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Problème de Grenoble 1995 .

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Problème de Grenoble 1995. Partie I. Partie II. S. E. H. I. F. D. G. C. A. B. Problème de Grenoble 1995. S. E. H. I. F. G. C. D. A. B. Partie I. La figure ci-contre représente un solide. Celui-ci se compose d\'un parallélépipède rectangle

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
slide1

Problème de Grenoble 1995.

Partie I

Partie II

S

E

H

I

F

D

G

C

A

B

slide2

Problème de Grenoble 1995.

S

E

H

I

F

G

C

D

A

B

Partie I

La figure ci-contre représente un solide.

Celui-ci se compose d\'un parallélépipède rectangle

surmonté d\'une pyramide régulière à base carrée

de sommet S et dont les faces latérales sont

des triangles isocèles.

Les dimensions de la figure sont les suivantes :

AF = 2 cm ;

AB = BC = 6 cm ;

SH = 5 cm.

1) Représenter le triangle SGH en respectant les dimensions données.

2) a) Calculer la longueur de la hauteur SI du triangle SGH.

b) En déduire l\'aire du triangle SGH.

3) Montrer que l\'aire extérieure totale du solide (face inférieure comprise)

est de 132 cm2.

slide3

Problème de Grenoble 1995.

S

E

H

I

F

G

C

D

A

B

Partie I

Les dimensions de la figure sont les suivantes :

AF = 2 cm ;

AB = BC = 6 cm ;

SH = 5 cm.

1) Représenter le triangle SGH en respectant les dimensions données.

2) a) Calculer la longueur de la hauteur SI du triangle SGH.

b) En déduire l\'aire du triangle SGH.

3) Montrer que l\'aire extérieure totale du solide (face inférieure comprise)

est de 132 cm2.

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Problème de Grenoble 1995.

S

E

H

I

F

G

C

D

A

B

Partie II

La figure précédente est la réduction à l\'échelle

1 / 4 d\'un coffret qu\'un artisan désire réaliser.

Il se propose de le couvrir intérieurement de

feuilles d\'or très fines, de calculer la masse d\'or

nécessaire ainsi que le prix de l\'or à acheter.

1) Calculer l\'aire réelle extérieure du coffret.

2) Sachant que pour couvrir une surface de 1 cm2, il faut 0,00195 g d\'or,

calculer la masse d\'or pour recouvrir l\'objet au centième de gramme près.

3) Le découpage des feuilles d\'or occasionne des pertes.

L\'artisan prévoit d\'acheter 25 % d\'or supplémentaire.

Le prix du kilogramme d\'or est de 70 000 F.

Calculer le prix de tout l\'or à acheter.

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Problème de Grenoble 1995.

S

E

H

I

F

G

C

D

A

B

Partie II

La figure précédente est la réduction à l\'échelle

1 / 4 d\'un coffret qu\'un artisan désire réaliser.

Il se propose de le couvrir intérieurement de

feuilles d\'or très fines, de calculer la masse d\'or

nécessaire ainsi que le prix de l\'or à acheter.

1) Calculer l\'aire réelle extérieure du coffret.

2) Sachant que pour couvrir une surface de 1 cm2, il faut 0,00195 g d\'or,

calculer la masse d\'or pour recouvrir l\'objet au centième de gramme près.

3) Le découpage des feuilles d\'or occasionne des pertes.

L\'artisan prévoit d\'acheter 25 % d\'or supplémentaire.

Le prix du kilogramme d\'or est de 70 000 F.

Calculer le prix de tout l\'or à acheter.

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Partie I

1)Représenter le triangle SGH en respectant les dimensions données.

S

E

H

I

F

G

C

D

B

A

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

G

H

D ’après le codage sur les segments

[SG] et [SH] :

SG = SH.

Le triangle SGH est donc isocèle de

sommet principal S.

Ses dimensions sont :

GH = 6 cm

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Partie I

1)Représenter le triangle SGH en respectant les dimensions données.

S

E

H

I

F

G

C

D

B

A

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

S

G

H

I

D’après le codage sur les segments

[SG] et [SH] :

SG = SH.

Le triangle SGH est donc isocèle de

sommet principal S.

Ses dimensions sont :

GH = 6 cm

SH = SG = 5cm

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Partie I

1)Représenter le triangle SGH en respectant les dimensions données.

S

S

E

H

I

F

G

C

D

G

H

B

A

I

D’après le codage sur les segments

[SG] et [SH] :

SG = SH.

Le triangle SGH est donc isocèle de

sommet principal S.

Ses dimensions sont :

GH = 6 cm

SH = SG = 5cm

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Partie I

2) a) Calculer la longueur de la hauteur SI du triangle SGH.

S

S

E

H

I

F

G

C

D

G

H

B

A

I

Le segment [IS] est la hauteur issue du

sommet principal:

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Partie I

2) a) Calculer la longueur de la hauteur SI du triangle SGH.

S

S

E

H

I

F

G

C

D

G

H

B

A

I

Le segment [IS] est la hauteur issue du

sommet principal:

c’est aussi la médiane issue de S.

Donc I est le milieu du segment [GH].

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Partie I

2) a) Calculer la longueur de la hauteur SI du triangle SGH.

S

S

E

H

I

F

G

C

D

H

B

A

I

Le segment [IS] est la hauteur issue du

sommet principal:

c’est aussi la médiane issue de S.

Donc I est le milieu du segment [GH].

5

?

3

On a donc IH = 3 et SH = 5.

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Partie I

2) a) Calculer la longueur de la hauteur SI du triangle SGH.

S

S

E

H

I

F

5

?

G

C

D

H

B

A

I

3

Le triangle SIH est rectangle en I.

D’après le théorème de Pythagore :

IH² +

IS²

SH² =

² = ² + IS²

3

5

IS² =

-

-

IS² =

25

9

16

donc IS =

IS² =

=

16

4 cm.

donc IS =

slide13

Partie I

2) a) Calculer la longueur de la hauteur SI du triangle SGH.

S

S

E

H

I

F

5

G

C

D

H

B

A

I

3

Le triangle SIH est rectangle en I.

D’après le théorème de Pythagore :

IH² +

IS²

SH² =

² = ² + IS²

3

5

IS² =

-

-

IS² =

25

9

16

donc IS =

IS² =

=

16

4 cm.

donc IS =

4

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Partie I

2) b) En déduire l\'aire du triangle SGH.

S

S

E

H

I

F

G

C

D

G

H

B

A

I

4

6

On connaît une base et la hauteur associée :

GH = 6

et

IS = 4

Base

Hauteur

Aire (triangle) =

2

6

4

Aire (SGH) =

2

24

12

Aire (SGH) =

=

2

12 cm².

L ’aire du triangle SGH est

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Partie I

3) Montrer que l\'aire extérieure totale du solide (face inférieure comprise)

est de 132 cm2

S

E

H

I

F

G

C

D

B

A

Les faces de ce volume se composent de :

- 4 triangles isocèles

de dimensions celles

du triangle SGH.

- 4 rectangles de

dimensions 6 sur

2 cm.

- 1 carré de côté

6cm.

slide16

Partie I

3) Montrer que l\'aire extérieure totale du solide (face inférieure comprise)

est de 132 cm2

- 4 triangles isocèles

de dimensions celles

du triangle SGH.

- 4 rectangles de

dimensions 6 sur

2 cm.

- 1 carré de côté

6cm.

D ’après 2) b) l ’aire de SGH

est 12 cm².

Pour les quatre triangles,

on a:

412 =

48

Pour un rectangle, l’aire est :

26 =

12

Pour les quatre rectangles :

412 =

48

Pour un carré de côté 6 :

66 =

36

slide17

Partie I

3) Montrer que l\'aire extérieure totale du solide (face inférieure comprise)

est de 132 cm2

S

E

H

I

F

G

C

D

B

A

Au total :

48

+

48

+

36

=

132

L’aire extérieure de ce solide est 132 cm².

slide18

Partie II

1) Calculer l\'aire réelle extérieure du coffret.

S

E

H

I

F

G

C

D

B

A

Par rapport à notre solide de la partie I,

les dimensions sont multipliées par 4.

Le rapport d ’agrandissement est 4 donc

l ’aire est multipliée par:

c’est-à-dire :

16

D ’après la Partie I, 3) :

16

132

=

2112

L ’aire extérieure réelle est 2112 cm².

slide19

Partie II

2) Sachant que pour couvrir une surface de 1 cm2, il faut 0,00195 g d\'or,

calculer la masse d\'or pour recouvrir l\'objet au centième de gramme près.

On a 2112 cm² à recouvrir :

2112

0,00195

=

4,1184

4,1184

Le chiffre qui suit celui des centièmes est

supérieur ou égal à 5.

On prend comme arrondi au centième

le nombre immédiatement supérieur.

4,12

Il faut environ 4,12 g d’or pour recouvrir le coffret.

slide20

Partie II

2) Sachant que pour couvrir une surface de 1 cm2, il faut 0,00195 g d\'or,

calculer la masse d\'or pour recouvrir l\'objet au centième de gramme près.

Il faut environ 4,12 g d’or pour recouvrir le coffret.

slide21

Partie II

3) Le découpage des feuilles d\'or occasionne des pertes. L\'artisan prévoit

d\'acheter 25 % d\'or supplémentaire. Le prix du kilogramme d\'or est

de 70 000 F. Calculer le prix de tout l\'or à acheter.

Il faut donc rajouter 25 % d ’or :

25

25 % de 4,1184 :

4,1184

=

0,25

4,1184

100

1,0296

=

Il faut donc en tout :

=

5,148

4,1184

+

1,0296

Avec les pertes, l ’artisan a besoin de 5,148 g d ’or.

slide22

Partie II

3) Le découpage des feuilles d\'or occasionne des pertes. L\'artisan prévoit

d\'acheter 25 % d\'or supplémentaire. Le prix du kilogramme d\'or est

de 70 000 F. Calculer le prix de tout l\'or à acheter.

Avec les pertes, l’artisan a besoin de 5,148 g d ’or.

En notant p le prix à payer, comme il y a proportionnalité,

on peut appliquer le produit en croix au tableau suivant :

70000

p

Prix

1 kg = 1000 g

1000

Quantité

5,148

p

1000

=

5,148

70000

5,148

70000

p =

1000

360,36

5,148

70

=

P =

Le coffret nécessite l’achat de 360,36 francs d’or.

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