Stellenwertsystem

1. Stellenwertsystem SS 2010

2. 1. Stellenwertkonzept: Zehnerkonzept Voraussetzungen: Konzept T-T-G und relationales Konzept 1. Es muss verstanden sein, dass jede Zahl für eine abstract composite unit steht und zerlegbar ist 2. Besondere abstract composite units sind die 10er 3. jedes Zahlwort in der fortgesetzten ZWR steht für das Anwachsen einer Menge um 1 Stellenwertverständnis setzt das Begreifen des Zusammen- spiels von Bündelungsprinzip und Stellenwert voraus (d.h. in die Beziehungen der Zahlen zueinander, insbesondere in die Beziehungen zwischen den Teilen und dem Ganzen

3. 1. Stellenwertkonzept: Zehnerkonzept Zehnerkonzept kommt nach Gerster nach dem Konzept des relationalen Zahlbegriffs; es ist die Verknüpfung des Konzepts der Bündelung mit dem T-G-Konzept Nur dann ist verständlich, dass eine Gesamtmenge von 37 Elementen aus Gründen der Übersichtlichkeit in 3 Zehnerbündel und 7 einzelne Einer eingeteilt werden kann. Resnick et al (1991): part-whole provides the framework for a concept of additive compositions of number hat underlies the place value system

4. 1. Stellenwertkonzept: Zehnerkonzept Komplexität des Zahlsystems nimmt mit wachsenden Mächtigkeiten zu; verfügt ein Kind über ein sicheres Konzept von 2-stelligen Zahlen, bedeutet das noch nicht, dass dieses Wissen auch ohne weiteres auf den fortschreitenden Zahlenraum übertragen werden kann Beispiel: 73 = 7 Zehner + 3 Einer identisch mit 60 + 13 Aber: 300 - 3 = 207

5. Prinzipien Stellenwertsystem basiert auf den grundlegenden Prinzipien von Bündelung Prinzip der Bündelung: Elemente einer Menge werden in gleich große Bündel eingeteilt Größe der Bündel ist im dezimalen Stellenwertsystem die 10

6. Stellenwertsystem auf Symbolebene Der Wert des einzelnen Zeichens ist durch seine Position bzw. Stelle in der Ziffernfolge bestimmt. Allein die Stelle, die eine Ziffer innerhalb einer Zahl ein- nimmt, bestimmt ihren Wert (Bsp.: 111)

7. Entwicklung des Stellenwertverständnisses Mit Zahlen > 20 begegnet Kind dem Stellenwertsystem Zur Zählkompetenz kommt Entwicklung eines Verständnisses für die strukturelle Regelhaftigkeit des Stellenwertsystems hinzu

8. Entwicklungsstufen Serial recall: Zahlwörter > 20 werden „auswendig“ gelernt Stufen nach Ross I. Whole numeral: zweistellige Zahl wird als ein Ganzes betrachtet, die beiden Ziffern stellen ein Symbol für eine große Menge dar II. Positional property: die beiden Ziffern haben unterschiedliche Bedeutung; Wissen ist auf die Position der Ziffern begrenzt, bezieht sich nicht auf die damit verbundene Quantität

9. Entwicklungsstufen III. Face value: jede Ziffer repräsentiert bestimmten Wert; Zehner werden als andere Einheiten als die Einer erkannt; es wird nicht erkannt, dass 1 Zehner 10 Einern entspricht und umgekehrt; Kind weiß auch nicht, dass die Zahl auf der Zehnerstelle ein Vielfaches von 10 bedeutet IV. Construction zone: Kind beginnt zu verstehen, dass die linke Ziffer einer zweistelligen Zahl angibt, wie oft ein Zehner vorhanden ist und dass die andere Ziffer für die Anzahl der Einer steht DasWissen ist aber noch unsicher und nicht gefestigt

10. Entwicklungsstufen V. understanding: Kind hat verstanden, dass die einzelnen Ziffern in der Zahl die Zerlegung einer Menge in Zehnerbündel und lose Einer repräsentieren. Es kann jetzt auch Nicht-Standardzerlegungen wie bspw. Viermal 10 + 12 ihren Stellenwerten entsprechend korrekt interpretieren.

11. Wie wird das Stellenwertsystem erworben? „Kinder, denen es an der Einsicht in das Stellenwertsystem mangelt, haben vermutlich nicht lange genug mit geeignetem Material hantieren dürfen.“ (MILZ, 1993, 59) Wir fragen: Entsteht Stellenwertverständnis aus dem Hantieren mit Zehnerstangen und Einerwürfeln? Werden Zahlbegriffe und -verständnis von Wahrnehmungsleistungen und Materialmanipulationen hervorgebracht? Beziehungen und Sinnzusammenhänge drängen sich dem Kind einfach auf, wenn die visuellen Wahrnehmungsleistungen ausreichend gut sind und es lange genug mit Material hantiert hat? Wir widersprechen: Mathematische Konzepte sind nicht unmittelbare Destillate von sensomotorischen Leistungen und Erfahrungen und nicht darauf reduzierbar.

12. Aufgaben zum Stellenwert“verständnis“ Funktioniert das so?

13. Inwieweit hilft die Entwicklungssequenz nach Ross? Die mathematische Analyse der Stellenwerte nach ROSS (1986) ist für die Analyse der vom Kind zu leistenden Neustrukturierung seines Zahlverständnisses nur wenig hilfreich ist. Wir müssen die Perspektive wechseln: - Was versteht das Kind unter einer Zahl, wenn diese für das Kind noch keine Stellenwerte, sondern nur einen Gesamtwert hat? - Wie bekommt dieser Wert allmählich weitere Bedeutungen, in denen Zehner und Einer die Bausteine der Zahl sind? - Welches Verständnis der Zehner und Einer befähigt zu flexiblem und verständigem Rechnen rein auf Zahlenebene?

14. Was wissen Schüler über das Stellenwertsystem, selbst wenn sie es erfolgreich anwenden

15. Prinzipien des Stellenwertverständnisses Stellenwertverständnis: Integration dreier Komponenten (konzeptuelles Wissen über Zehner und Einer einerseits, und prozedurales Wissen darüber, wie Zahlwörter gebildet und Zahlen geschrieben werden, andererseits) (van de Walle) Bevor Kinder ein Stellenwertkonzept erwerben, gründet ihr Zahlverständnis auf einerweisem Abzählen einer ansonsten ungegliederten Menge diskreter, gleicher Elemente.

16. Die schwierigste Erkenntnis beim Erwerb von Stellenwertverständnis ist, dass die Zahl auch eine durch Zehnergruppen und Einzelne strukturierte Menge symbolisiert. Zehnergruppen müssen mit einerweise abgezählten Mengen verknüpft werden. Van de Walle betont, dass das Herstellen einer Beziehung zwischen Zehnergruppen und Einzelnen nicht mit einer prozeduralen Leistung, wie z. B. dem Eintragen von Zehnergruppen in eine Stellenwerttabelle, gleichgesetzt werden darf.

17. „We want children to construct the idea that all of these are the same and that the sameness is clearly evident by virtue of the groupings of tens.“ (VAN DE WALLE, 155)

18. Ten as a composite unit (Steffe & Cobb) Voraussetzung: Kinder müssen die Zahlals abstrakte Einheit verstehen: Das Zahlwort „Sieben“ oder die Ziffer „7“ stehen für bzw. symbolisieren sieben Zählakte (gleichgültig ob von 1 bis 7 oder von 9 bis 15) und jedes Muster aus sieben Einheiten, welches das Kind sich vorstellen oder allgemein „repräsentieren“ kann. Sieben wird als eine zusammengesetzte Einheit („composite unit“) verstanden, „Einheit“ im Sinne einer Siebenheit. Bevor dieses Zahlverständnis erworben wurde, ist die Entwicklung einer Zehnervorstellung, geschweige denn eines Zehnerkonzeptes ausgeschlossen.

19. Ten as a composite unit Entsprechend müssen Kinder lernen, „zehn“ als ein „composite unit“ zu verstehen Sagt man dem Kind, hier sind 14 Elemente, 10 weitere sind versteckt, wird es die Summer zählend ermitteln Das Kind wird nicht unbedingt die Summe als 10 mehr als 14 verstehen. Das Kind, das die Reihe 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21,22, 23, 24 als eine Reihe von zehn Zahlen versteht, begreift sie nicht notwendig als eine „Zehn“ als Teil der 24.

20. Stellenwert als T-T-G-Konzept Das Ergebnis:24 ist um 10 größer als 14verlangt, dass eine bestimmte Beziehung zwischen 14, 10 und 24 hergestellt wird, die Beziehung von Teilen zu einem Ganzen. Um die Reihe als Zehn in der 24 zu verstehen, muss es sie aus der 24 herauslösen, als eigene Zahl („composite unit“) betrachten (10) und sie zugleich in der 24 eingebettet lassen, neben dem anderen Teil (14). COBB UND WHEATLEY weisen hier darauf hin, dass es für das Kind nicht trivial und keine Angelegenheit der Wahrnehmung ist, Zehnerbündel zugleich als Eins und als Zehn zu sehen oder durch raschen Wechsel der Perspektive dieser Äquivalenz nahe zu kommen.

21. Problem: Ten as an abstract singleton Wichtig, dass der Zehner als Einheit konstruiert wird, die zehn andere Einheiten („Einer“) enthält (bezeichnet als „abstract composite unit“). Bericht aus einem Schulexperiment: „In many respects, they did not construct ten as a structure composed of ones when they operated in the school context – ten was, for them, one thing which was not itself composed of units. Consequently, the meanings the children gave to „ten“ and to „one“ were unrelated to each other – the tens were not made up of ones and the ones could not be constructed by unpacking a ten for the simple reason that there was no structure to unpack.“ (COBB & WHEATLEY,1)

22. Problem: Ten as an abstract singleton Kinder, die Zehner als „abstract singletons“ auffassen, können lernen, Zehnermaterial und Einermaterial koordiniert mit der Zehnerreihe (10, 20, 30, ...) und Einerschritten zu zählen. Sie können auch lernen, die Zahlwortreihe „4, 14, 24, 34 usw.“ zu bilden. Additionsaufgaben oder additive Ergänzungsaufgaben können sie (nur) lösen, wenn sie erst Zehner und dann Einer zählen können, wobei entsprechend strukturiertes Material entweder (teilweise) vorliegt oder vorgestellt wird. Es kommt jedoch vor, dass diese Kinder plötzlich Zehnermaterial und Einermaterial nicht mehr unterscheiden (und z. B. drei Zehner und sechs Einer zu neun addieren).

23. Ten as abstract composite unit Was charakterisiert das Kind, das den Zehner als „abstract composite unit“ konstruiert hat? Das Kind kennt Zehner, die es als ein Ding behandeln kann – wenn es in Zehnerschritten zählt und Zahlen durch gegenständliche Zehner und Einer darstellt – , und dieser Zehner besitzt eine „Zehnheit“ („tenness“) – unter gewissen Voraussetzungen. Das Kind kann koordiniert in Zehner- und Einerschritten zählen, auch in der Mitte einer Dekade beginnend. Es braucht allerdings zumindest die Vorstellung, dass die Zehner und Einer, die es zählt, als Zehnerbündel und Einer vorliegen. Es ist „dependent on representations of some kind“ (COBB & WHEATLEY, 7).

24. Problem Um ein Zahlenproblem mit Hilfe von Zehnern und Einern zu lösen, ist das Kind noch abhängig von der Vorstellung eines gegenständlichen Zehners. Außerdem vergrößert das Zählen in Zehnerschritten nicht um zehn. Das Kind schüttet gewissermaßen nicht einen Zehnerschritt (einen Zehner) als zehn Einer(schritte) in ein Gefäß, das nachher die gesamte Zahl aus Einern enthält. Es fällt dem Kind schwer, bei der Durchführung eines schriftlichen Rechenverfahrens (rein auf Zahlenebene) die Zahlen als Kombinationen von „echten“ Zehnern (zehn Einern entsprechend) und Einern zu denken. Die Zahl als Kombination aus Zehner und Einern und die Zahl, die einheitlich aus Einern zusammengesetzt gedacht wird, stehen offenbar eine Zeitlang nebeneinander, sind nur durch Anschauungsmaterial und eine sprachliche Regel aufeinander bezogen, aber noch nicht durch eine reversible Beziehung zwischen Zehnern und Einern auf mentaler Ebene.

25. Ten as an iterable unit or abstract collectible unit Wenn Kinder diese beiden Einschränkungen überwinden, haben sie Zehn als „iterable unit“ konstruiert, oder in äquivalenter Bedeutung: Zehn als „abstract collectible unit“. Die Kinder können dann, ohne dass irgendein Hinweis auf Zehner- und Einermaterial vorliegt, in Zehnern und Einern (bzw. in Zehner- und Einerschritten) denken und diese – nunmehr abstrakten mentalen – Einheiten beim Problemlösen einsetzen. Ein Zehner steht für zehn aus einem Ganzen, das aus Einern besteht, zwei Zehner stehen für zwanzig aus einem Ganzen, das aus Einern besteht.