Выполнила: Ученица 10А класса Гаязова Алиса Руководитель

1. Графики сложных тригонометрических функций Выполнила: Ученица 10А класса Гаязова Алиса Руководитель Учитель математики Разумова Зинаида Андреевна

2. 1. Цель и задачи проекта: Цель: выявление методов построения графиков сложных тригонометрических функций. Задачи: • проанализировать литературу по проблеме исследования; • раскрыть сущность методов построения графиков сложных тригонометрических функций; • подобрать и разработать творческие задания, способствующие развитию навыков построения графиков сложных тригонометрических функций.

3. y  1 sin Вспомним определение синуса и косинуса угла поворота: x 0 1 0 cos sin - ордината точки поворота cos - абсцисса точки поворота (под «точкой поворота» следует понимать – «точку единичной тригонометрической окружности, полученной при повороте на  радиан от начала отсчета»)

4. Синусом α называется отношение AB/OB (отношение противолежащего катета к гипотенузе) • Косинусом α называется отношение ОА/OB (отношение прилежащего катета к гипотенузе) • Тангенсом α называется отношение AB/OA (отношение противолежащего катета к прилежащему) • Котангенсом α называется отношение ОА/AB (отношение прилежащего катета к противолежащему) • Секансом α называется отношение ОB/OA (отношение гипотенузы к прилежащему катету) • Косекансом α называется отношение ОB/AB (отношение гипотенузы к противолежащему катету)

5. График функции y=sinxназывается синусоидой. y 1 x 0 −1 График функции y=cosxназывается косинусоидой. y 1 0 −1

6. линия тангенсов График функции y=tgxназывается тангенсоидой y y 1 1 1  0 1 0 0 x −1 3 2 1

7. y График функции y=ctgxназывается котангенсоидой 1 x 0 −1

8. Методы построения графиков сложных тригонометрических функций • Построение графиков с помощью компьютерных программ. • Построение графиков с помощью упрощения формулы. Примеры.

9. Построение графиков с помощью компьютерных программ. Построение графика функции в Excel. Даны функция y = f(x) и отрезок [a, b]. Шаг h=0,1. Построить график этой функции на заданном отрезке, используя табличный процессор.    Пусть f(x) = x • cos(x); a = —10; b = 10.    Для решения задачи воспользуемся ЭТ MS Excel.    Решение состоит из двух шагов:     1) протабулировать заданную функцию на заданном отрезке, т.е. вычислить ее значения с заданным шагом.    Занесем начало и конец отрезка в отдельные ячейки, чтобы при необходимости можно было изменить начало и конец отрезка. В один из столбцов поместим значения аргумента, в другой — значения функции. Ниже приведено начало таблицы в режиме отображения формул.

10.  2) Получив необходимые значения, переходим собственно к построению графика. Для этого воспользуемся мастером диаграмм. Из всех диаграмм наиболее подходящей представляется точечная.    Ниже приведены серия рисунков, иллюстрирующих процесс (шаги) построения графика, и фрагмент таблицы, содержащей конечный результат.

13. Построение графиков с помощью упрощения уравнения функции. При построении графиков функций сложного вида можно примерно придерживаться следующего плана: • Найти область определения и область значений функции. • Выяснить, является ли функция четной (нечетной). • Выяснить, является ли функция периодической. • Найти точку пересечения графика функции с осью ординат. • Найти нули функции и промежутки знакопостоянства. • Вычислить производную функции f(x) и определить точки, в которых могут существовать экстремумы. • Найти промежутки монотонности функции. • Определить экстремумы функции. • Вычислить вторую производную f(x) • Определить точки перегиба. • Найти промежутки выпуклости функции. • Найти асимптоты графика. • Найти значения функции в нескольких контрольных точках. • Построить эскиз графика функции.

14. Примеры 1. y= ОДЗ: sin x ≠ 0 x ≠ πk; y= = = y=2 cos x │sin x│ a) Если sin x ≠ 0, тоy=2 cos x │sin x│ ( 2πk < x < π+2πk ) y = sin 2x T= =π

15. b) Если sin x<0, то y=-2cos x * sin x ( π+2πk < x < 2π+2πk ) y=-sin 2x 2. y= ОДЗ: cos x ≠0 x≠ ; y= => y= ; a) Если cos x>0, то y= ; ( - y= cos x

16. b) Если cos x<0, то y=-cos x ( • y= на [0;π] ОДЗ: 2x ≠ x≠ k=0,1,2,3,4 y= ; а) Если sin 2x<0, то y= - =-sin2x 2πk <2x< π+2πk б) Если sin 2x<0, то y= sin2x π+2πk <2x< 2π+2πk

17. y= на [ ] y= ОДЗ: ctg 2x≠1 2x ≠ πk x≠ k=0,1 2x ≠ x ≠ k=0,1,2,-1,-2

18. y= y= =│cos 2x│*tg 2x = a) Если cos 2x<0, то y=-sin 2x - b) Если cos 2x<0, то y=-sin 2x

19. Творческие работы учащихся: 1. y== = ОДЗ: sin x ≠ 0 x ≠ πk; sin x>0, то y=3 (1 и 2 четверти) sin x<0, то y=-3 (3 и 4 четверти) 2. y= 3. y= 4. y= 5. y= 6. y= 7. y= 8. y= 9. y=

20. Заключение • Анализ научной литературы, учебников математики позволил структурировать отобранный материал в соответствии с целями исследования, подобрать и разработать эффективныеметоды построения графиков сложных тригонометрических функций. • В работе представлены методы построения графиков сложных тригонометрических функций и примеры функций, в которых используются данные методы. • Результатомпроекта можно считать творческие задания, подобранные обучающимися, как вспомогательный материал для развития навыка построения графиков сложных тригонометрических функций .

21. Спасибо за внимание!