AS_TP41 Liczby Fibonacciego

2. 97/58_MF_G2 Matematyczno-fizyczna AS_TP41 Liczby Fibonacciego

3. Liczby Fibonacciego w przyrodzie „Jeżeli matematyka jest królową nauk, to królową matematyki jest teoria liczb”. C.F. Gauss NEXT->

4. Leonardo Fibonacci Leonardo Fibonacci (ur.1175 zm.1250) • Był to włoski matematyk; znany również jako: Fibonacci, Filius Bonacci (syn Bonacciego) czy Leonardo Pisano (z Pizy). • Jego ojciec, Guilielmo z rodziny Bonacci, zajmował stanowisko dyplomatyczne w Afryce północnej i Fibonacci tam właśnie się kształcił. Pierwsze lekcje matematyki pobierał od arabskiego nauczyciela w mieście Boużia (dziś algierska Bidżaja). Dużo podróżował najpierw razem z ojcem, później samodzielnie, odwiedzając i kształcąc się w takich miejscach jak Egipt, Syria, Prowansja, Grecja i Sycylia. W czasie swych podróży po Europie i po krajach Wschodu miał okazję poznać osiągnięcia matematyków arabskich i hinduskich, między innymi dziesiętny system liczbowy. • Około 1200r. Fibonacci zakończył podróże i powrócił do Pizy. NEXT->

5. Co to jest ciąg Fibonacciego? Jest to ciąg liczb naturalnych, który jest określony rekurencyjnie w następujący sposób: • Dwa pierwsze wyrazy ciągu wynoszą „1” , a każdy następny wyraz jest sumą dwóch poprzednich :1+2=3; 2+3=5; 5+8=13 itd. Interesujący nas ciąg przedstawia się w skrócie w ten sposób: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144 itd. Kolejne wyrazy tego ciągu nazywamy liczbami Fibonacciego. Ten ciąg posiada też inne właściwości: • jeśli podzielimy liczbę przez liczbę następną w ciągu, zawsze otrzymamy wynik zbliżony do wartości 0,618, np. : 5/8=0,625; 34/55=0,618; 89/144=0,618 • jeśli podzielimy liczbę przez jej poprzedniczkę to otrzymamy wynik oscylujący wokół wartości 1,618, np. : 55/34=1,617, 144/89=1,6179, 233/144=1,618 Obie te właściwości znane są w geometrii jako złoty podział <-klik. Jeżeli chcielibyśmy podzielić liczbę przez drugą z kolei liczbę zawsze otrzymamy wartość bliską 0,382, przykładowo: 34/89=0,382, 55/144=0,381 itd. ARCHITEKTURA->

6. Złoty podział Podział harmoniczny, złota proporcja polega na podziale odcinka na dwie części tak, by stosunek długości dłuższej z nich do krótszej był taki sam, jak całego odcinka do części dłuższej (stosunek ten nazywa się złotą liczbą i oznacza grecką literą φ ). Innymi słowy: długość dłuższej części ma być średnią geometryczną długości krótszej części i całego odcinka. Złoty podział wykorzystuje się często w estetycznych, proporcjonalnych kompozycjach architektonicznych, malarskich, fotograficznych. ARCHITEKTURA-> LICZBY LUCASA->

7. Parthenon na Akropolu • fronton świątyni mieści się w złotym prostokącie • plan świątyni jest złotym prostokątem NEXT->

8. Linia I dzieli na dwie części całą postać w złotej proporcji, linia E wskazuje złotą proporcję między głową a górną częścią tułowia linia O zaznacza podział nóg w kolanach według złotego cięcia Apollo Belwederski NEXT->

9. Leonardo Da Vinci –kanon proporcji NEXT->

10. Zastosowanie liczb Fibonacciego Ciąg liczb Fibonacciego jest używany przez wielu inwestorów na całym świecie. Istnieje też rozległa literatura na ten temat, nie tylko dotycząca użycia liczb Fibonacciego w tradingu, ale także w matematyce czy architekturze. Liczby Fibonacciego w inwestycjach najczęściej używane są w dwojaki sposób: jako zniesienia wyznaczające poziomy ceny w pionie oraz jako poziomy docelowe ceny w czasie (poziomie). Okazuje się, że liczby Fibonacciego opisują różne wielkości przyrodnicze, jak np. liczbę płatków kwiatów (stokrotki stanowią sztandarowy przykład, typowo liczba płatków równa jest 34, 55 albo 89!), liczbę pędów roślin w kolejnych fazach wzrostu, czy też liczbę spiral w różnych konstrukcjach spiralnych (spirale prawoskrętne i lewoskrętne), takich jak kwiatostany słonecznika, owoc ananasa czy szyszki. Rozmnażanie królików Nowe pędy PRZYKŁADY-> Truteń i pszczoła Słonecznik

11. Rozmnażanie się królików Leonardo Fibonacci, w swojej książce Liber abaci zajął się problemem dotyczącym rozmnażania się stada królików. Zasady tego eksperymentu mentalnego są proste: zaczynamy od jednej pary, każda samica królika wydaje na świat potomstwo w miesiąc po kopulacji; konkretnie jednego samca i jedną samicę. W miesiąc po urodzeniu królik może przystąpić do reprodukcji.Jak w takiej sytuacji będzie wyglądał rozwój naszej farmy, ile królików będzie liczyła po jednym roku? Przy końcu ostatniego miesiąca możemy się spodziewać krótkiego sparingu w pierwszej parze królików. Pod koniec drugiego miesiąca samica urodzi parę młodych tak więc na farmie będą już dwie pary. W trzecim miesiącu będziemy mieli już trzy pary, gdyż pierwsza samica wyda na świat kolejne potomstwo, a urodzone wcześniej przystąpi do kopulacji itd. W łatwy sposób można obliczyć, że liczebności w kolejnych miesiącach będą wynosić 1,1,2,3,5,8,13,21,34...Kolejne jego elementy stanowią sumę dwóch wcześniejszych np. 21=13+8. „Pewien człowiek wział pare królików i umiescił je w miejscu otoczonym ze wszystkich stron murem. Ile par królików urodzi sie z tej pary w ciagu roku, jesli załozymy, ze z kazdej pary po miesiacu rodzi sie nowa para, która staje sie płodna po upływie kolejnego miesiaca?” Liber abaci rozdział III. <-BACK

12. Truteń i pszczoła • Trutnie (samce pszczoły) mają tylko matkę - królową, powstają bez udziału ojca, podczas gdy królowe mają już dwoje rodziców - inną królową i trutnia.Niech Tn oznacza liczbę n - praprzodków. • Widać już, że na poziomie pierwszych pradziadków truteń ma dwie prababcie i jednego pradziadka, łącznie troje; piętro wyżej, na poziomie drugich pradziadków - pięcioro. Ogólnie na poziomie n - tych pradziadków ma dokładnie • Tn-1   n - prababć oraz Fn-2   • n - pradziadków; łącznie • Tn= Tn-1 + Tn-2   n - praprzodków. <-BACK

13. Nowe pędy • Na rysunku po prawej stronie pokazane jest drzewo, które rośnie podobnie, jak rozmnażają się króliki w modelu Fibonacciego: każda gałąź przez pierwszy rok jedynie wzrasta, a w każdym następnym roku wypuszcza jedną młodą gałąź. Ten model wzrostu wydaje się być nawet bardziej realistyczny, niż rozmnażanie się stada królików - biolodzy potrafią wskazać drzewa, które tak właśnie się rozrastają. <-BACK

14. Słonecznik • W przypadku słonecznika również jego ulistnienie podporządkowane jest ciągowi Fibonacciego – liście wyrastają wokół łodygi, w maksymalny sposób wykorzystując dostęp do światła i wody spływającej wzdłuż łodygi, czyli – gdybyśmy spojrzeli z góry – jeden drugiego nie zasłania, bowiem cechują się spiralną filotaksją (ulistnieniem), a liście układają się wzdłuż helisy – spirali okrążającej łodygę. Określa się ją, licząc obroty, a także odległości między liczbami – dla wielu roślin te liczby są liczbami Fibonacciego. <-BACK

15. Przykłady • Gdyby przyjrzeć się z bliska łuskom szyszki, ananasa, ziarnom na tarczy słonecznika czy kwiatom kalafiora – można zauważyć, że układają się spiralnie, a ich przyrost również podlega regułom słynnego ciągu – wystarczy policzyć liczbę prawo- i lewoskrętnych spiral – pestki słonecznika czy różyczki kalafiora ułożone są wzdłuż logarytmicznych krzywych, które grupami biegną w różnych kierunkach, na przykład34 lewoskrętne i 55 prawoskrętnych. A 34 i 55 to nic innego, jak liczby Fibonacciego. NEXT->

16. Spirala Fibonacciego • Gdyby spojrzeć na muszlę łodzika (morskiego mięczaka) w przekroju: widać, że ułożona jest spiralnie i zbudowana z szeregu komór, z których każda następna jest większa od poprzedniej dokładnie o tyle, ile wynosi wielkość tej poprzedniej. Wynika to z faktu, że im są większe, tym szybciej rosną. Być może trudno uwierzyć, że układ muszli zgodny jest z jakimkolwiek ciągiem, ale wystarczy spojrzeć na graficzny obraz spirali Fibonacciego: Wyraźnie widać, że (pomijając dwa pierwsze, najmniejsze) kolejne kwadraty są większe od poprzedzających dokładnie o sumę ich ścianek, co zgodne jest z regułą naszego ciągu. NEXT->

17. Liczby Lucasa Tworzonesą w takisamsposóbjakliczbyFibonacciego, jednakpoczątkoweliczbysąrówne 2 i 1. KażdanastępnaliczbaLucasa jest sumądwóchpoprzednich. • CiągLucasa to ciągliczbokreślonyrekurencyjnie w sposóbnastępujący:L0 = 2L1 = 1 Ln = Ln-1 + Ln-2,   dlan > 1 • Początkowewartościciągu to:2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, ... • NiechFnoznaczan-tąliczbęciąguFibonacciego. W ciąguLucasazachodząrówności:Ln = Fn-1 + Fn+1 5Fn = Ln-1 + Ln+1F2n = LnFn • Podobniejak w przypadkuliczbFibonacciego, stosunkikolejnychliczbLucasadążątakże do liczbyzłotegopodziału <-klik (jeśli wcześniej tego nie zrobiłeś): Φ= \5+12=1,6180339887498948482..., • a stosunekLnFnmiędzyodpowiednimiliczbamiLucasaiFibonacciegodąży do \5. NEXT->

18. Trójkąt Pascala Własności trójkąta: • Na skrajnych bocznych (zerowy) rzędach trójkąta są jedynki. • W kolejnym (pierwszym) skrajnym bocznym rzędzie są kolejne liczby naturalne (1, 2, 3, 4, ...). • W drugim rzędzie różnice między sąsiednimi liczbami są kolejnymi liczbami naturalnymi (są to liczby trójkątne). Liczby trójkątne podają liczbę okręgów ułożonych w kształt trójkąta (1, 3, 6, 10, ...). • W trzecim liczby piramidalne, podają liczbę kulek ułożonych czworościan foremny (1, 4, 10, 20, 35) • W czwartej liczbę kul w "czworościanie" w przestrzeni czterowymiarowej. • Uogólniając, w n tym rzędzie bocznym znajdują się liczby n-komórkowe. • Sumy liczb w poziomych rzędach to kolejne potęgi liczby 2. Każda liczba w trójkącie jest sumą dwóch liczb znajdujących się bezpośrednio nad nią NEXT->

19. Wzór Bineta Jawny wzór na n-ty wyraz ciągu Fibonacciego możemy otrzymać np. korzystając z metody funkcji tworzących. Zdefiniujmy ciąg i dla tego ciągu fn obliczmy wzór na jego n-ty wyraz. Funkcja tworząca dla tego ciągu ma postać : NEXT->