第十三章

1. 第十三章 函数列与函数项级数

2. 13.1 一致收敛性 一 点态收敛 二 函数项级数（或函数序列）的基本问题 三 函数项级数（或函数列）的一致收敛性 四 一致收敛性判别 五 小结

3. 问题的提出 问题:

4. （一）函数项级数的一般概念 一 点态收敛 现在我们将级数的概念从数推广到函数上去. 1.定义:

5. 2.收敛点与收敛域:

6. 3.和函数: (定义域是?) 函数项级数的部分和 余项 (x在收敛域上) 注意 函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.

7. 解 由达朗贝尔判别法 原级数绝对收敛.

8. 原级数发散. 收敛; 发散;

9. 4.函数项级数与其部分和 在本质上是完全一致的。

10. 二 函数项级数（或函数序列）的基本问题 1.极限运算与无限求和运算交换次序问题

11. 2.求导运算与无限求和运算交换次序问题 3.极限运算与无限求和运算交换次序问题

12. 三 函数项级数（或函数列）的一致收敛性 1.函数列及其一致收敛性

13. 2.函数项级数的一致收敛性 定义

14. y o x 几何解释:

15. 例2 解 余项的绝对值

17. 对于任意一个自然数 例3 研究级数 在区间( 0 , 1]内的一致收敛性. 解

18. 虽然函数序列 在( 0, 1 )内处处 收敛于 但 在( 0, 1 )内各点处收 敛于零的“快慢”程度是不一致的． 因此级数在( 0, 1 )内不一致连续． 说明: 从下图可以看出:

19. (1,1) 1 小结　一致收敛性与所讨论的区间有关．

20. 三一致收敛性判别 1．用定义 2.一致收敛的柯西准则 定理13-1（函数列一致收敛的柯西准则）

23. 由上确界的定义，亦有

27. 定理13-3（函数项级数一致收敛的柯西准则）

29. 4.一致收敛性简便的判别法： 定理13.5（Weierstrass判别法）

30. 证

31. 证明级数 例4

32. 证 （2）由此判别法所得结果是绝对一致收敛的.

33. 5.

38. 五、小结 点态收敛 函数项级数（或函数序列）的基本问题 函数项级数（或函数列）的一致收敛性 一致收敛性判别