Génération de courant dans les tokamaks
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Génération de courant dans les tokamaks. Les enjeux Les courants dans un plasma de tokamak Description cinétique de la génération de courant Revue des différentes méthodes (théorie/expérience/technologie) Courant auto-généré (bootstrap) Courant inductif (Loi d’Ohm)

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Génération de courant dans les tokamaks

  • Les enjeux

  • Les courants dans un plasma de tokamak

  • Description cinétique de la génération de courant

  • Revue des différentes méthodes (théorie/expérience/technologie)

    • Courant auto-généré (bootstrap)

    • Courant inductif (Loi d’Ohm)

    • Courant Radio-Fréquence (LH, EC)

    • Courant par injection de particules (IdN)

  • Fonctionnement non-inductif du tokamak

  • Vers le réacteur continu

  • Techniques de mesure



  • La maîtrise des courants dans les plasmas est donc au cœur de la physique de la fusion par confinement magnétique de type tokamak afin d’obtenir

    • un fonctionnement continu (évite les fatigues mécaniques structurelles)

    • un réacteur économiquement viable.


Equilibre magnétique du tokamak majeur pour

  • Confinement assuré par la combinaison de deux champs magnétiques :

    • champ axial produit par les bobines toroïdales Bt

    • champ poloïdal créé par le courant plasma Bq

  • Forme hélicoïdale des lignes de champ évite la dérive verticale des particules

  • Equilibre MHD: jxB = p

  • Rôle clé du courant plasma



Loi d’échelle du confinement des tokamaks majeur pour

Meilleures performances à fort courant plasma Ip

Gigantisme des machines pour atteindre l’ignition

TORE SUPRA

JET

ITER

D.C. Robinson, Phys. Plasma. Contr. Fusion, 35 (1993) B91

Confinement standard de référence en absence de divertor: Mode L


L’enjeu, c’est à tout instant de majeur pour

  • contrôler le profil de courant à partir de paramètres externes

  • minimiser la fraction de puissance recyclée pour générer du courant: efficacité J (MA)/P (MW)


Les difficultés sont multiples majeur pour :

  • La complexité du milieu: topologie, homogénéité et isotropie

  • Problème cinétique: description statistique du mouvement des particules dans l’espace des vitesses et des configurations avec des aspects délicat (interaction ondes/particules à la résonance)

  • Description électromagnétique pour les ondes RF

  • La description relativiste des collisions dans un plasma chaud

  • La non-linéarité du problème: le lieu où du courant est généré dépend de l’équilibre et vice-versa

  • Modélisation est très coûteuse sur le plan numérique (3-D): développement d’algorithmes complexes

  • La mise en œuvre instrumentale (problèmes technologiques)

  • La détermination locale de la valeur du courant



Définition des référentiels majeur pour

: fonction de flux poloïdal magnétique



Equilibre magnétique majeur pour : les surfaces de flux correspondent à des surfaces isobares et les lignes de champ sont également contenues dans ces surfaces.

et

Courant diamagnétique

Divergence non-nulle de j

Accumulation charges ()

Courant j//


Densité de courant poloïdale (projection): majeur pour

et

Equilibre magnétique:

où f est la fonction de flux de courant.

avec

On en déduit:

A noter:

est le courant paramagnétique


Pour calculer majeur pour j//, il faut déterminer f’. Il faut pour cela introduire une équation supplémentaire donnant j//. On considère les équations du transport collisionnel dans un milieu fortement magnétisé déterminé par Braginskii. Pour chaque espèce j, on a trois équations pour les conservations du nombre de particules, de l’impulsion et de l’énergie:

notation de Dirac

et


Tenseur de stress (anisotropie de pression) majeur pour

Charge des particules

Taux de transfert d’impulsion entre espèces

Taux de transfert d’énergie entre espèces

Flux de chaleur

On considère le cas de deux espèces (électrons et ions), avec ne = ni = n, et dans la limite ete >> 1 et iti >> 1 où te et ti sont les temps caractéristiques de collisions, le taux de transfert d’impulsion des ions vers les électrons vaut

Force de friction

Force thermale


( majeur pour h: resistivité du plasma)

En projetant dans la direction parallèle, on peut trouver naturellement l’équation pour j//.

En reportant dans l’équation de conservation de l’impulsion, après avoir sommé sur toutes les espèces et tenu compte de l’électro-neutralité, de la stationnarité et de l’incompressibilité du plasma considéré comme un fluide


, on a alors majeur pour

Puisqu’à l’équilibre,

Correction d’ordre 1

et en combinant les équations:

soit

qui est la loi d’Ohm généralisée pour le courant circulant le long de la ligne de champ


Dans la limite de forte collisionnalité, l’anisotropie de pression est négligeable, et

Le champ électrique valant

après changement

de coordonnées:

En l’absence de champ électrique induit par des bobinages externes (fonctionnement inductif), E =0, et on ne conserve que la composante poloïdale auto-cohérente Ep (liée à l’accumulation de charge poloïdalement)


En régime stationnaire, pression est négligeable, et

(Stokes)

Si l’on pose

alors

car // est constant sur une surface de flux: n() et T(). On en déduit ainsi

et le courant de Pfirsch-Schlüter vaut:


Le courant de Pfirsch-Schlüter existe toujours, puisqu’il provient de la condition d’écoulement des charges le long des lignes de champ:

Il est cependant faible en général. Dans le cas d’une configuration tokamak circulaire avec grand rapport d’aspect (er/R0 << 1):

Moyenne sur une surface de flux:


A très faible collisionnalité, les effets d’anisotropie de pression peuvent devenir importants sur le courant j//.

A partir du calcul de

, on montre ainsi facilement que

le terme associé vaut:

Et pour le cas d’une configuration de section circulaire à grand rapport d’aspect,


Du fait de l’équilibre magnétique, le courant j de pression peuvent devenir importants sur le courant // vaut donc:

Le premier terme est presque toujours négligeable. Le second n’intervient que si le tenseur de pression n’est pas isotrope, donc lorsque la collisionnalité du plasma est très faible (forte température, faible densité). Le courant j//b est le courant de bootstrap. Sa valeur sera explicitée à partir de la théorie cinétique. A noter, que seul le terme lié à l’anisotropie de pression j//b est susceptible d’assurer l’équilibre magnétique sous certaines conditions, sinon, il faut donc créer directement une source de courant par des moyens externes j//ext.


Dans le cadre de la description fluide, ce rôle de source externe peut être joué par un champ électrique constant E induit par des conducteurs externes dans lesquels on fait circuler un courant (Loi de Lenz, bobines poloïdales), puisque formellement il s’agit du même mécanisme que pour le champ auto-cohérent Eps. Dans ce cas, on trouve par un calcul analogue que:

et pour le cas d’une configuration de section circulaire à grand rapport d’aspect, le courant Ohmique ()


  • Mais la description fluide est très limitée pour décrire la physique de la génération de courant dans les plasmas de tokamak car il est nécessaire de spécifier les caractéristiques dynamiques des particules en jeu :

    • électrons ou ions, circulants ou piégés

    • résonance onde-particules

    • la collisionnalité qui est fonction de l’énergie des particules

    • transfert d’impulsion (1D, 2D)

Description cinétique


- Description cinétique de la génération de courant - la physique de la génération de courant dans les plasmas de tokamak car il est nécessaire de spécifier les caractéristiques dynamiques des particules en jeu :


Equation de Klimontovitch la physique de la génération de courant dans les plasmas de tokamak car il est nécessaire de spécifier les caractéristiques dynamiques des particules en jeu :

Equation de Liouville

(1/wpe,lDebye)

BBGKY

Equation

de

Vlasov

Equation

de

Fokker-Planck

Equation

de

Boltzman

C(f,f’)=0

C(f,f’)≠0

C(f,f’)≠0

Champ moyen

+Petites déflections

+Fortes déflections

Génération de courant


la physique de la génération de courant dans les plasmas de tokamak car il est nécessaire de spécifier les caractéristiques dynamiques des particules en jeu :

est la vitesse et la relation de la dynamique

avec

la force de Lorentz

f étant la fonction de distribution à une particule de type j


Pour pouvoir exploiter cette équation, il est nécessaire d’effectuer des moyennes éliminant ainsi les variations rapides dont la valeur moyenne est nulle et qui ne portent pas de ce fait d’information intéressante aux échelles de temps ou d’espace auxquelles on se place pour étudier la génération de courant. Cette procédure permet de réduire le nombre de dimensions du problème. Il convient donc d’étudier les caractéristiques du mouvement des particules dans un plasma de tokamak

Cette approche est essentielle pour pouvoir envisager une résolution numérique.


Chauffages d’effectuer des moyennes éliminant ainsi les variations rapides dont la valeur moyenne est nulle et qui ne portent pas de ce fait d’information intéressante aux échelles de temps ou d’espace auxquelles on se place pour étudier la génération de courant.

Diagnostics

 >> lDebye

W

0

(~ m, taille machine)

Plasma = Ensemble de particules fortement couplées

- Comportement collectif non-linéaire (problème à N corps)

- Turbulence et transport anormal

- Bifurcations et auto-organisation

- Corps noir

1-100 kHz

MHD

FCI

10-100 MHz

(~ dm)

LH

1-10GHz

(~ cm)

(~ mm)

FCE

10-100 GHz

 ≈ lDebye

Fréquence plasma

100-1000 GHz

ECE

mm)

1-430 THz

IR

nm)

 << lDebye

430-750 THz

Visible

nm)

Plasma = Ensemble de particules indépendantes

- Comportement particulaire

- Domaine du rayonnement

- Corps gris, transparent

0.75-30 PHz

UV

nm)

1-10 keV

X-mous

)

IDN

10-1000 keV

X-durs

> 1 MeV

g

Plasmas de tokamak: wpe ~ wce




On ne considère que les processus physiques tels que l’équation puisse garder une forme conservative:

où S est le flux de particules dans l’espace des phases. Ceci revient à faire l’hypothèse que la dynamique statistique étudiée peut être exprimée en termes diffusif (processus de Markov) ou convectif.

Les processus « violents » sont exclus de ce modèle (effet d’avalanches, piégeage onde-particule à forte densité de puissance, transport de Lévy,…).

Cette formulation joue un rôle fondamentale pour la résolution numérique du problème de la génération de courant


où Ec est l’énergie cinétique et V est n’importe quel volume de l’espace des phases défini par sa frontière A, le vecteur étant localement normal au plan tangent à la surface A.


  • A partir de la connaissance de la fonction de distribution l’équation puisse garder une f, il est possible de remonter aux quantités macroscopiques intéressantes (moments de f) pour la physique de la génération de courant comme:

    • La densité de particules

    • Le densité de courant

    • La densité de puissance absorbée

Une des difficultés majeures de l’approche numérique est de calculer rapidement la limite asymptotique qui est généralement celle recherchée:


Plongées dans un champ magnétique l’équation puisse garder une B, les particules chargées ont un mouvement qui est caractérisé par une giration très rapide transverse à la direction de B de fréquence cyclotronique W, et un déplacement longitudinal libre (centre-guide). Cette approche reste valable même lorsque B varie lentement dans l’espace et dans le temps, les invariants du mouvement restant le moment magnétique et l’énergie (théorie adiabatique):

Sans champ magnétique

Avec champ magnétique


Du fait de la l’équation puisse garder une conservation du moment magnétique mj et de l’énergie cinétique Ecj, il existe deux catégories de particules: celles qui sont circulantes et les piégées, ces dernières étant caractérisées par un point de rebroussement dans leur trajectoire le long de ligne de champ, lorsque p// change de signe:

Critère de piégeage (cône):

Section poloïdale circulaire et :

avec

Temps de rebond:

Temps de transit:


Z l’équation puisse garder une

B

R

Bmin

Le centre-guide a un lent mouvement de dérive verticale qui découle de la conservation de la composante toroidale que la quantité de mouvement canonique (axisymétrie):

avec

La vitesse de dérive cinétique vaut

celle-ci résultant de la courbure des lignes de champ et B. le temps de dérive radial est donné par

La vitesse du centre-guide vaut


Largeur de “banane” l’équation puisse garder une


Sur la base des caractéristiques de la dynamique des particules chargées dans le plasma magnétisé du tokamak, on peut réécrire l’équation cinétique donnant la distribution sous la forme qui correspond à l’équation de dérive cinétique

soit

Comme les ions sont bien plus lourds que les électrons, sauf exception, il est d’usage de les considérer comme immobiles pour le problème de la génération de courant (par ondes) et de ne s’intéresser qu’à la dynamique des électrons: f = fe.


Dans les tokamaks, on a la hiérarchie suivante pour les temps caractéristiques de la dynamique des électrons:

t

Comme l’on veut étudier le courant porté par les électrons à l’échelle temporelle indiquée, il est possible d’effectuer plusieurs moyennes, pour simplifier l’équation cinétique donnant la distribution. A noter que si  >> rf dans la plupart des cas, ce n’est plus vrai lorsque l’on injecte une onde cyclotronique électronique. Il est donc préférable d’effectuer d’abord la moyenne sur les fluctuations périodiques de l’onde RF avant d’effectuer celle sur le mouvement cyclotronique.


En posant temps caractéristiques de la dynamique des électrons:

et

ainsi que

et

pour les champs fluctuants, on obtient

Où est le flux quasi-linéaire induit par l’onde RF qui vaut:


Dans l’équation en temps caractéristiques de la dynamique des électrons:f, la dérivée temporelle n’est évidemment valable que pour des temps longs par rapport à 1/W et 1/wLe terme a été calculé pour tout type d’onde par Kennel et Engelman, pour un plasma infini et homogène (calcul complexe)

A ce stade, la fonction de distribution est encore fonction de quatre variables: p//, p,, , ce qui constitue un problème numérique formidable à résoudre. Dans la limite de faible collisionnalité, il est cependant possible de « gagner » une dimension, en effectuant une moyenne sur la trajectoire des électrons (piégées ou circulantes). C’est le régime « banane » où les électrons sont en mesure de parcourir pleinement leur orbites (fermée dans un plan poloïdal) avant d’être défléchis par les collisions


Z temps caractéristiques de la dynamique des électrons:

B

R

Bmin

On définit ainsi la moyenne sur la trajectoire sous la forme:

que l’on peut exprimer sous forme d’une

intégrale sur l’angle poloïdal q en raison de l’axisymétrie.

On résoud alors l’équation de dérive cinétique sur l’axe Bmin là où passent toutes les particules. Le problème est ainsi réduit à 3 dimensions:


Champ électrique temps caractéristiques de la dynamique des électrons:

ondes

Simplification supplémentaire: seule la solution asymptotique stationnaire est recherchée,

avec

collisions

où  est leflux magnétique poloïdal

  • C(f): Opérateur Fokker-Planck  interactions particules-particules

  • Q(f): Opérateur quasilinéaire  interactions ondes-particules

  • E(f): Opérateur champ électrique constant



 e = 0.3, R = 3m, Te = 5.11 keV, ne = 310+19 m-3, q = 3, Vloop = 0.5V

  • tt ≈ 2s

  • tb ≈ 3.6s

  • tcoll ≈ 64s

  • tQL ≈ 64s (DQL*≈ 1)

  • tE ≈ 6.4 ms (E*≈ 0.01)

  • tD ≈ 28 ms

Pour résoudre l’équation de dérive cinétique, compte tenu du fait que tD/tb >> 1, on peut effectuer une approche perturbative afin de tenir compte des gradients. En effet, à cause de la vitesse de dérive, et des largeurs finies de banane, le calcul n’est plus local.


f0 est constante sur une ligne de champ

  • f0 est déterminée par

Approche perturbative: on développe f sous la forme: f = f0 + df1oùd ~ tt,b/tD.

  • Ordre zéro:

et comme

Equation locale de Fokker-Planck moyennée sur les orbites


  • Ordre un:

Sachant que avec en

utilisant la relation de conservation de l’énergie

et l’expresssion

avec g constante sur une ligne de champ

  • la fonction g est déterminée par


~

  • Par construction f est anti-symétrique en v// pour les électrons piégés. Comme tb << tcoll ,tQL ,tE, les opérateurs C,Q et E sont symétriques en v// pour les électrons piégés, d’où

  • f0 est symétrique en v// pour les électrons piégés (f0 constante sur la ligne de champ)

  • Il existe donc une solution gp, telle que gp = 0 dans le domaine piégé. En présence d’onde, la solution g = gp + cf0 est choisie pour assurer la conservation de la densité car


  • Détermination de à la limite vD = 0

  • Détermination de la fonction g au point de grille r:

~

  • Calcul de f = f0 + f + g au point de grille r

  • Calcul de oùGi,//est la contribution ionique (modèle Hirschman)

Théorie néoclassique des électrons en présence d’onde

Moyenne sur la surface de flux


Les modèles trop simplifiés ne peuvent pas prendre en compte toute la réalité physique de la génération de courant même s’ils peuvent saisir des éléments de celle-ci. L’avenir est donc a un traitement numérique efficace prenant en compte en plus la nature complexe de l’équilibre magnétique qui intervient sur les effets de trajectoires.

Code de dérive cinétique 3D


L’opérateur de collision décrit les échanges irréversibles entre particules. Il est donc indispensable à la production d’entropie. On s’intéresse à la génération de courant résultant de faibles perturbations autour de la solution Maxwellienne fM, en l’absence de toute contribution externe (champ électrique, ondes RF,….)  important pour les calculs numériques:on prend la symétrie de cet opérateur

  • Opérateur de collision de Belaiev-Budker couvrant de manière continue l’intervalle d’énergie classique/relativiste (divergence d’un flux dans l’espace des impulsions qui conserve la densité, l’impulsion et l’énergie)

  • On prend en compte les collisions électron-électron et électron-ion

Dans le cas de l’opérateur linéarisé, on ne conserve plus l’énergie: formulation dédiée à la génération de courant uniquement


Equilibre magnétique de section circulaire, et grand rapport d’aspect e << 1:

avec

T

où l est la période de rebond normalisée et

qc = π pour les particules passantes

qc = qt pour les particules piégées


avec rapport d’aspect


Ralentissement rapport d’aspect

Diffusion angulaire

e/i + e/e

Maxwellien


Corrections néoclassiques rapport d’aspect


Traitement implicite des flux dans le domaine piégé rapport d’aspect (tb << tc) pour le calcul de f0



Matrice 9 diagonales à inverser pour le calcul de rapport d’aspect g

Traitement implicite pour le calcul de g (terme néoclassique)


Même si on cherche la solution asymptotique de rapport d’aspect f correspondant au régime stationnaire, on garde toujours le terme d’évolution temporelle, car numériquement il est stabilisant.

Approche implicite, inconditionnellement stable pour tout Dt (critère de Von Neuman). Donc on peut utiliser Dt >> 1 pour trouver rapidement la solution.

Crank-Nicholson (2nd ordre):


n rapport d’aspect p = 58, mx=29

LU complet

LU incomplet

Seuil:10-3

0.3707 Mo

1.3696 Mo


Calculs 3D implicites (rapide et stable) avec transport radial envisageables: étude du transport radial induit par les ondes, turbulence,…


Il reste à déterminer les termes de flux associés à chaque type de mécanisme: champ électrique induit, ondes RF (type, polarisation) ce qui permettra d’envisager de possibles synergies entre eux, et l’influence sur le courant de bootstrap de manière cohérente.

Pour connaître ces termes, il faut pour les ondes RF calculer la propagation et l’évolution conjointe de l’équilibre magnétique incluant les effets de diffusion radiale du courant (CRONOS)


Equilibre magnétique chaque type de mécanisme: champ électrique induit, ondes RF (type, polarisation) ce qui permettra d’envisager de possibles synergies entre eux, et l’influence sur le courant de bootstrap de manière cohérente.

Propagation ondes RF+ champ électrique induit

Equation de dérive cinétique

j, jboot

Diffusion résistive du courant


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