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§13 . 4 一次函数. 一、学习目标. 1 .理解正比例函数、一次函数的概念; 2 .能根据实际问题中的条件,写出正比例 函数和一次函数的解析式. 3 .了解正比例函数与一次函数的区别与联 系,体会事物间的特殊与一般的辩证关 系.. 二、重点难点. 本节的重点是:一次函数和正比例函数的定 义与确定解析式的方法. 本节的难点是:确定实际问题中的函数解析式. 在中考中,确定实际问题中的函数解析式和

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§13 . 4 一次函数

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§13.4 一次函数


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一、学习目标

1.理解正比例函数、一次函数的概念;

2.能根据实际问题中的条件,写出正比例

函数和一次函数的解析式.

3.了解正比例函数与一次函数的区别与联

系,体会事物间的特殊与一般的辩证关

系.


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二、重点难点

本节的重点是:一次函数和正比例函数的定

义与确定解析式的方法.

本节的难点是:确定实际问题中的函数解析式.

在中考中,确定实际问题中的函数解析式和

函数自变量的取值范围是重点考查题型.


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三、新课

1.利用定义,确定解析式中的待定字母

例1在 中,当常数n为何值时,

y是x的正比例函数?

【分析】要使函数为正比例函数,必须使系数n2-1≠0,且指数n2+n-1=1,由此可求得n的值.

【解】由题意,得

n2+n-1=1,且n2-1≠0,

故可解得

n=-2或n=1,且n≠±1.

∴ n=-2.

∴ 当n=-2时,y是x的正比例函数.


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【点评】(1)对于一个正比例函数解析式y=kx,

要明确x的指数为1,同时其系数不等于0.

(2)与本题类似的其他变式题有:

若函数y=(3m-2)x2+(1-2m)x(m为常数)是

正比例函数,则m的值为()

(A)m>(B)m<(C)m=  (D)m=

三、新课

例1在 中,当常数n为何值时,

y是x的正比例函数?


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例2在一次函数y=(m-3) 3中,

若x≠0, 则m的取值为_______.

【分析】此解析式中有两项含有自变量x,故当(m-3) 为一次项时,可与x合并同类项;当(m-3) 为常数时,与3合并,都可能使解析式为一次函数,故要分类讨论.

三、新课


13 4

例2在一次函数y=(m-3) 3中,

若x≠0, 则m的取值为_______.

三、新课

【解】(1)当m-3=0即m=3时,y=x+3是一次函数;

(2)当m-3≠0时,由m-1=1得m=2,此时y=-x+x+3=3不是一次函数,舍去.当m-1=0即m=1时,y=-2x0+x+3=x+1是一次函数.

∴ m=3或1.


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【点评】(1)求一次函数的解析式中的待定字母的值,要同时讨论化简后解析式自变量的指数(等于1)和系数(不等于0).本例中含自变量x的项有两项,既要考虑有待定字母的含x项为常数时,解析式为一次函数;又要考虑此项为一次项时,与另一个一次项合并后,可能为一次函数,也可能不为一次函数.

(2)与本题类似的其他变式题有:当m=_________时,函数y=(m+3) +4x-5(x≠0)是一个一次函数.

三、新课

例2在一次函数y=(m-3) 3中,

若x≠0, 则m的取值为_______.


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三、新课

2.求实际问题中的函数解析式

例3从A地向B地打长途电话,按时收费,3

分时间之内收费2.4元,3分后每加1分

收1元(不足1分按1分计算),求t≥3(分)

时电话费y(元)与t(分)之间的函数关系式.

【分析】本题中的相等关系为:t(t≥3)时电话费y=3分内的电话费+(t-3)分的电话费.

【解】由题意,得y=2.4+(t-3)·1=t-0.6,

即 y=t-0.6(t≥3).


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例3从A地向B地打长途电话,按时收费,3

分时间之内收费2.4元,3分后每加1分

收1元(不足1分按1分计算),求t≥3(分)

时电话费y(元)与t(分)之间的函数关系式.

【点评】(1)实际问题中的函数关系式的建立关键是找到问题中隐含的相等关系.

(2)解本题易错的是未能正确理解分段收费的意义,在列式时,计算3分后的电话费时,没把时间t减去已收费的前3分,写成y=2.4+t·1.

(3)与本题类似的其他变式题有:

学校为创建多媒体教学中心,备有资金180万元,现计划分批购进电脑x台,每台电脑售价6千元,求所剩资金与电脑台数之间的函数关系式,并指出自变量x的取值范围.


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练 习

(一)选择题:

1.下列函数中,正比例函数是 ()

(A)y=-3x(B)y=3x+3

(C)y=-3x2(D)y=

A


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练 习

(一)选择题:

2.下面各题中,成正比例关系的有 ()

(A)人的身高与体重

(B)正三角形的面积与它的边长

(C)买同一练习本所要的钱数与所买本数

(D)从甲地到乙地,所用时间与行驶速度

C


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3.已知下列函数:

(1)y=3-2x;(2)y= x;(3)y= +2;

(4)y= ;(5)y= +2.

其中一次函数有 ()

(A)2个  (B)3个  (C)4个  (D)5个

练 习

(一)选择题:

A


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2.当m=_______时,函数y=(m2+m)

为一次函数.

练 习

(二)填空题:

1.如果y=(m2-1)x是正比例函数,则m的取

值范围是________.

m≠±1

2


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练 习

(二)填空题:

3.某油箱中有油20升,油从管道中均匀流出,

100分时间可以流尽,则油箱中余油量Q(升)与

流出时间t(分)之间的函数关系是__________,

自变量t的取值范围是___________.

Q=20-0.2t

0≤t≤100


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(三)解答题:

1.已知y=P+Z,P为常数,Z与x成正比例,

且x=2时,y=1;x=3时,y=-1.(1)

写出y与x间的函数关系式;(2)如果x的

取值范围是1≤x≤4,求y的取值范围.

(1)y=-2x+5

(2)1≤x≤4时,有-3≤y≤3


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(三)解答题:

2.设有三个变量x,y,z,其中y是x的正

比例函数,z是y的正比例函数,

求证z是x的正比例函数.

【证明】由题意设①y=k1x,②z=k2y,

其中k1,k2是不等于0的常数.

把①代入②式,得z=k1k2x,此时k1·k2是

一个不等于0常数,故z是x的正比例函数.


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