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经 济 数 学 基 础. 蒋 玉 兰. Email:[email protected] Tel:87201017. 第三章 导数的应用. § 1 微分中值定理. 一、拉格朗日 (Lagrange) 中值定理. 称上面的公式为 拉格朗日中值公式。. 几何解释 :. 二、拉格朗日 (Lagrange) 中值定理的推论. 推论 1. 推论 2. 例 1 、. 证 :. § 2 利用导数研究函数的性态. 一、利用一阶导数判断函数在区间上的单调性。. 观察单调增加函数、单调减少函数的切线:. 切线与 x 轴夹角为钝角.

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经 济 数 学 基 础

蒋 玉 兰

Email:[email protected]

Tel:87201017

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第三章 导数的应用

§1 微分中值定理

一、拉格朗日(Lagrange)中值定理

称上面的公式为拉格朗日中值公式。

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§2 利用导数研究函数的性态

一、利用一阶导数判断函数在区间上的单调性。

观察单调增加函数、单调减少函数的切线:

切线与x轴夹角为钝角

切线与x轴夹角为锐角

可导的单调增加函数

其导数大于零,

可导的单调减少函数

其导数小于零。

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注:函数的不可导点通常也是单调区间的分界点.注:函数的不可导点通常也是单调区间的分界点.

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求函数单调区间的方法和步骤:

(4)、(5)步骤常采用列表讨论的方式。

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单调增加区间为

单调减少区间为

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单调增加区间为

单调减少区间为

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函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.

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定理1(必要条件)设 在点 处可导,且在 处取得极值,那末必定 。

即:

2、函数极值的求法

例如,

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是极值点情形

定理2(充分条件)

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例5、

列表讨论

极小值

极大值

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例6

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三、利用二阶导数判断函数在区间上的凹凸性

图形上任意弧段

位于所张弦的下方,

称曲线为凹曲线。

图形上任意弧段

位于所张弦的上方,

称曲线为凸曲线。

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连续曲线上凹凸的分界点 称为曲线的拐点.

曲线的拐点及其求法

正如极值点可能为驻点或不可导点,类似地,拐点的横坐标也可能是二阶导数等于零或二阶导数不存在的点.

拐点的求法

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例8、

解:

拐点

拐点

凹的

凸的

凹的

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§3 导数在经济分析中的应用

一、经济中的弹性分析

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