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確率・統計 Ⅰ PowerPoint PPT Presentation


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ここです!. 確率・統計 Ⅰ. 確率論とは 確率変数 、確率分布 確率変数 の独立性 / 確率変数 の平均 確率変数 の平均(続き)、 確率変数 の分散 確率変数 の共分散、チェビシェフの不等式 ベルヌイ試行と 二項分布 二項分布 (続き)、幾何分布など 二項分布 の近似、ポアソン分布、 正規分布 正規分布 とその性質 i.i.d. の和と 大数の法則 中心極限定理 統計学 の基礎 1 (母集団と標本、確率論との関係) 統計学 の基礎 2 ( 正規分布 を用いた 推定・検定 ). 第 10 回 i.i.d. の和と大数の法則.

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確率・統計 Ⅰ

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Presentation Transcript


5742209

ここです!

確率・統計Ⅰ

  • 確率論とは

  • 確率変数、確率分布

  • 確率変数の独立性 / 確率変数の平均

  • 確率変数の平均(続き)、確率変数の分散

  • 確率変数の共分散、チェビシェフの不等式

  • ベルヌイ試行と二項分布

  • 二項分布(続き)、幾何分布など

  • 二項分布の近似、ポアソン分布、正規分布

  • 正規分布とその性質

  • i.i.d.の和と大数の法則

  • 中心極限定理

  • 統計学の基礎1(母集団と標本、確率論との関係)

  • 統計学の基礎2(正規分布を用いた推定・検定)

第10回 i.i.d.の和と大数の法則


I i d

i.i.d.の和と大数の法則

  • i.i.d.の和

  • 大数の法則


I i d1

どんな分布でもよい

(連続分布でもよい)

i.i.d.とその和

互いに独立で、同じ分布をもつ確率変数の列を i.i.d.と呼ぶ。

X1, X2, …, Xn を i.i.d. とし、

X= X1 + X2 + … + Xnとおく。

[ 各 Xi が確率 pで値1, 確率 q =1-p で値0をとるときの Xの分布が二項分布である。]


I i d2

i.i.d.の和が二項分布になるのは、Xiの分布が

Xi

0

1

という特別の場合。 このとき、

確率

q

p

一致(結果的に)

i.i.d.の和として見た二項分布の平均と分散

だから、和 X については…:


I i d3

i.i.d.の和として見た二項分布の平均と分散


I i d4

i.i.d.の和の平均と分散

一般には、 E(Xi) =μ, V(Xi) =σ2 とするとき、


I i d5

X= X1 +…+ Xn

E(Xi) =μ, V(Xi) =σ2

二項分布

q

p

X= X1 +…+ Xn

0

1

E(Xi) = p, V(Xi) =pq

E(X)=np, V(X)=npq

i.i.d.の和の平均と分散のまとめ

E(X) = nμ

V(X) = nσ2

特に


I i d6

i.i.d.の和と大数の法則

  • i.i.d.の和

  • 大数の法則


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n → ∞

大数の法則

問題: n→∞のとき Xはどうなるか?

たとえば Xが二項分布の場合

平均 np → ∞(どんどん右へ)

分散 npq → ∞(広がっていく)

一般の場合も平均 nμ, 分散 nσ2だから同様に発散。

では nで割って X / nを考えたら?


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X = X / n = (X1+…+Xn) / nとおくとき、

X / nの平均と分散

(ただし、X1, …, Xnはi.i.d.で、E(Xi)=μ, V(Xi)=σ2 )


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X の分布が、μ= E(Xi) に“近づく”

大数の法則

n→∞のとき

これは次のことを意味する:

(「大数の法則」)


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X = X/ n の意味は 「相対度数」

(確率 p の事象が起きた回数の割合)

大数の法則

●特に Xが二項分布の場合

Xは成功度数だから

だから、「大数の法則」は次のことを意味する:

一回の成功確率が pの試行を繰り返していくと、成功の相対度数が pに “近づく”


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p=0.5 n=50の二項分布の相対度数 X のグラフ

大数の法則(例)

P(X/n = r’)


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p=0.5 n=200の二項分布の相対度数 X のグラフ

大数の法則(例)

P(X/n = r’)


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p=0.5 n=2000の二項分布の相対度数 X のグラフ

大数の法則(例)

P(X/n = r’)


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正確な大数の法則

厳密な数学の定理としては、

大数の弱法則

(ベルヌーイの大数の法則)

大数の強法則

の2つがある。


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X1, …, Xnを i.i.d. とし、 X= X1 + … + Xn ,

X = X/ n= (X1 + … + Xn) / nとおくと、

次の事実が成り立つ:

大数の弱法則

任意のε>0 に対して

ここで μ=E(Xi) .


5742209

X1, …, Xnを i.i.d. とし、 X= X1 + … + Xn ,

X = X/ n= (X1 + … + Xn) / nとおくと、

次の事実が成り立つ:

大数の強法則

ここで μ=E(Xi) .

また、V(Xi) は有限とする。


5742209

p=0.5 の二項分布の相対度数 X の

n=102~104 における実験値

対数目盛り

103=1000

104=10000

大数の強法則(例)


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p=0.5 の二項分布の相対度数 X の

n=102~105 における実験値

対数目盛り

103=1000

104=10000

105=100000

大数の強法則(例)


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