第五章量子力学的表象变换与矩阵形式

第五章量子力学的表象变换与矩阵形式 • 量子态的不同表象，幺正变换 • 力学量的矩阵表示 • 力学量的表象变换

平面坐标系x1和x2的基矢e1和e2，长度为1，彼此正交，即平面坐标系x1和x2的基矢e1和e2，长度为1，彼此正交，即 x2 x’2 A’2 （1） A A2 平面上的任何一个矢量都可用它们来展开, θ e2 e’2 e1 O x1 θ A1 e’1 A’1 x’1 5.1量子态的不同表象，幺正变换 5.1.1 坐标表象通过坐标变换,以引进量子力学中的表象及表象变换的概念. 表象: 量子力学中的态和力学量的具体表示方式称为表象. （2） A1和A2表示矢量A在两个分量坐标上的投影。

假设另一个x’1x’2直角坐标系，由 原来的坐标系顺时针旋转θ角,其基矢为e’1e’2, 满足（1’）在此坐标中，矢量A表示成（2’）对上式分别用e’1, e’2点乘（4）（3）

x2 x’2 A’2 A A2 θ e2 e’2 e1 O x1 θ A1 e’1 A’1 x’1 写成矩阵的形式（5）（6） R（θ）称为变换矩阵元，是两个坐标系基矢之间的标积。当R确定后，任何两个坐标系之间的关系也就确定了。其转置矩阵表示为

变换矩阵R与其转置矩阵之间的关系为 （7）因为R＊=R，

5.1.2 Representation Theory (表象理论) 一个粒子的态完全可由归一化的波函数ψ(r,t)来描述，将ψ(r,t)称为坐标表象。下面将讨论用动量为变量描述波函数。将ψ(r,t) 还可表示成（11）在整个动量空间积分。c(p,t)为展开系数， ψp(r )是动量的本征函数。（12）

（13） 如果已知ψ(r,t) 就可以通过上式得到c(p,t)，反过来也成立。（14）显然， c(p,t)描述的粒子态与ψ(r,t)描述的粒子态同样完整。已知c(p,t)，就可以求出ψ(r,t)，反之也一样。即c(p,t)和ψ(r,t)描述的是粒子态同一个状态。因此，将c(p,t)称为粒子态的动量表象。

那么在动量表象中，坐标的平均值可以表示为 其它观测量的平均值类似可表示出。

如果ψ(x,t)描述的状态是动量p’的自由粒子的状态如果ψ(x,t)描述的状态是动量p’的自由粒子的状态在动量表象中，具有确定动量p’的粒子波函数是函数。

求1）粒子动量的几率分布； 2）粒子的平均动量解：由于波函数为归一化，首先要对波函数进行归一化例题：一维粒子运动的状态是

动量的几率分布为 动量的平均值为

3. 能量表象 考虑任意力学量Q本征值为1, 2,…, n…,对应的正交本征函数u1(x), u2 (x),… un (x)…, 则任意波函数（x）按Q的本征函数展开为（16）下标n表示能级，上式两边同乘以u*m(x), 并积分（17）粒子态完全由an完全集确定，即能量表象。

因为所以是对应力学量Q取不同能量本征值的几率

因为波函数是归一化的，表示成 可表示成一列矩阵的形式其共轭矩阵为一行矩阵

n=0: n=1: 例题1：一维谐振子的能量表象中不同能量本征值的波函数因为系统的波函数是正交归一的波函数，表示为

总结直角坐标系中，矢量A的方向由i,j,k三个单位矢量基矢决定，大小由Ax,Ay,Az三个分量（基矢的系数）决定。在量子力学中，选定一个F表象，将Q的本征函数u1(x), u2(x),… un(x),…看作一组基矢，有无限多个。大小由a1(t), a2(t), …an(t),…系数决定。所以，量子力学中态矢量所决定的空间是无限维的空间函数，基矢是正交归一的波函数。数学上称为希尔伯特（Hilbert）空间. 常用的表象有坐标表象、动量表象、能量表象和角动量表象

在动量表象中，x的算符表示为 例题2质量为m的粒子在均匀力场f(x)=-F(F>0)中运动，运动范围限制在x0, 试在动量表象中求解束缚态能级和本征函数。解：势能为V（x）＝Fx，总能量为

定态的薛定谔方程 E可由贝塞尔函数解出，基态能级为

习题4.1求在动量表象中角动量Lx的矩阵元和L2x的矩阵元习题4.1求在动量表象中角动量Lx的矩阵元和L2x的矩阵元解：Lx在动量表象中的矩阵元第一项

第二项也可以导出，则Lx的矩阵元

设算符F有如下关系： 4. 2算符的矩阵表示在Q表象中，Q的本征值分别为Q1，Q2，Q3，…Qn…, 对应的本征函数分别为u1(x), u2(x),… un(x),…. 将(x,t)和 (x,t)分别在Q表项中由Q的本征函数展开代入上式，

两边同乘以u*n(x), 并在整个空间积分 利用本征函数un(x)的正交性

引进记号 这就是在Q表项中的表述方式。表示成矩阵的形式：

即将满足该式的矩阵称为厄米矩阵矩阵Fnm的共轭矩阵表示为因为量子力学中的算符都是厄米算符，（23）

Fnm的转置矩阵为 例如例如根据厄米矩阵的定义所以若在转置矩阵中，每个矩阵元素用它的共轭复数来代替，得到的新矩阵称为F的共轭矩阵

能量表象 例题（习题4.2）求一维无限深势阱中粒子的坐标和动量在能量表象中的矩阵元

Q在自身表象中的矩阵元 Qm为Q在自身空间中的的本征值如X在坐标空间中可表示为动量p在动量空间中表示为结论：算符在自身的表象中是一个对角矩阵

一维无限深势阱能量表象中能量的矩阵元 一维谐振子能量表象中能量的矩阵元

在动量空间中，算符F的矩阵元 两矩阵之积矩阵Fpp’是动量空间。矩阵F＝（Fmnδmn）称为对角矩阵（diagonal matrix ）, 当Fmn=1, 称为单位矩阵（unit matrix）,表示为I＝(δmn). 两个矩阵的和为两个矩阵的分量之和。设C为两矩阵之和 Cmn=Amn＋Bmn（42）

4.3 量子力学公式的矩阵表述 1. 平均值公式

简写为 写成矩阵形式（51）

解：例题求一维无限深势阱中，当n=1和n=2 时粒子坐标的平均值

2. The Eigenvalue Problem 在量子力学中最重要的问题是找算符的本征值和本征函数。首先，算符F的本征函数满足（54）（55）

有非零解的条件是其系数行列式为零 这是一个线性齐次代数方程组（60）这是一个久期（secular）方程。将有1， 2 …. nn个解,就是F的本征值。

例题：求算符x在下面波函数中的本征值, [-a,a]区间解：则

该行列式有解的条件是其系数行列式为零 两个本征值分别为

薛定谔方程 （77）不显含时间的波函数的能量表象（78）波函数根据哈密顿本征函数展开（79）代入薛定谔方程（80） 3.矩阵形式的薛定谔方程 The Schrödinger Equation in Matrix Form

两边同乘以 并积分简写为 H，均为矩阵元。（81）（82）

线性谐振子的总能量为 解法一：在动量表象中，x的算符表示为：则H算符表示为定态的薛定谔方程写为例题：求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数

解法二 c（p）是动量表象中的本征函数仿照一维谐振子坐标空间的求解方法可解出c(p)。

当n＝0时，

（64） 算符F在A表象中（65）（66）算符F在B表象中（67） 1. Unitary Transformation（幺正变换）讨论从一个表象变换到另一个表象的一般情况。设算符A的正交归一的本征函数ψ1(r ) ， ψ2(r )，… ψn(r ); 设算符B的正交归一的本征函数1(r ) ， 2(r )，… n(r );

（68） 两边同乘以并积分得（69）同理确定Fmn与F之间联系的转换矩阵。将算符B的本征函数(x)用算符A的本征函数n(x)展开。

应用厄密共轭矩阵性质 （71）（70）

简写为 得到算符在两个表象中的变换矩阵（72）这就是力学量F从A表象变换到B表象的变换公式。

因为ψ和φ都是正交归一的波函数， （68）

S与S+的积等于单位矩阵。即 SS+＝I, S+＝S-1 （74）将满足上式的矩阵称为幺正矩阵,由幺正矩阵表示的变换称为幺正变换. 物理意义: 在不同的表象中几率是守恒的。如果一个粒子在态φn中的几率为1，在态ψn中的几率为Sμn2,那么, Sμ12, Sμ22,…, Sμn2,…给出粒子在态ψn中出现的几率分布。下面的式子必定成立。（75）

解：设在A表象中 B表象中特征矢为本征值为 代入原方程，求解b1、b2 例题：求转动矩阵R(）的特征值、特征矢量和幺正变换矩阵.

第五章 量子力学的表象变换与矩阵形式