně vybíráme k-1 koulí z celkového počtu a+b-1, neboť jednu bílou z a možných jsme vybrali dopředu. Tedy máme Celkový počet možných variací je

12. Základní vzorce kombinatoriky Příklad V osudí je a bílých koulí b a černých. Taháme postupně k koulí a už je nevracíme zpět (tedy se celkový počet koulí v osudí zmenšuje). Určeme pravděpodobnost, že poslední vytažená koule je bílá, ostatní černé. Jaká je pravděpodobnost, že poslední je bílá nehledě na předchozí? Pravděpodobnost je pak podíl tj. vůbec nezáleží na tom, kolikátý pokus děláme, vždycky bude

13. Pravděpodobnost náhodných jevů Kde je problém? Předchozí definice nám ale nestačí. No jasně – co když je možných jevů nekonečně mnoho?

14. Geometrická představa o pravděpodobnosti Příklad Přistávací systém na letišti umožňuje přistávání letadel v obtížných podmínkách v minimálních intervalech 5 min. Dvě letadla mají přiletět v 8:00 a 8:10. U prvního letadla se přílet může lišit o 10 minut, u druhého pak o 5 minut. Stanovte pravděpodobnost toho, že jedno z letadel bude muset čekat. Na jedné ose vyneseme možný přílet jednoho letadla, na druhé druhého. Schopnost letiště stroj přijmout je vynesen na hlavní časové ose (osa kvadrantu). Zelený trojúhel-ník označuje oblast, kdy může přistávat jedno letadlo a do toho přiletět druhé. Modrá oblast pak vyznačuje dobu, kdy se letadla na letišti střetnou. Poměr těch-to ploch pak udává pravdě-podobnost, že přistávací systém nebude mít na druhé letadlo čas:

15. Geometrická představa o pravděpodobnosti 2 l Georges-Louis Leclerc Hrabě z Buffonu 1707-1788 2 a Buffonova jehla Jaká je pravděpodobnost, že vržená jehla dopadne na linkovaný papír tak, že překříží jednu z čar?

16. Geometrická představa o pravděpodobnosti x l a M 0 0 π Předpokládáme, že l < a. Prostor všech možných jevů je popsán dvěmi proměn-nými – x a φ, kde x je vzdálenost středu jehly od nejbližší linky a φ je úhel, který jehla s linkou svírá. Je-li x > a, je jehla v dosahu další linky a jehla přes dvě spadnout nemůže, tedy Úhel pak má smysl v intervalu Prostor všech možných jevů je tedy plocha :

17. Geometrická představa o pravděpodobnosti a M A 0 0 π Aby jehla překřížila linku, musí platit x což geometricky vyjádřeno je l Potřebujeme znát plochu pod křivou – a tu získáme integrací: Pozn. : uděláme-li vysoký počet hodů a vyjádříme-li pravděpodobnost podílem dobré/všechny, získáme hodnotu π s rozumnou přesností! Z toho plyne

18. Geometrická představa o pravděpodobnosti Joseph Louis François Bertrand 1822 - 1900 Bertrandova tětiva Jaká je pravděpodobnost, že náhodně zvolená tětiva bude delší, než strana vepsaného rovnostranného trojúhelníka?

19. Geometrická představa o pravděpodobnosti Máme více možností výpočtu. První z nich je počítat vzdálenost na poloměru kružnice. V tomto případě je pravděpodobnost zjevně r/2 r/2 r/2 r/2

20. Geometrická představa o pravděpodobnosti Jiné řešení : rozdělme kružnici na tři úhly. Podle této představy je pravděpodobnost

21. Geometrická představa o pravděpodobnosti Kde je problém? Další řešení : dívejme se, kde leží středy tětiv. Ty opisují kružnici, která protíná trojúhelník. Pravděpodobnost může být poměr obsahu vnitřní a vnější kružnice: No jasně – je to špatně definovaný problém. V každém případě počítáme úplně jinou úlohu. Geometrická představa zjevně také není dokonalá.

22. Axiomatická výstavba pravděpodobnosti Definice 78. Andrej Nikolajevč Kolmogorov 1903-1987 Kolmgorovova definice pravděpodobnosti : Buď M neprázdná množina, buď μ systém podmnožin M následujících vlastností: 1 ) 2 ) 3 ) Množinu M nazveme množinou elementárních jevů, respektive jevový prostor. Množi- nu μ naz. jevové pole, které obsahuje i jevy složené. Buď definováno zobrazení p : μ -> R takové, že 1 ) 2 ) 3 ) Pro každou posloupnost disjunktních množin (An) z μ platí Toto zobrazení nazveme pravděpodobností na μ.

23. Axiomatická výstavba pravděpodobnosti Z předchozí definice plynou důsledky, které jsme do dřívějších definic museli zahrnout. Například : a zvolíme-li A = M, získáme tvrzení. a z této rovnice získáme tvrzení. Pravděpodobnost p je ovšem jinak neurčená funkce. Můžeme ji vyrobit tak, aby fungovala pro hrací kostku normální i zfalšovanou nebo třeba pro míru možnosti toho, že nás při procházce v parku zasáhne meteorit. Pozn. : musíme dodefinovat nezávislé jevy. Jsou to takové, pro které platí Dále je třeba definovat úplnou soustavu jevů : je to taková množina jevů, která má dohromady pravděpodobnost 1 a jevy jsou přitom disjunktní. Pro hrací kostku je úplná soustava jevů množina „padlo 1“, „padlo 2“, … „padlo 6“. Pomocí této soustavy lze odvodit všechny další jevy v M. Jedná se tedy vlastně o jakousi „bázi“ množiny M.

24. Podmíněná pravděpodobnost Při nejrůznějších situacích je třeba zkoumat pravděpodobnost nějakého jevu za předpokladu, že současně nastal jev jiný. Pravděpodobnost jevu A za předpokladu, že nastal jev B definujeme jako tedy pravděpodobnost, že A i B nastanou současně pravděpodobnost, že nastane B Tato definice říká, že máme vzít jako fakt, že nastal jev B – a tedy celá jevové pole se nám vlastně smrskne na případ „nastalo B a k tomu cokoliv dalšího“. Protože ale v původním jevovém poli mohla být pravděpodobnost jevu B velmi malá, musíme pravděpodobnost „jev B a jev A“ vydělit pravděpodobností „jev B“. Tak zajistíme, že jistý jev „B a všechno ostatní dohromady“ bude mít pravděpodobnost 1. Tím, že „zafixujeme“ jev B, vlastně definujeme nové pravděpodobnostní pole s pravděpodobností

25. Podmíněná pravděpodobnost 1 2 3 4 5 6 Příklad 1 2 8 3 8 4 8 5 8 6 8 Házejme dvěmi kostkami. Jev A : padl součet 8. Jev B : padl sudý součet. Zjistěme jednotlivé pravděpodobnosti A a B a podmíněnou pravděpodobnost Jednotlivé pravděpodobnosti jsou zjevné: Nicméně pokud padl jev B (sudý součet), pak je celkový počet možností poloviční (18) a tedy To nám musí sedět i podle definičního vzorce. Jelikož součet osm je sudý, je jev B při jevu A splněn vždy a Podle vzorce pak

26. Podmíněná pravděpodobnost Věta 43. O úplné pravděpodobnosti : Buď B nějaký jev z M, buď {A1, … An} úplná množina jevů. Buď P(Ai) pravděpodobnost každého základního jevu Ai, buď P(B/Ai) podmíněná pravděpodobnost jevu B vzhledem ke každému jevu Ai. Potom platí Tj. pravděpodobnost libovolného jevu B lze rozložit do jakési „jevové báze“ – pravděpodobností B vůči Ai a pravděpodobností samotných Ai. Například pro hrací kostku A1 = „padlo 1“, …, A6 = „padlo 6“. Je-li jev B „padlo sudé číslo“, pak

27. Podmíněná pravděpodobnost Příklad Mějme šest cylindrů různých typů. V každém z nich je jiný počet koulí. Celkem máme : 1x typ 1. : 2 bíle, 1 černá 2x typ 2. : 1 bílá, 10 černých 3x typ 1. : 3 bíle, 1 černá Zvolme náhodně jeden cylindr a a z něj jednu kouli. S jakou pravděpodobností vytáhneme bílou? Máme elementární jevy „volíme cylindr typu 1.“, „volíme cylindr typu 2.“ a „volíme cylindr typu 3.“ . Tyto jevy jsou základní. Můžeme psát, že Pravděpodobnost jev B „vytáhnu bílou kouli“ obecně neznáme, ale známe jeho pravděpodobnosti podmíněné jevy A1, A2, A3 – kolik koulí je ve kterém cylindru přeci víme. Tedy

28. Podmíněná pravděpodobnost Příklad Mějme šest cylindrů různých typů. V každém z nich je jiný počet koulí. Celkem máme : 1x typ 1. : 2 bíle, 1 černá 2x typ 2. : 1 bílá, 10 černých 3x typ 1. : 3 bíle, 1 černá Zvolme náhodně jeden cylindr a a z něj jednu kouli. S jakou pravděpodobností vytáhneme bílou? Nyní nám stačí dosadit do vzorce : Tj. v cca 21% pokusů vytáhneme bílou kouli.

29. Podmíněná pravděpodobnost Věta 43. Bayesova : Buď B nějaký jev z M, buď {A1, … An} úplná množina jevů. Buď P(Ai) pravděpodobnost každého základního jevu Ai, buď P(B/Ai) podmíněná pravděpodobnost jevu B vzhledem ke každému jevu Ai. Potom platí Tato věta tedy hovoří o tom, jak získat podmíněné pravděpodobnosti p(Ak / B), známe-li p(B / Ak). Toto tvrzení je okamžitým důsledkem věty předchozí. Bayesova věta je mocný nástroj a v experimentální fyzice je často využívána.

30. Podmíněná pravděpodobnost Příklad Digitální informace se přenáší ve formě signálů představující nuly a jedničky. Cestou ovšem může docházet ke zkreslení. Předpokládejme, že je naměřeno zkreslení v průměru 3 jedniček ze 100 (přijmou se jako nuly) a 7 nul z 1000 (přijmou se jako jedničky). Dále předpokládejme, že je znám poměr mezi nulami a jedničkami 9:7. Spočítejte pravděpodobnost, že nedošlo ke zkreslení, pokud byla přijata jednička, respektive pokud byla přijata nula. Shrňme si, co máme naměřeno (pozn. : čísla jsou ve skutečnosti samozřejmě jiná) : Pravděpodobnost zkreslení 1, resp. 0 : Poměr mezi počtem 1 a 0 : Mějme nyní událost „přišla 0“ a otestujme pravděpodobnost jevů „byla odeslána 0“ a „byla odeslána 1“.

31. Podmíněná pravděpodobnost „odešla 0, přišla 0“ je Předně : pravděpodobnosti jevů známe. „odešla 0, přišla 1“ je „přišla 0, odešla 0“ Neznáme ale pravděpodobnosti jevů „v druhém směru“, tedy „přišla 0, odešla 1“ Ty ale získáme z Bayesovy věty. Tedy máme události „přišla 1“ (označme P1) a „přišla 0“ (označme P0) a hypotézy „odešla 0“ (O0) a „odešla 1“ (O1). Hypotézy O0 a O1 tvoří úplnou množinu jevů. Z Bayesovy věty pak plyne pro událost P0 („přišla 0“)

32. Podmíněná pravděpodobnost Dosadíme, co známe. Jelikož , jsou pravděpodobnosti Dále víme, že událost „odešla 1, přišla 0“ má pravděpodobnost a událost „odešla 0, přišla 0“ . Tedy známe vše a po dosazení tj. relativně malá pravděpodobnost (při reálných číslech by ovšem byla ještě o několik řádů nižší.

33. Podmíněná pravděpodobnost Dopočítáme druhý případ. Známe opět a dále víme, že tedy což je dobře, pravděpodobnost přenos signálu v pořádku je velká a navíc 97.7% + 2.3% = 100% a jiné možnosti než „signál O.K“ a „signál zkomolen“ nejsou.

34. Podmíněná pravděpodobnost Zkusme druhou možnost. Tedy přišla nám jednička a chceme vědět pravděpodobnost zkreslení: Známe : tj. pravděpodobnost, že se zkreslí nula, je výrazně nižší. Pravděpodobnost, že nula dojde v pořádku, je pak 100% - 0.6% = 99.4% .

35. Podmíněná pravděpodobnost Bayesova věta v částicové fyzice : Odezva detektoru PID je známá, např. protony jsou identifikovány z 95 %, elektrony z 80% a tak dále. Do detektoru vlétne částice. Co je zač? Odezva detektoru Bayesova věta nám pak řekne, že je to např. z 97% elektron, 3% pion a 0.5% proton.

36. Hustota pravděpodobnosti Pro spojité náhodné jevy je třeba zavést míru, která by nám vyjádřila, s jakou pravděpodobností se jev „trefí“ do určitého intervalu. Například průmyslové a lékařské rentgeny jsou konstruovány na principu brzdného záření. Elektrický náboj, na který působí zrychlení, vyzařuje fotony. Podle toho, o kolik se zabrzdil, má foton vlnovou délku. Běžné rentgenky nejprve nechají elektrony urychlit v poli o síle cca 20-50 kV a pak je nechají narazit do masivní kovové anody. Část pohybové energie elektronu se pak promění elektromagnetické záření – RTG. Maximální možná energie fotonu je stejná, jako kinetická energie elektronu, může ale být i cokoliv nižšího. Tento jev je zcela náhodný a musí být popsán pravděpo-dobností – která ale musí mít nějakou spojitou formu.

37. Hustota pravděpodobnosti Definice 78. x1 x2 Hustota pravděpodobnosti : Buď X veličina nabývající náhodné reálné hodnoty. Existuje-li reálná nezáporná funkce tak, že říkáme, že veličina X má rozdělení f. Funkci f nazýváme hustotou pravděpodobnosti. Plocha, uzavřená pod funkcí f na intervalu <x1, x2> je tedy rovna pravděpodobnosti, že náhodný výběr veličiny X padne do tohoto intervalu. Z toho vyplývají dvě věci. Jednak Veličina někam padnout musí – normovací podmínka. A dále tj. pravděpodobnost, že X nabude jednoho konkrétního vybraného čísla je nulová.

38. Hustota pravděpodobnosti Ekmax ⅓Ekmax ⅔Ekmax Funkce na grafu vlevo má tvar rozdělení pro energii fotonů vznikající při brždění elektronů urychlených na Ekmax. Rozdělí-me-li si celý interval <0, Ekmax> na třetiny, vidíme, že největší pravděpodobnost emise mají fotony v první a druhé třetině energetického rozsahu, maximálních energií dosahují jen velice zřídka. Dle předchozí poznámky je pravděpodob-nost získání fotonu přesně dané energie nulová. Občas nás ale může zajímat pravděpodobnost, s jakou energie resp. vl-nová délka fotonu padne do nesmírně malého okolí dané hodnoty (infinitezimální interval): derivace?

39. Poissonovo rozdělení Hustota pravděpodobnosti radioaktivního rozpadu f μ t Předpokládejme, že máme detektor, který zaznamenává radioaktivní rozpady. Rozpady jsou na sobě naprosto nezávislé a mají pravděpodobnostní charakter. Sledujme pravděpodobnost, že rozpad nastane v časovém intervalu <0, t+dt>, který lze rozdělit na <0,t> a infinitezimální interval <t, t+dt>. Předpokládejme dále, že rozpady jsou natolik řídké, že v infinitezimálním intervalu nedojde více než k jedné události. Jevy jsou nezávislé a tedy musí platit celý interval dlouhý interval infinitezimální interval Za daných předpokladů je rozpadu v infinitezimálním intervalu přímo úměrná jeho délce (čím déle budeme čekat, tím spíše něco přiletí): Zkoumejme celkový počet rozpadajících se částic: a) Nerozpadla se vůbec žádná. Pravděpodobnost, že se nic nestalo v intervalu <0,t> označme p0(t). Potom platí :

40. Poissonovo rozdělení ? Tato diferenciální rovnice má řešení ale protože víme, že v intervalu <0,0> se stoprocentně nic nerozpadne, je p0(0) = 1 => C = 1. Tedy pravděpodobnost, že se vůbec nic nerozpadne za čas t klesá s exponenciálou. Konstanta μ je popisuje vlastnost radioaktivního materiálu. b) Dopadla právě jedna částice. Tj. buď se rozpadla v prvním (dlouhém) intervalu, nebo v druhém (infinitezimálním). Tedy pravděpodobnost, že se NErozpadla právě jedna v prvním intervalu pravděpodobnost, že se rozpadla právě jedna pravděpodobnost, že se rozpadla v druhém intervalu pravděpodobnost, že se rozpadla právě jedna v prvním intervalu pravděpodobnost, že se NErozpadla žádná v druhém intervalu Jevy „jedna se rozpadla v prvním“ a „právě jedna se rozpadla v druhém“ se navzájem vylučují, chceme-li tedy pravděpodobnost, že se přihodil alespoň jeden z nich, musíme sečíst pravděpodobnosti každého zvlášť (padlo sudé číslo = padla 2 + padla 4 + padla 6).

41. Poissonovo rozdělení Znovu pak dojdeme k diferenciální rovnici : Tuto rovnici řeší funkce jak lze snadno ověřit. Takto bychom postupovali dále a dále : rozpadly se celkem dvě částice, rozpadly se celkem tři částice, … rozpadlo se celkem n částic. Výsledné řešení je

42. Poissonovo rozdělení p Siméon-Denis Poisson 1781 - 1840 μt μt μt počet částic (n) Toto je výraz pro Poissonovo rozdělení – hustota pravdě-podobnosti, že se v časovém intervalu o délce t rozpadne právě n částic. Pro pevně daný počet částic a proměnný čas je rozdělení spojité, zafixujeme-li ale čas a měníme počet částic, problém se stane diskrétním (obdobně jako pravděpodobnosti hodů na kostce).

43. Gaussovo rozdělení Karl Friedrich Gauss 1777-1855 Gaussovo normální rozdělení je jedno z nejdůležitějších statistických rozdělení vůbec. Popisuje například chyby při měření – opakovaně měřená veličina o té samé hodnotě vykáže na přístrojích toto rozdělení. Rozdělení je popsáno konstantami μ (poloha maxima na ose x) a σ (pološířka křivky v přibližně polovině výšky).

44. Podmíněná pravděpodobnost Příklad Ukažte, že parametr σ má význam vzdálenosti inflexních bodů na křivce od polohy střední hodnoty (μ). Spočítejte, jak vysoko jsou tyto body vůči ose x. Dále ukažte, že integrál gaussova rozdělení přes celý definiční obor je skutečně 1.

45. Střední hodnota 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 Některá rozdělení mají takový tvar, že určité hodnoty jsou preferované více, než jiné. Například házíme-li dvěma kostkami, málokdy padne součet 2, často ale padá součet 7: pravděpodob-nost součtu Pokud se podíváme na rozdělení pravděpodobnosti vrhu dvou kostek, vidíme, že maximální hodnotu má v bodě 7 (viz Osadníci z Katanu a zloděj  ). Tuto hodnotu můžeme získat výrazem :

46. Střední hodnota Pravděpodobnost jevu „veličina X padla jako xi“. Velké X může například znamenat „hod kostkou“. Vzorec pro výpočet střední hodnoty je vlastně vážený průměr. Dle definice je vážený průměr kde x1 … xn jsou hodnoty veličiny X a w1 … wn jejich váhy. Takto například spočítáme průměr prospěchu, kdy hodnoty xi jsou známky (1 až 5) a váhy počet známek, které student dostal. V případě rozdělení pravděpodobnosti je hodnota jevu vážena jeho pravděpodobností – tedy častěji se vyskytující jevy mají větší váhu, než zřídka se vyskytující jevy. Tedy kde n musí jít přes všechny možné jevy. Je-li jev spojitý, přejde suma na integrál :

47. Střední hodnota Střední hodnota rozdělení pravděpodobnosti Příklad Střední hodnota rozdělení nemusí být nutně jedním z jevů. Například střední hodnota pro jednoduché vrhy obyčejnou hrací kostkou je Číslo 3.5 na kostce nikdy nepadne, pokud ale učiníme velké množství hodů a uděláme z nich aritmetický průměr, bude se tomuto číslu blížit. Spočítejte střední hodnotu diskrétního rozdělení pn(i) a Gaussova normálního rozdělení.

48. Střední hodnota Střední hodnota rozdělení pravděpodobnosti Střední hodnota rozdělení má následující vlastnosti : 1 ) tj. je lineární. Podívejme se nejprve na diskrétní případ. Je třeba si uvědomit, že výraz aX+b znamená „každou náhodnou realizaci veličiny X vynásobme číslem a a přičtěme b“. Tedy z hodu kostkou {1,2,3,4,5,6} udělá 2X+3 čísla {5,7,9,11,13,15}. Pravděpodobnost jednotlivých hodů je ale stejná, p( X = xi ) je tedy rovna pravděpodobnosti p( aX + b = axi + b). Potom je obdobně

49. Střední hodnota Střední hodnota rozdělení pravděpodobnosti Střední hodnota rozdělení má následující vlastnosti : 2 ) 3 ) tj. realizujeme současně dvě náhodné veličiny (hody kostkami) a sečteme, pak střední hodnota je součtem středních hodnot jednotlivých veličin (každé kostky zvlášť). 4 ) pokud jsou veličiny X a Y na sobě zcela nezávislé. Veličiny jsou závislé, pokud jsou nějakým způsobem provázané – například položíme-li na kostky podmínku, že nesmí padnout dvě šestky současně (pokud se tak stane, házíme jednou z nich znovu). Důkaz souvisí s faktem, že pro pravděpodobnosti nezávislých jevů platí p(x.y) = p(x) . p(y) .

50. Rozptyl Rozptyl Rozptyl hovoří o tom, jak moc blízko se veličina „motá“ kolem střední hodnoty. Vysoký rozptyl znamená, že se daleko od E(X) vyskytuje často, zatímco nízký rozptyl znamená, že veličina obvykle padá do těsné blízkosti E(X). Definice je také možno přepsat na a dále jako Platí pro nezávislé veličiny