BAB VI
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 20

BAB VI RUANG VEKTOR EUCLIDEAN PowerPoint PPT Presentation


  • 196 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

BAB VI RUANG VEKTOR EUCLIDEAN. 6.1 RUANG BERDIMENSI n EUCLIDEAN Jika n adalah suatu bilangan bulat positif, maka tupel n berurutan (ordered n tuple) adalah suatu urutan dari n bilangan ril ( a 1 , a 2 , . . . , a n ). Himpunan semua tupel n berurutan disebut ruang

Download Presentation

BAB VI RUANG VEKTOR EUCLIDEAN

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Bab vi ruang vektor euclidean

BAB VI

RUANG VEKTOR EUCLIDEAN


Bab vi ruang vektor euclidean

6.1 RUANG BERDIMENSI n EUCLIDEAN

Jika n adalah suatu bilangan bulat positif, maka tupel

n berurutan (ordered n tuple) adalah suatu urutan dari

n bilangan ril (a1, a2, . . . , an).

Himpunan semua tupel n berurutan disebut ruang

berdimensi n(n-space) dan dinyatakan sebagai Rn.

z

z

Tripel berurutan

(a1, a2, a3) dapat

diinterpretasikan

secara geometris

sebagai suatu titik

atau suatu vektor

(a1, a2, a3)

(a1, a2, a3)

y

y

x

x


Bab vi ruang vektor euclidean

Definisi

Dua vektor u = (u1, u2, . . . , un) dan v = (v1, v2, . . . , vn)

pada Rn disebut sama (equal) jika

u1 = v1, u2 = v2, … , un = vn

Jumlah (sum) u + v didefinisikan sebagai

u + v = (u1 + v1, u2 + v2, … , un + vn)

Jika k adalah suatu skalar, maka kelipatan skalar

(scalar multiple) ku didefinisikan sebagai

ku = (ku1, ku2, . . . , kun)


Bab vi ruang vektor euclidean

6.1.1 Sifat-sifat Operasi Vektor pada Ruang Berdimensi n

Teorema

Jika u = (u1, u2, . . . , un), v = (v1, v2, . . . , vn), dan

w = (w1, w2, . . . , wn) adalah vektor-vektor pada Rn serta k dan l adalah skalar, maka

a) u + v = v + u

b) u + (v + w) = (u + v) + w

c) u + 0 = 0 + u

d) u + (–u) = 0

e) k(lu) = (kl)u

f) k( u + v) = ku + kv

(k + l) u = ku + lu

1u = u


Bab vi ruang vektor euclidean

Definisi

Jika u = (u1, u2, . . . , un) dan v = (v1, v2, . . . , vn)

adalah vektor-vektor sembarang, maka hasil kali dalam

Euclidean (Euclidean Inner Product) u . v didefinisikan

sebagai,

u . v = u1v1 + u2v2+ … + unvn

Contoh 6.1

Hasil kali dalam Euclidean dari vektor-vektor

u = (-1, 3, 5, 7) dan v = (5, -4, 7, 0) pada R4 adalah

u . v = (-1)(5) + (3)(-4) + (5)(7) + (7)(0) = 18


Bab vi ruang vektor euclidean

Sifat-sifat Hasil Kali Dalam Euclidean

Teorema

Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor pada Rn dan k

adalah suatu skalar, maka:

a) u . v = v . u

b) (u + v) . w = uw + vw

c) (ku) . v = k(u . v)

d) v.v 0


Bab vi ruang vektor euclidean

6.1.2 Norma dan Jarak pada Ruang Berdimensi n Euclidean

Jika u = (u1, u2, . . . , un), maka norma vektor u (ditulis dengan lambang ||u|| pada Rn adalah

Jarak Euclidean (Euclidean Distance) antara titik

u = (u1, u2, . . . , un) dan titik v = (v1, v2, . . . , vn) pada

Rn didefinisikan sebagai,


Bab vi ruang vektor euclidean

Contoh 6.2

Jika u = (1, 3, -2, 7) dan v = (0, 7, 2, 2), maka pada R4


Bab vi ruang vektor euclidean

Ketidaksamaan Cauchy-Schwarz pada Rn

Teorema

Jika u = (u1, u2, . . . , un) dan v = (v1, v2, . . . , vn) adalah vektor-vektor pada Rn, maka:

|u . v|  ||u|| ||v||

Dalam bentuk komponen dapat ditulis menjadi

|u1v1 + u2v2+ … + unvn|  (u12 + u22+ u32)1/2(v12 + v22+ v32)1/2


Bab vi ruang vektor euclidean

Sifat-sifat Panjang pada Rn

Teorema

Jika u dan v adalah vektor-vektor pada Rn dan k adalah suatu skalar, maka:

a) ||u||  0

b) ||u|| = 0 jika dan hanya jika u = 0

c) ||ku|| = |k| ||u||

||u + v||  ||u|| + ||v|| (ketidaksamaan segitiga)


Bab vi ruang vektor euclidean

Sifat-sifat Jarak pada Rn

Teorema

Jika u , v dan w adalah vektor-vektor pada Rn dan k adalah suatu skalar, maka:

a) d(u, v)  0

b) d(u, v) = 0 jika dan hanya jika u = v

c) d(u, v) =d(v, u) =||ku|| = |k| ||u||

d(u, v) d(u, w) + d(w, v) (ketidaksamaan segitiga)

Teorema

Jika u dan v adalah vektor-vektor pada Rn dengan hasil kali dalam Euclidean, maka:

u . v = 1/4 || u + v ||2 – 1/4 ||u – v||2


Bab vi ruang vektor euclidean

6.1.2 Ortogonalitas (ketegaklurusan)

Definisi

Dua vektor u dan v pada Rndisebut ortogonal jika

u . v = 0

Contoh 6.3

Jika u = (-2, 3, 1, 4) dan v = (1, 2, 0, -1),

maka ruang Euclidean R4 adalah ortogonal karena

u . v = (-2)(1) + (3)(2) + (1)(0) + (4)(-1) = 0

Teorema

Jika u dan v adalah vektor-vektor ortogonal pada Rn

dengan hasil kali dalam Euclidean, maka

|| u + v ||2 = ||u||2 + ||v||2(teorema Phytagoras)


Bab vi ruang vektor euclidean

Rumus matriks untuk hasil kali titik

Jika u dan v dinyatakan dalam notasi matriks kolom

berikut,

Sehingga,

u . v = vTu = u1v1 + u2v2+ … + unvn


Bab vi ruang vektor euclidean

Contoh 6.4

= (5)(–1) + (–4)(3) + (7)(5) + (0)(7) = 18


Bab vi ruang vektor euclidean

Jika A adalah matriks n x n maka berlaku,

Au . v = vT (Au) = (vTA) u = (AT v)T u = u . AT v

u . Av = (Av)Tu = (vT AT) u = vT(AT u) = AT u . v

Contoh 6.5

Diketahui

Buktikan bahwa Au . v = u . AT v

Bukti


Bab vi ruang vektor euclidean

Au . v = (7)(–2) + (10)(0) + (5)(5) = 11

u . ATv = (–1)(–7) + (2)(4) + (4)(–1) = 11

Terbukti Au . v = u . ATv


Bab vi ruang vektor euclidean

Latihan

Diketahui,

Buktikan bahwa Au.v = u.ATv


Bab vi ruang vektor euclidean

Tampilan Hasil Kali Titik dari Perkalian Matriks

Misal A = [aij] adalah matriks m x n

B = [bij] adalah matriks r x n

Maka elemen ke ij dari AB adalah:

ai1 b1j +ai2 b2j + … + air brj

yang merupakan hasil kali titik dari vektor baris ke i dari A

[ai1 ai2 … air]

dan vektor kolom ke j dari B

b1j

b2j

brj


Bab vi ruang vektor euclidean

Jika vektor-vektor baris A adalah r1, r2,… ,rn dan vektor-vektor kolom B adalah c1, c2,… ,cn , maka matriks hasil kali AB dinyatakan sebagai,

Secara khusus, suatu sistem linier Ax = b dapat dinyatakan dalam bentuk hasil kali titik sebagai,


Bab vi ruang vektor euclidean

Contoh 6.6

Sistem persamaan linier,

3x1 – 4x2 + x3 = 1

2x1 – 7x2 – 4x3 = 5

x1 + 5x2 – 8x3 = 0

Dapat ditulis dalam bentuk hasil kali titik,

(3, –4, 1) . (x1, x2, x3) 1

(3, –4, 1) . (x1, x2, x3) = 5

(3, –4, 1) . (x1, x2, x3) 0


  • Login