Дополнительные метрические соотношения в треугольнике

1. Дополнительные метрические соотношения в треугольнике

2. Если О – точка пересечения биссектрис треугольника АВС, то имеют место соотношения: A (1) (2) O (3) B C ЛЕММА(о свойстве углов при точке пересечения биссектрис треугольника)

3. 1) Докажем, к примеру, соотношение (1). 2) Т.к. О – центр вписанной в ∆ АВС окружности, то ВО и СО – биссектрисы углов В и С. 3) В треугольнике ВОС A O 4) Аналогично доказываются соотношения (2), (3). ■ B C Доказательство:

4. Радиус окружности, вписанной в треугольник, связан с его сторонами и углами следующими соотношениями: Теорема 1(о радиусе вписанной окружности)

5. А 1) Пусть дан ∆ АВС с длинами сторон a, b, c и противолежащими углами α, β, γсоответственно; пусть r – радиус вписанной окружности с центром О. 2) Докажем, к примеру, что c b 3) Соединим точку О с вершинами треугольника АВС, тогда ВО и СО – биссектрисы соответствующих углов треугольника, т.е. ∠OBC = , ∠OCB = . O r γ β a 4) В силу леммы ∠BОC = 90° + B C Доказательство:

6. А Доказательство: 5) В ∆ ВОС по теореме синусов имеем: , откуда c b 6) Пусть D – точка касания вписанной окружности со стороной BC, тогда OD⊥BC, OD = r. O r 7)В прямоугольном ∆BOD , откуда D B a C 8) Аналогично доказываются два остальных соотношения. ■

7. Площадь треугольника АВС со сторонами a, b, cи радиусом описанной окружности R вычисляется по формулам: (1) (2) Теорема 2(о площади треугольника)

8. А 1) Пусть дан ∆ АВС с длинами сторон a, b, c и радиусом R описанной вокруг него окружности. b c 2) Докажем соотношения (1) и (2). 3) По теореме синусов откуда C a (3) B 4) Кроме того, , откуда (4) 5) Т.к. , то в силу (3) имеем а в силу (3) и (4) имеем Доказательство: ■

9. Для треугольника АВС справедливы соотношения:

10. Задача 1. В треугольнике АВС угол В равен 60°, радиус описанной окружности равен 2. Найти радиус окружности, проходящей через вершины А и С и центр вписанного в треугольник АВС круга.

11. Задача 2. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник, если два угла треугольника равны β и γ, а радиус описанной окружности равен R.

12. Задача 3. В треугольнике даны два угла α и β и радиус R описанной окружности. Найти высоту, проведенную из третьего угла треугольника.

13. Задача 4. Доказать, что площадь прямоугольного треугольника с острым углом 15° равна восьмой части квадрата гипотенузы.